第五章线性定常系统的综合

1、第五章第五章线性定常系统的综合线性定常系统的综合2本本 章章 内内 容容5.2 5.2 极点配置问题极点配置问题5.1 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.3 5.3 系统镇定问题系统镇定问题5.4 5.4 系统解耦问题系统解耦问题5.5 5.5 状态观测器状态观测器5.6 5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统利用状态观测器实现状态反馈的系统35.1 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.1.1 5.1.1 状态反馈状态反馈1 1、概念：对系统、概念：对系统状态反馈：将系统的每个状态变量乘以相应的反状态反

2、馈：将系统的每个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，其馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，其和形成的控制规律，作为受控系统的输入。和形成的控制规律，作为受控系统的输入。对于对于 个状态变量个状态变量 ，引入状态反馈系数矩阵，引入状态反馈系数矩阵 ，则有，则有 x = Ax+ Bu y = Cx+ Dunix12Kkkkn121 12212Kx = k+ k+ kkkknnnnxxxxxx4作为反馈与作为反馈与 相减而成新的输入结构图如图所相减而成新的输入结构图如图所示：示：2 2、状态反馈系统的状态空间表达式、状态反馈系统的状态空间表达式将将 代入得：代入得：uu=

3、 v - Kxx = Ax+ B v - Kx = A- BK + Bvy = Cx+ D v - Kx = C - DK x+ Dv5反馈前后表达式进行比较：反馈前后表达式进行比较：系统维数没有改变；系统维数没有改变；系统的特征多项式由系统的特征多项式由 变变 为为 ；通过改变通过改变 各分量，可以调节系统极点分布，从各分量，可以调节系统极点分布，从而进行性能分析。而进行性能分析。以下分析只对于单输入单输出系统。以下分析只对于单输入单输出系统。0I - A0I - A- BKK65.1.2 5.1.2 输出反馈输出反馈 H H 为为 常数矩阵常数矩阵mr 线性定常系统方程为：线性定常系统方程

4、为：xAxBuyCxDuuVHy输出线性反馈控制律为：输出线性反馈控制律为：711y(IDH) Cx(IDH) DV11xAx B(V Hy)A BH(I DH) Cx B BH(I DH) DV8 注：注： 线性定常系统引入输出反馈后，不改变系统的线性定常系统引入输出反馈后，不改变系统的能控性和能观性。能控性和能观性。95.1.3 5.1.3 输出到输出到 反馈反馈x x xAxBuyCxDu线性定常系统方程为：线性定常系统方程为：加入输出加入输出y y 到到 反馈反馈10 xAxBuyCxDuGyx(A+GC)x(B+GD)uyCxDu11 矩阵矩阵G G的引入能改变系统特征值，进而改变系

5、的引入能改变系统特征值，进而改变系统获得所要求性能。统获得所要求性能。注：注：125.2 5.2 极点配置问题极点配置问题定理定理 如果原受控系统能控，则对其进行状态反馈如果原受控系统能控，则对其进行状态反馈可任意配置极点。可任意配置极点。证明：证明：设系统设系统引入引入 后，后，目的：求目的：求 的根，即特征值（极点）的根，即特征值（极点）方法：方法：能控系统能控系统 经变换经变换得能控标准型得能控标准型 x = Ax+ Bu y = Cxu= v - Kxv y x = A-bk x+b= cx0I - A- BK x = Ax+ Bu y = CxcxT xu yx = Ax+b= cx

6、13其中，其中，引入状态反馈系数矩阵引入状态反馈系数矩阵 后，系统后，系统的能控性不变。的能控性不变。1011 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 naaaccATAT1001 ncbTb =01ncc = cT 011 nkkkk14下面判断下面判断 经过非奇异变经过非奇异变换换 后的系统后的系统是否能控？是否能控？其中，其中，v,y x = A-bk x+b= cxcxT xv,yxA-bk x+ b= cx111v,yvycccccccccT xA-bk T x + b= cT xxTATTbkTx +Tb= cT x011 nkkkckkT15011011 0 1 0 00 0

