圆周运动脱轨和临界问题(教案)

1、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况， 经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型模型1: “轻绳类”图1图2绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图运 动 过(1)临界条件：在最高点，绳子(2)小球能通过最高点的条件：生向(3)小球不能过最高点的条件：斜抛1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周 最 高 点 的 情 况(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，Vo 河v 顾，当v 麻时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产 下的压力v 刷，实际上球还没到最高点

2、就脱离了圆圈轨道，而做运动模型2: “轻杆类”6 / 9有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V0 0(2) 小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况 ：当v 0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N,其大小等于小球的重力，即 N mg ;22vv 当 0 V TgR时， 因 mg N m, 则 N mg m.轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是 mg N 0. 当v刷时,n 0；22 当 v q疏时 ，

3、则 mg N m, 即 N m mg ,RR杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力 的合力作为向心力，此时临界速度项(应根据具体情况具体分析 ).另外，若在月球 上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体A点由静止下滑，若小球恰能【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的 通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点 B而做圆周运动，问 A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类”，其

4、中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是临界押g ,根据机械能守恒定律得mgh12mg 2R _mv缶界25把 V临界晒代入上式得：hmin 2R【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带A点由静止下滑,负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 若小球恰能通过半径为 R的竖直圆形轨道的最高点 B而做圆周运动，问 A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用：电场力F qE,方向竖直向上；重力弹力N,方向竖直向下.由向心力公式，有mg N qE m 要使小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运动，说明小球此时

5、处于临界状态，其速率VB为临界速度，临界条件是由此可列出小球的临界状态方程为mg qE2Vb m R说明把式中的mg qE换成2mvB ,较容易求出hRmin,L、 ，r、12(mg qE) (h 2R)mvj2 B【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？ 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速度，临界条件是N0

6、 .由此可列出小根据动能定理，有（mg球的临界状态方12qE) (h 2R) -mv2小结 上因为电场由上述二式解得：hmin 5 R 述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么 ？力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关.我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度gj比例1中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度 g2”比例1中的重力加速度g增大.例2中南界两mg1hmg1 2R122 mV临界例3中v临界.Rg2mg2hmg2 2R12- mV旧界2把丫临界代入各自对应的式子，结果mg、mg2分别都约去了，

7、故 hmin2【例4】如图7所示，一个带止电m的电荷，从光滑的斜面轨道的 A点由静止q、质里为下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点 B（圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场），问点A的高度至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ,说明小球此时处于临界状态，其速率Vb为临界速率，临界条件是 N 0,由此可 列 出 小2Vbmg qvB B m 12mgh mg 2R mvB2因Vb只 能, 可 得 ：Vb / qB J(qB)2 呼2m.RR12 4m2g 2R2-2 4m2ghmin 2R qB （qB） y 8mg

8、R【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为q、质量为m的电荷，从光R的竖直圆形轨道的最高点B （圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场），问点A的高度h至少应为多少？取 正 值 ， 即Vb 而qB J(qB) r【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ,说明小球此时处于临界状态，其速率Vb为临界速率，临界条件是 N 0,由此列出小球的临界mg qvBB qE mvBR12(mg qE) (h 2R)-mvB2台匕 目匕VbR2m12 4mqB (qB) r (mg qE)hmin2R

9、R22m2 4mqB .(qB)(mg qE)8m(mg qE)qB，(qB)2 4m (mg qE)小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是N 0.【例6】如图9所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R 0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E 5.0 103V/m . 一不带电的绝缘小球甲，以速度Vo沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m 1.0 10 2 kg ,乙所带电荷量q 2.0 10 5C , g

10、取10m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)(1)甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ,求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；(2)在满足(1)的条件下。求的甲的速度 vo ；(3)若甲仍以速度Vo向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次 落点到B点的距离范围.图9【解析】(1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为VD ,乙离开D点到达水平轨道的时间为 t ,乙的落点到B点的距离为x ,则,2mg qE m 2R - (mg qE)t2 R2 mx VDt联立得x 0.4m(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、七，根据

