极限的性质和运算法则

1、 极限的性质和运算法则极限的性质和运算法则一、极限的性质一、极限的性质1.如果如果 f（x）g（x），）， 而而BxgAxf)(lim,)(lim则有则有AB2.极限的唯一性极限的唯一性如果如果0 xxAxf,)(lim0 xxBxf,)(lim又又则必有则必有A=B3.极限的局部保号性),0(0)(lim0AAxfxx若若的的某某一一去去心心邻邻域域内内，则则在在0 x).0)(0)(xfxf或或必必有有)0(0AA则则的的某某一一去去心心邻邻域域内内，在在若若0 x),0)(0)(xfxf或或有有，且且Axfxx)(lim01)2)(局部局部)有界性有界性的的某某一一去去心心邻邻域域内内，

2、则则在在0 x.)(有有界界函函数数xf,)(lim0Axfxx若若定理定理5 的的充充要要条条件件是是Axfxx)(lim04、极限与无穷小的关系、极限与无穷小的关系)()(xAxf00)(limxxx其其中中 (1) (1) 自变量必须在同一变化趋势下；自变量必须在同一变化趋势下；(2)(2)极限存在的函数可写成其极限值极限存在的函数可写成其极限值 与无穷小之和与无穷小之和注意注意,)()2111xxxf例例)()(12xxf则则0)1(lim1xx1x取取xxxf11)(则,)()1121 xxxf0)1(lim1xxxxx1取取二、无穷小的运算性质二、无穷小的运算性质定理定理6 有限个

3、无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理定理7 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.xxx120sinlim求求极极限限例例知知为为有有界界函函数数，由由定定理理而而71xsin01sinlim0 xxx推论推论1 常量与无穷小之积仍为无穷小常量与无穷小之积仍为无穷小.推论推论2 有限个无穷小之积仍为无穷小有限个无穷小之积仍为无穷小.为为无无穷穷小小，时时因因为为当当解解xx0: 无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷大？无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷大？思考：无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷小？思考：无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷小？三

4、、极限的运算法则三、极限的运算法则定理定理8 8,limAU 若若BAVUlimlimBAVUlimlim)0(limlimBBAVU推论推论3 3为为常常数数CUCCU,lim)lim(为常数为常数 ,)(limlimUU推论推论4 4的的函函数数，均均为为、设设xVU.同同一一变变化化过过程程中中的的极极限限量量为为且且以以下下极极限限都都是是在在自自变变则则,limBV )lim()1(VU )lim()2(UV)lim()3(VU1 1）若有限个函数的极限存在，）若有限个函数的极限存在，2 2）上面各定理对于数列同样正确）上面各定理对于数列同样正确3 3）上面各定理的极限过程为）上面各

5、定理的极限过程为 或或x0 xx的的极极限限即即多多项项式式求求0 xx 注注 1 1）11lim2lim) 12(lim111xxxxx例例1nnnnaxaxaxP110)(若若)()(lim0101000 xPaxaxaxPnnnnnxx则则即即为为求求该该点点的的函函数数值值则和的极限则和的极限 等于极限的和等于极限的和注意：注意：若nnnnaxaxaxP110)(mmmmbxbxbxQ110)(且0)(0 xQm则)()()()(lim000 xQxpxQxpmnmnxx例例2351222xxxxlim13limlim5lim1limlim2222222xxxxxxxx35(lim)

6、1(lim2222xxxxx注注 2）注注 3）若0)(0 xQm0)(0 xpn)()(lim0 xQxpmnxx则则应消去零因子后，再求极限例例31) 32(lim1xx4532lim21xxxx原式0)(0 xpn0)(0 xQm若注注 4）例例493lim23xxx31lim3xx61注注 5）对于无理分式，若是型函数求极限，00则应将分子或分母有理化后，再求极限0) 45(lim21xxx例例5xxx11lim200) 11(lim20 xxx) 11(lim220 xxxx357243lim2323xxxxx33357243xxxxxlim73例例6例例7) 12)(12(lim2

7、23xxxxx)12)(12(11lim2xxxx41)1212(lim223xxxxx例例8)1(limxxx0babaxxxx、求设, 0)11(lim2xxx11limmmmnnnxbxbxbaxaxa110110limmnmmnnxxxbxbbxaxaa1010limmnmnnmba,0,00注注 6） 例例91)1()()12xbxbaxa（数故分子次数低于分母次1, 1001babaa得所以例例9四、有关数列极限的题目四、有关数列极限的题目)21(lim222nnnnn)21 (1lim2nnn2) 1(1lim2nnnn21，由已知，上式极限为零解baxxx1121)1()1()1(2xxbxaxx例例10NnNn1211limNnNnn1) 1(2lim)111()4131()3121(21 2limNNN2)111 (2limNN例例11)1 ()1)(1)(1 (lim,242nxxxxn求)1 ()1)(1)(1 (lim242nxxxxn解xxxxxnn111112422)()()(lim（xxnn11lim12) 1(11xx) 1(24323221 limNNNxxxxxxnn1)1 ()1)(1)1)(1 (lim242（1x设例例12)2cos2cos2(coslim2nnxxxxxxxxnnsin2cos2cos2cos