7、 0 1 00 0 0 11 0 1 0 0 0 0 1nnkkkaaaA - bk011011000 0000 000 0 0 1 0 1 0 0 0 nnkkkaaa 001111 0 1 0 0 0 1 nnakakak 1101 nnnnakak I - A-bk=I - A-bk16若已知系统要求配置的极点若已知系统要求配置的极点/ /特征值为特征值为那么希望的特征多项式为那么希望的特征多项式为则由则由 对比系数可得：对比系数可得：即得即得 ，那么，那么得证。得证。12n 121110nnnnfaaa f IA-bK11122100,nnnnnnkaakaakaak1011 nkkk

8、ckkT17注意：注意：非奇异变换不改变系统的特征值及极点非奇异变换不改变系统的特征值及极点 状态反馈不改变系统的能控性状态反馈不改变系统的能控性4 4、状态转移矩阵、状态转移矩阵 的计算的计算 系统系统 引入状态反馈后为引入状态反馈后为1 1） 为任意形式：直接求为任意形式：直接求步骤：步骤：、判断系统能控性；、判断系统能控性；、ku,y x = Ax+b= cxv,y x = A-bk x+b= cxAk1110IA-bknnnaaa18、求希望特征多项式：、求希望特征多项式： 如果要求系统希望特征值为如果要求系统希望特征值为 则则、对比系数求得、对比系数求得 ： 由由 得：得： 继而求得

9、：继而求得： 1221110nnnfaaa12n12nkkk IAbk f0011nnaaaaaa12nkkk19例例 对系统对系统设计设计 ，使闭环极点分布在，使闭环极点分布在 。解：解：能控性：能控性：由于由于 ，则，则 ，那么该系统能控。，那么该系统能控。0100011000211000 xxx uyk2, 1 i 001013124M1M3rankM20设设希望特征多项式为：希望特征多项式为：123k kkk1231230100010011001100212kkkkkk A-bk32323132kkkkIA-bk 32211464fii 21由由 对比系数得：对比系数得：引入引入 后，

10、系统的模拟结构图为：后，系统的模拟结构图为： IA-bk f323134,26,4kkkk123431kkk43 1k222 2） 为能控标准型为能控标准型步骤：步骤：、判断能控性；、判断能控性；、系统的特征多项式：、系统的特征多项式：A01101001naaaA011210101nnakakakA-bk1101nnnnakakIA-bk23、希望特征多项式：、希望特征多项式：、由、由 对比系数可得：对比系数可得：. . 1221110nnnfaaa IAbk f12nkkk243 3） 为任意矩阵为任意矩阵先得能控标准型先得能控标准型 ，计算，计算 ，再求，再求 。步骤：步骤：、判断能控；、

11、判断能控；、求、求 的特征值，转换为能控标准型；的特征值，转换为能控标准型；、引入、引入 后的特征多项式：后的特征多项式：、希望特征多项式：、希望特征多项式：、由、由 对比系数得对比系数得 ；、由、由 得得 。 AAkkA12knkkk1101IAbknnnnakak 21110nnfaaa fIAbkk1kkTck255 5、引入状态反馈后系统的能控性及能观性、引入状态反馈后系统的能控性及能观性1 1）能控性不变）能控性不变2 2）不能保证系统能观性不变）不能保证系统能观性不变26 非渐近稳定系统通过引入反馈，使其极点非渐近稳定系统通过引入反馈，使其极点均具有负实部，保证系统渐近稳定。均具有

12、负实部，保证系统渐近稳定。5.3 5.3 镇定问题镇定问题 5.3.1 5.3.1 镇定问题的提出镇定问题的提出27定理定理1 1： 线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxbAxxyu 引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分量是渐近稳定的。分量是渐近稳定的。5.3 5.3 镇定问题镇定问题 5.3.2 5.3.2 镇定条件镇定条件28定理定理2 2： 线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxbAxxyu 引入输出反馈能镇定的充要条件为：结构分解中能控引入输出反馈能镇定的充要条件为：结构分解中能控且能观测子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是