11、动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0 mv甲 mv乙1mv21mv1mv2联立得Vo由动能定理,mg 2RqE 2R1 2一 mvD2mmvl 电 2联立得Vo5(mg Eq)R2.5m/sm(3)设甲的质量为 M ,碰撞后甲、乙的速度分别为Vm、Vm,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有MV0Mvmmvm1 21212 Mv 0 Mv M mvm2 22联立得VmM m由O和M>m,可得 v0Wvmv2M设乙球过D点时速度为vD ,由动能定理得1 '2 12mg 2R qE 2R mvD mvm窗2 D 2 m联立C12 得 2m/s< vD< 8m/s (14设乙在

12、水平轨道上的落点距B点的距离x',有xVpt联立04得：0.4m<x<1.6m【例7】如图10所示，杆长为L , 一端固定一质量为 m的小球，杆的质量忽略不计，整个 系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动.g 10m/s2求： (1)小球在最高点 A的速度Va为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零？(2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力(3)若 m 0.5kg , L0.5m , vA 0.4m/s ,多F为拉力和推力时的临界速度分别是多少则在最高点 A和最低点B ,杆对小球m的作用 大，图11 图12【解析】此题属于“轻杆类”.若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆

13、周运动的向心力仅由重力mg提供，根据牛顿解得(2)若小球m在最高点 A时，受拉力 F ,受力如图2匚MF mg m 解得第二定律，有： mgVa11所示，由牛顿第二定律，有2VA mL若小球 m在最高点 A时，受推力 F ,受力如图V1gL :12所示，由牛顿第二定律，有2解得:gLmgVa. gL长是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.L 0.5m 时Vo '"gL 2.2m/s,o.4m/s<Vo ,杆对小球有推力FA ,有mg FA m1 ,则FA 4.84N .由A至B只有重力做功，机械能守恒.设B点所处水平面为参考平面，则ImV；212mg 2

14、LmvB ,2Vb4gL4.5m/s在最低点 B , 小球 m 受2VbFb mg m-j-Fbmg2Vb m 25.3N【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道 AB部分平直,LBC部分是处于竖直平面内半径为Vo射R的半圆，圆管截面半径 r ,有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度度 入圆管.(1)若要小球能从C端出来，初速Vo多大？(2)在小千从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度v0各应满足彳f么条件？7 / 9【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类 小球恰好能到达最高点的条件是Vc0 ,由机械能守恒，初速度应满足：12-mvo2要(2)在刚mg2

15、RVomg小球能从球从C端1好对管壁2Vcm 一L机 械 能Vc 0 , 管壁压 ,重力V4gR.射速度Vo ,/4gR .种典型情况：1 22mvomg2R对下管壁有压力，应有解 2Vc mg m Vo1 23 mVC5gR,相应的入射速度Vo应满足同2Vo45gR .对上管壁有压力，此时应有mg mVC-,相应的入射速度v0应满足小结本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条 件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加Vo 5gR例9如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 环形管顺时

16、针运动，当 A球运动到最低点时，速度为A B ,质量分别为R (比细管的 mA、mB ,沿Va , B球恰到最高点，若要此时圆管B 的 速 度Vb为 多 大图15图1610 / 9【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”.在最低点对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有NamAgVa mA R由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力 Na向上的压力Nb ',球B受力情况，如图16所示,Na ,根据题意Na' Nb ,即球B对对管有 由牛顿第三定律，管对球 B有向下的压力Nb ,对球B应用牛顿第定律Nb2mlB gm>B R ,由于 N

17、a Nb(2)如图当0当v小 球 在 凸、17所示，小球在凸半球上最高点运动时:mA 2 vB.VA,mB球 上mA _( 1)gRmB运 动v 砥，小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点.质，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动.当 v ygR ,图18所示，小球若通过凹半球的最低点时由以上分析可知，通过凸（或凹）半球最高点（或最低点平抛 速度只要v运动 .0即可.）的临界条件是小球速度）水 平 运 动 位 移 为 多 少【例10如图19所示，汽车质量为1.5 104kg ,以不变速率通过凸形路面，路面半径为?若汽车达到临界速度时将15m ,若汽车安全行驶，则汽车不

18、脱离最高点的临界速度为多少”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车2对轨道压力 N 0 ,则汽车不脱离最tWj点的临界速度为v0则有： mg m°-可得Rvo TgR；(2)当vo 阿时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度廊,故做平抛运动，则12R 2 gt , x Vot,可得：x V2R.【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图20所示.已知握绳的手离地面高度为d ,手与球之间的绳3长为-d ,重力加速度为g .忽略手的运动半径和仝气阻力.4(1)求绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2 .(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改