实变函数试卷13_第1页
实变函数试卷13_第2页
实变函数试卷13_第3页
实变函数试卷13_第4页
实变函数试卷13_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、实变函数测试题11、设 。2、证明：为上连续函数的充分必要条件是对任意实数，集和都是闭集。证明：必要性：若是上连续函数，由第二章习题8可知和是闭集。充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。3、 设是任意可测集，则一定存在可测集型集，使得,且由外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且 故。证毕。5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。6、设是上的可测函数，为开集，为闭集，试问与是否是可测集，为什么？由已知 则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，则可知是可测集。由，则可知

2、也是可测集。证毕。7、设在Cantor集上定义函数=0，而在的余集中长为的构成区间上定义为（）,试证可积分，并求出积分值。8、设为上非负可积函数列，若则。对任意，由于非负可知： ，即证毕。9、 设是上a.e. 有限的可测函数，。试证明对，存在上a.e. 有界的可测函数，使得 。因为是上的a.e.有限的可测函数，设，令故有所以，故，使得令g(x)= 故。证毕。10、求证 , 。解答：1. 解：；设，则存在N，使，因此时，即，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多，得又显然，所以。；若有，则存在A，使任意,有。因此若时，即.令得，此不可能，所以。2证明：必要性：若是上连续函数，由第二

3、章习题8可知和是闭集。充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。3由外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且 故。证毕。4证明：先证可测：存在型集使得。令。.。因为,即,又,所以,所以.，所以 ,因为可测，可测，所以可测。同理可证可测。证毕。5鲁津定理：设是上a.e.有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且.逆定理：设是上的函数，对，总存在闭子集，使得在上是连续函数，且，则，是上a.e.有限的可测函数。证明：对任意，存在闭子集,使在上连续且,令，则对任意，有。令，得。对任意实数a， ，由在上连续，可知可测，而，所以也可测，从而是可测的。因此是可测的。因为在上有限，故在上有限，所以a.e.有限。证毕。6.由已知 则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，则可知是可测集。由，则可知也是可测集。证毕。7f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是的余集中长为的构成区间之并，则，因此，所以可积，且积分值为3。证毕。8对任意，由于非负可知： ，即证毕。9因为是上

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 中学教育

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论