13、渐近且能观测子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的。稳定的。29例：证明下列系统不能通过输出反馈使之镇定。例：证明下列系统不能通过输出反馈使之镇定。30证明证明：（：（1 1）系统能控且能观测）系统能控且能观测 （2 2）系统特征多项式：）系统特征多项式：系统不稳定系统不稳定（3 3）引人输出反馈）引人输出反馈31此时，特征多项式为：此时，特征多项式为：无论怎样选择无论怎样选择H H，也不能使系统镇定。，也不能使系统镇定。注：利用输出反馈未必能使能控且能观的系统得到镇定。注：利用输出反馈未必能使能控且能观的系统得到镇定。32定理定理3 3： 线性定常系统方程为线性定常系统方程为Cxb

14、Axxyu 引入从输出到引入从输出到 反馈实现镇定的充要条件为：结构反馈实现镇定的充要条件为：结构分解中不能观测子系统是渐近稳定的。分解中不能观测子系统是渐近稳定的。x 335.4.1 5.4.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMOMIMO系统系统xAxBCxuy5.4 5.4 解耦问题解耦问题在在 (0)0 x的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 ( )G s描述描述： 1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s34 耦合：耦合：每一个输入控制着多个输出，而每一个输每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多个输

15、入所控制。出被多个输入所控制。解耦控制：解耦控制：每个输出受且只受一个输入的控制。每个输出受且只受一个输入的控制。11111221221122221122( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs u sy sgs u sgs u sgs u sy sgs u sgs u sgs u s35（1 1） 已知传递函数阵已知传递函数阵5.4.2 5.4.2 预备知识预备知识111212122212( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) (

16、 )( )ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgs( )ijgsijd 其中其中都是严格真的有理分式都是严格真的有理分式( (或者为零或者为零) )。令。令的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差。是是( )ijgs121min1lim( ) ( )(s) iiiiipdiiisddddEsgsgsGi ，为的第 行36(2) (2) 若若A,B,CA,B,C已知，则已知，则 00,1 210 1 00,1 21 kiiikic A Bkc A Bdnc A Bkn当，而时=当，时idiiEc A B37例：例： 给定系统给定系统 其中其中: :xAxBuyC x

17、000101123A100001B110001C38其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为 : :得到得到 : :因因也可求得也可求得21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss1111222122min 1min1 2 10min 1min2 1 10dddddd ，20 1 0,c B11 0 0,cB1200dd，39iE同样，由两种方法求得同样，由两种方法求得 的也相同。的也相同。12111311(1)(2)(1)(2)lim( )lim1 0 1 1 01 0ssdEsgsss ssssscBA BsA2222lim(

18、)lim0 1 0 0 1(1)(2)(1)(2)10 1ssdEsssg sscssBAsAB401211111222111,pdddpppuLvKxc AEFc AEFEFKE F LEEFc A 系统在状态反馈下实现解耦的充要条件E非奇异，即： detE0其中，5.4.3 5.4.3 状态反馈解耦充要条件状态反馈解耦充要条件41 1211111111()110()0 1pdddxABE F xBE vyCxssGC sIABE FBEs 421) 1) 求出求出 系统的系统的2 2）构成矩阵）构成矩阵E E，若，若E E为非奇异，则可实现状态反为非奇异，则可实现状态反馈解耦；否则，不能状

19、态反馈解耦；馈解耦；否则，不能状态反馈解耦；3 3）求取矩阵）求取矩阵K K和和L L，则，则u=Lv-Kxu=Lv-Kx就是所需的状态就是所需的状态反馈控制规律。反馈控制规律。5.4.4 5.4.4 状态反馈解耦步骤状态反馈解耦步骤piEdii, 2 , 1，、43例例 给定系统给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。耦后的传递函数矩阵。000100010012301xxu1 1 00 0 1yx44解：解：1)1)2 2）因为）因为 为非奇异的，所以可状态反馈解为非奇异的，所以可状态反馈解耦。耦。3 3）因为）因为 所以有

