高等数学D2_1导数的概念

1、第二章微积分学的创始人微积分学的创始人: : 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 ( (从微观上研究函数从微观上研究函数) )导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家Ferma在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出. .英国数学家英国数学家 Newton一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念

2、导数的概念 第二章第二章 一、引例一、引例1. 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动自由落体运动 xyo)(xfy C曲线曲线)(:xfyCNT0 xM在在M点处的切线点处的切线x割线割线MN的极限位置的极限位置MT( (当当 时时) )割线割线MN的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线切线MT 的斜率

3、的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 两个问题的两个问题的共性共性: :so0t)(0tf)(tft瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. .类似问题还有类似问题还有: :加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量与时间增量速度增量与时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量与时间增量转角增量与时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量与长度增量质量

4、增量与长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量与时间增量电量增量与时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题二、导数的定义二、导数的定义)(xfy在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在, ,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy记作记作: :;0 xxy; )(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义, , 在点在点0 x处可导处可导, , 在点在点0 x

5、的导数的导数. . 运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt曲线曲线)(:xfyC在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在若上述极限不存在, ,在点在点 不可导不可导. . 0 x若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x若函数在开区间若函数在开区间I内每点都可导内每点都可导, ,

6、此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数. .记作记作: :;y; )(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意: :)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就说函数就称函数在就称函数在I内可导内可导. . 的导数为的导数为无穷大无穷大. .Cxf)( (C 为常数为常数) )的导数的导数. . 解解: :yxCCx0lim0即即0)(C)N()(nxxfn.处的导数在ax 解:axafxf)()(axlim)(afaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx说明：说明：对一般幂函数xy( 为常数为常数

7、) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11 x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）（以后将证明）hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)( 的导数的导数. . 解解: :, xh 令则则)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin类似可证得类似可证得xxsin)(cosh)1(lnxhxxfln)( 的导数的导数. . 解解: : )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即x

8、x1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh 1lim0或或则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:xxf)(在在x = 0不可导不可导. . 证证: :hfhf) 0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在, , .0不可导在即xx)(0 xf存在存在, ,求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: :原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)( 2 )(0hhx

9、f)(0 xf三、导数的几何意义三、导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf 若若, 0)(0 xf曲线过曲线过上升上升; ;若若, 0)(0 xf曲线过曲线过下降下降; ;xyo0 x),(00yx若若, 0)(0 xf切线与x轴平行,称为称为驻点驻点; ;),(00yx),(00yx0 x若若,)(0 xf切线与切线与x x轴垂直轴垂直. .曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程: :)(000 xxxfyy法线方程法线方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,

10、)(0时 xf整理课件1111例例7.7.问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线? ? 哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线131 xy平行平行? ? 写出其切线方程写出其切线方程解解: :)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得, 1x对应对应, 1y则在点则在点(1,1),(1,1)处与直线处与直线131 xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原点故在原点(0,0)(0,0)有垂直切线有垂直切线处可导在点xxf)(四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系定

11、理定理1.1.处连续在点xxf)(证证: : 设)(xfy在点在点x处可导处可导, ,)(lim0 xfxyx存在存在, ,因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy在点在点x连续连续. .注意注意: : 函数在点函数在点x连续未必可导连续未必可导. .反例反例: :xyxyoxy在在x = 0处连续处连续, ,但不可导但不可导. .即在点在点0 x的某个右的某个右 邻域内邻域内五、单侧导数五、单侧导数)(xfy若极限若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的右处的右 导数导

12、数, ,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0(x)0( x)(0 xf 0 x例如例如, ,xxf)(在在x = 0处有处有, 1) 0 (f1) 0 (fxyoxy 有定义有定义, ,存在存在, ,定理定理2.2.函数函数在点在点0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为在点在点处处右右 导数存在导数存在0 x定理定理3.3.函数函数)(xf)(xf在点在点0 x必必右右 连续连续. .(左左) ( (左左) )若函数若函数)(xf)(af)(

13、bf与都存在都存在, ,则称则称)(xf显然显然: :)(xf在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导,)(baCxf在开区间在开区间 内可导内可导, ,),(ba在闭区间在闭区间 上可导上可导. .,ba可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是且内容小结内容小结1.1.导数的实质导数的实质: :3.3.导数的几何意义导数的几何意义: :4.4.可导必连续可导必连续, ,但连续不一定可导但连续不一定可导; ;5.5.已学求导公式已学求导公式: :不连续不连续, ,一定不可导一定不可导. .直接用导数定义直接用导数定义; ;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. . )(C )(x )

14、(sinx )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sinxx1增量比的极限增量比的极限; ;切线的斜率切线的斜率; ;思考与练习思考与练习1.1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf区别区别: :)(xf是函数是函数, ,)(0 xf是数值是数值; ;联系联系: :0)(xxxf)(0 xf注意注意: :有什么区别与联系有什么区别与联系? ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数)(0 xf 存在存在, , 则则._)()(lim000hxfhxfh,) 0 (, 0) 0 (0kff则则._)(lim0

15、 xxfx)(0 xf0k),(x时时, ,恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在是否在0 x可导可导? ?解解: : 由题设由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导, ,且且0)0( f0,0,sin)(xxaxxxf, ,问问a取何值时取何值时, ,)(xf在在),(都存在都存在, ,并求出并求出. )(xf 解解: :) 0 (f00sinlim0 xxx1) 0 (f00lim0 xxaxa故故1a时, 1) 0 ( f此时此时)(xf在在),(都存在都存在, , )(xf0,cosxx0,1x显然该

16、函数在显然该函数在x = 0连续连续. .解解: : 因为因为)(xf 存在存在, ,且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在在 0 x处连续处连续, ,且且xxfx)(lim0存在，存在，证明证明: :)(xf在在0 x处可导处可导. .证：因为证：因为xxfx)(lim0存在，存在， 则有则有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x处连续处连续, ,0) 0 (f所以所以xxfx)(

17、lim0即即)(xf在在0 x处可导处可导. .xfxfx) 0 ()(lim0) 0 (f故故整理课件牛顿牛顿(1642 1727)(1642 1727)伟大的英国数学家伟大的英国数学家, , 物理学家物理学家, , 天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家. .他在数学上的卓越他在数学上的卓越贡献是创立了微积分贡献是创立了微积分. .16651665年他提出正年他提出正流数流数( (微分微分) )术术, , 次年又提出反流数次年又提出反流数( (积分积分) )术术, , 并于1671年完成年完成流数术与无穷级数流数术与无穷级数一书一书 (1736(1736年出版年出版).). 他还著有还著有自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理和和广义算术广义算术等