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1、实变函数测试题11、设 。2、证明：为上连续函数的充分必要条件是对任意实数，集和都是闭集。证明：必要性：若是上连续函数，由第二章习题8可知和是闭集。充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。3、 设是任意可测集，则一定存在可测集型集，使得,且由外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且 故。证毕。5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。6、设是上的可测函数，为开集，为闭集，试问与是否是可测集，为什么？由已知 则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，则可知是可测集。由，则可知

2、也是可测集。证毕。7、设在Cantor集上定义函数=0，而在的余集中长为的构成区间上定义为（）,试证可积分，并求出积分值。8、设为上非负可积函数列，若则。对任意，由于非负可知： ，即证毕。9、 设是上a.e. 有限的可测函数，。试证明对，存在上a.e. 有界的可测函数，使得 。因为是上的a.e.有限的可测函数，设，令故有所以，故，使得令g(x)= 故。证毕。10、求证 , 。解答：1. 解：；设，则存在N，使，因此时，即，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多，得又显然，所以。；若有，则存在A，使任意,有。因此若时，即.令得，此不可能，所以。2证明：必要性：若是上连续函数，由第二

3、章习题8可知和是闭集。充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。3由外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且 故。证毕。4证明：先证可测：存在型集使得。令。.。因为,即,又,所以,所以.，所以 ,因为可测，可测，所以可测。同理可证可测。证毕。5鲁津定理：设是上a.e.有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且.逆定理：设是上的函数，对，总存在闭子集，使得在上是连续函数，且，则，是上a.e.有限的可测函数。证明：对任意，存在闭子集,使在上连续且,令，则对任意，有。令，得。对任意实数a， ，由在上连续，可知可测，而，所以也可测，从而是可测的。因此是可测的。因为在上有限，故在上有限，所以a.e.有限。证毕。6.由已知 则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，则可知是可测集。由，则可知也是可测集。证毕。7f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是的余集中长为的构成区间之并，则，因此，所以可积，且积分值为3。证毕。8对任意，由于非负可知： ，即证毕。9因为是上

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