20、所以有100102121EEdd，IEEE213211002122111121AcAcFAcAcFddIELFEK1132110045100110()001000000111000110()10 xABK xBVxuyxsGC sIABKBLs xvu3211004 4）反馈后，对于闭环系统）反馈后，对于闭环系统 有有k465.5 5.5 状态观测器的设计状态观测器的设计5.5.1 5.5.1 定义定义 状态变量不总能直接得到，那么要实现状态反馈，状态变量不总能直接得到，那么要实现状态反馈，就要采用一种间接方法，即根据系统能够测量到的就要采用一种间接方法，即根据系统能够测量到的一些变量（如输出

21、量）来构造状态变量（即状态变一些变量（如输出量）来构造状态变量（即状态变量的估计值），使其逼近真实状态变量。量的估计值），使其逼近真实状态变量。定义：能够根据测量得到的输入和输出两，重造系定义：能够根据测量得到的输入和输出两，重造系统状态估计值的动力学系统。统状态估计值的动力学系统。475.5.2 5.5.2 结构结构利用原系统的利用原系统的 ，构造一个模拟系统：，构造一个模拟系统：分析：分析：只有当模拟系统与受控系统初始状态变量相只有当模拟系统与受控系统初始状态变量相同，且在同一输入作用下，才有同，且在同一输入作用下，才有 。但实际上。但实际上 与与 间存在很大差别，且由此产生对应输出间存在

22、很大差别，且由此产生对应输出,A B C ueeeeCxyBuAxx.xxeexx48 与与 的误差，这样，可以利用的误差，这样，可以利用 与与 间的间的误差对误差对 进行修正，使进行修正，使 逼近于逼近于 。方法：方法：将将 通过通过 阵控制模拟系统的状阵控制模拟系统的状态变量态变量 。模拟结构图如下图示：。模拟结构图如下图示：eyyeyyexexx tytyeHex49状态观测器的状态空间表达式为：状态观测器的状态空间表达式为：如何确定如何确定 阵，使阵，使 尽快趋于尽快趋于 。 CxytxtxHCBuAxtytyHBuAxxeeeeee.H txe txeeexxHCAHyBuxHCAB

23、uAxxx.50设初始条件为设初始条件为 ，则齐次状态方程的解为：，则齐次状态方程的解为：分析：分析：当当 时，时， ，即，即 可代替可代替 ；当当 时，若使时，若使 ，须满足，须满足 的特征值（系统极点）分布在的特征值（系统极点）分布在 平面左半平面，即平面左半平面，即具有负实部；具有负实部；00,exx00etHCAexxexx00exx exx exx00exx 0limetxxHCAS51 趋于趋于 的速率取决于的速率取决于 特征值的分布，特征值的分布，那么通过选择那么通过选择 阵，使阵，使 的特征值任意配置；的特征值任意配置；状态观测器可任意配置极点的条件：原系统能观状态观测器可任意

24、配置极点的条件：原系统能观 的特征值的特征值= = 的特征值的特征值= = 的特征值的特征值记记系统系统 完全能控时，存在一个状态反馈阵完全能控时，存在一个状态反馈阵使系统极点可任意配置，使系统极点可任意配置，即系统即系统 完全能控等价系统完全能控等价系统 完全能观完全能观exxAH CHAH CAH CTTTACH11AB K,11TTTAA CB HK,11A BK,TTTACB,A B C52结论：结论：若系统若系统 完全能控，则存在完全能控，则存在 阵使阵使状态观测器极点可任意配置。状态观测器极点可任意配置。设计状态观测器步骤：对系统设计状态观测器步骤：对系统判断能观性；判断能观性；对

25、单输出系统，设状态反馈阵对单输出系统，设状态反馈阵 ，得状态观测器特征多项式：得状态观测器特征多项式：由题意得希望特征多项式：由题意得希望特征多项式：对比系数得对比系数得 阵阵写出状态方程。写出状态方程。,A B CH,xAxBu yCx0111nnhhHh HCAIf *.12nfH53例例 对系统对系统 设计状态观测器，使极点分布在设计状态观测器，使极点分布在 。解：解：判断能观性：判断能观性：由于由于 ，则系统完全能观。，则系统完全能观。设设 ，则则21.2.102,103210 xxyuxxxx213212002CVCA2rankV10hhH 2262332212100210hhhhh

26、IfHCA54希望特征多项式：希望特征多项式：对比系数得：对比系数得：状态方程为：状态方程为： 96322*f15 . 110hhH-3101.50-31-1 .eeex = A- HC x + Bu+ Hy=x +u+y555.5.3 5.5.3 降维状态观测器降维状态观测器 全维状态观测器：维数与受控系统维数相同，即全维状态观测器：维数与受控系统维数相同，即 也是也是 维矢量。维矢量。 降维状态观测器：维数低于受控系统维数。降维状态观测器：维数低于受控系统维数。 由于输出矢量可测量，那么可以从由于输出矢量可测量，那么可以从 中直接获中直接获取部分状态变量，从而降低观测器维数。取部分状态变量

27、，从而降低观测器维数。 若系统状态完全能观，且输出矩阵若系统状态完全能观，且输出矩阵 的秩是的秩是 ，则由则由 可直接得到可直接得到 个状态变量，因此只需重构不个状态变量，因此只需重构不能从能从 中得到的中得到的 个状态变量，即个状态变量，即 维。维。nyCmymynmnmnm56析：若析：若 则则 所以所以设计降维状态观测器共有两步：设计降维状态观测器共有两步：根据由根据由 能否直接观测到状态变量将其进行分能否直接观测到状态变量将其进行分离：离： ， 维，需重构维，需重构 ， 维，直接由维，直接由 得到得到设计设计 维状态观测器估计维状态观测器估计 。,Im,Imm nmn mmn mran

28、kCmCCCxyy1x2xnmmynm1x57过程：过程：系统系统 前提：系统能观且前提：系统能观且分离状态变量：分离状态变量：经非奇异变换经非奇异变换 可得：可得：其中其中 ， 为保证为保证 非奇异的任意非奇异的任意 阵。阵。,:, A B CxAxBu yCxrankCm,:, A B CxAxBu yCx0,:,A B CxAxBu yCx 1xQ x1PQC PQnmn58其中其中 是是 维列向量，维列向量， 是是 维列向量维列向量 是是 阵，阵， 是是 阵阵 是是 阵，阵， 是是 阵阵21xxx1xnm2xm222112111AAAAAQQA11A nmnmnmmmnmm m12A2

29、1A22A59 是是 阵，阵， 是是 阵阵由于由于 则则所以所以112BBQ BBB1nmrm rB21PCCQCC0PPCCCIC 0CI60变换后的方程为：变换后的方程为：可见，可见， ，则只需重构，则只需重构 。设计设计 维状态观测器维状态观测器、建立以、建立以 为状态变量的状态空间表达式：为状态变量的状态空间表达式：1xnm111222,.xxxxxx11121212220AABu yIAAByx 21xuByAxAuBxAxAx11211112121111.uByAxAuBxAxAx22212122221212.61设设则则以以 为状态变量的状态空间表达式为：为状态变量的状态空间表达

30、式为：1211xAy xAyuByAy211222.1xuByAxAuBxAxAx11211112121111.1211xAy 62、对、对 设计状态反馈系统：设计状态反馈系统：引入引入 反馈阵反馈阵 ：所以降维观测器的系统矩阵为所以降维观测器的系统矩阵为特征方程为特征方程为1xnmmH1112121111.yHuByAxAHAxeeuByAHyHuByAxAHAxee222.112121111.1121AHA 01121IA - HA63为了消去导数项为了消去导数项 ：令令则则所以所以.yyHxze11.1.1.yHxzeyFuBHBzAHAyAHAHAHAuBHBzAHAz2112111221221112112111.1yHzxe1164整个状态向量整个状态向量 的估计值为：的估计值为： 由由 变换到变换到 ：xxxQxyIHzIyyHzxxxe11210 x655.6 5.6 利用状态观测器实现状态