微积分(上)知识点重点复习整理交大

1、微积分（上）复习第一部分（第一章，第二章）函数、极限与连续一、要求1 .函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2 .极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和洛必达法则求极限3 .连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用有界闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor展式法（8）其他（

2、微积分性质，数列的性质）1. li xarctan x - xln(1 2x3)lixarctan x - x2x3-1 （等价小量与洛必达）62.已知f（x）三阶可导sin 6x xf (x)=0,求 limx . 06 f(x)lim解：xT0sin 6x xf (x)=limx _ 06cos6x f(x) xy'3x2-216cos6x 3y' xy'''limx _ 0-36sin6x 2y' xy''=lim -6x-216 3y''(0)=0. y''(0)=72lix6 f(x)=

3、lim-limEx02x XT0 22必=36（洛必达）3. xim1(2x2x（重要极限）ax b)x4 .已知a、b为正常数， 求lim （x 一 0'解：令t =（)x,lnt =3 -ln(axxbx) -ln2lim ln t = lim xx-0 x-0 a ，bx(axln a bx3ln b) = 一 ln(ab)2(变量替换)3/2 . t = (ab)5. limo(cosx)ln(1 x)解：令 t = (cosx)ln(1 x) ,ln t =2ln(1 x )ln(cos x)lim ln t = limx T0x T0-tan x2xl，t=e，/2 （变量

4、替换）26.设 f'(x)连续，f (0) = 0, f'(0)¥0,求 lim xf0x20 f(t)dt二 1o xx2 0 f(t)dt（洛必达与微积分性质）7.已知 f(x), /、一2j cln(cosx)x ,x = 0在x=0连续, ax = o解：令a = lim ln(cosx)/x2 =-1/2 (连续性的概念) x - 0三、补充练习x1.-3 （洛必达） e -1 - x limx-0 1 - x - cos . x-11.2. lim ctgx(-)(洛必达或 Taylor)x° sin xxx t2x e，出3. lim 0一-

5、=1(洛必达与微积分性质)x-0 1 .e'第二部分（第三章）导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1 .y=y（x）由Qylya黑叱5决定，求詈2 . y = y(x)由 ln(x2 + y)

6、= x y =y(x)由2xy =x + y决定,则 dy |x = (ln2-1)dxy +sin x决定，求 6 |x=0=1 dx解：两边微分得 x=0时y'= ycosx = y，将x=0代入等式得y=1B.曲线切法线问题4.求对数螺线P = e% （P,日）="71/21/2）处切线的直角坐标方程。解：x = e cos 00 凸，(x, y) |e=n/2 y = e - sin ?(0e：/2),yj-1/ 2y -e =-x5 .f(x)为周期为5的连续函数，它在 x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求

7、f(x)在(6, f(6)处的切线方程。解：需求f(6), f'(6)或f(1), f'(1),等式取x->0的极限有：f(1)=0lim f (1 + sin x) - 3 f (1 - sin x)IT0sin xsx f(1 t)-f(1)f(1_t).f(1)二 lim 3t-0ttC.导数应用问题= 4f'(1) =8. f'(1) =2. y = 2(x-6)6 .已知 y = f (x)对一切 x满足xf''(x) +2x f '(x)2 = 1 -e,若f'(xo) =0(x0 #0),求(xo, y0)点的

8、性质。- -ax0/0, Xh >0解：令x = x0代入，f''(x0)=f=0,故为极小值点。ex°x0(>0,Xo <03 x 7 . y =2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。(x-1)解：定义域 x (-二,1) (1, ,二)y'=0=驻点 x = 0及 x = 3y'' = 0=拐点x=0; x=1:铅垂；y = x + 2:斜8 .求函数y = (x1"加2+rctanx的单调性与极值、渐进线。2_解 ：y' = -XeH/2rctanx 驻点 x = 0与x = 11 x2渐：y

9、= e"(x-2)与y = x-29.求f (x) = x2 ln(1 + x)在x = 0处的n阶导数f(0)23n -2行 22, X Xn4 X' nq斛：x ln(1 x) = x (x -一 一 - (-1) o(x )23n -245nx3 -(-1)n4 o(xn)23n - 2(n)(°) =(-1尸n!n。2E.不等式的证明11.x (0,1),22 1111求证(1 x)ln (1 x) ： x ,-1 ： -一 ：；-ln 2 ln(1 x) x 2证：1)令 g(x) =(1 x)ln24(1 x) -x2,g(0) =0g'(x),

10、g''(x),g'''(x) =-2ln(1 6:二 0,g'(0) =g''(0) =0(1 x), xW (0,1)时g''(x)单调下降，g''(x) <0,g'(x)单调下降g'(x) < 0, g(x)单调下降,g(x)<0；得证。11F.中值定理问题2 )令卜3=1，xW (0,1),h'(x) <0,单倜下降，得证。 ln(1 x) x12.设函数f(x)在-1,1具有三阶连续导数,且 f(1) =0, f (1)=1, f'（0

11、） = 0,求证：在（-1,1）上存在一点 与 使f''不）=31 21 3证:f(x)=f(0) f'(0)xf''(0)x2f'''( )xln b - ln a (b - a) e2!3!其中 (0,x),x -1,1一 一1 一 1 一0 = f(-1) = f(0) - f''(0) - f'''( 1)将x=1, x=-1代入有26- 一 1 _1 _1 = f(1) = f (0) f''(0)f'''( 2)26两式相减：f'&

12、#39;'( 1) f'''( 2) =6韭包” ”2,弓广)=2''。1)+''() = 32. .22413. e<a<b<e，求证：ln b -ln a > (b - a) e证：Lagrange ifb垣) = f'()b -a2令 f (x) = lnx,ln 2 b - ln2 ab - a21n二 0( )：(e2)-小用（关键：构造函数）e三、补充练习43,*y''(0) = -2.曲线x = S sin 2t 4 小，,、，t在(0,1)处切线为y +2x1 =0y

13、 = e cos2t113. y =xln(e )(x - 0)的渐进线方程为y =x4.证明 x>0 时(x2 -1)ln x 之(x -1)2证：令 g(x) =(x2 -1)ln x-(x -1)2,g'(x), g''(x), g'''(x)=2(x2 -1)g(1) =g'(1) =0, g''(1) = 2 .0x (0,1),g''，0,g'' 2x (1,二)，g''' 0,g'' 2.g''>0./

14、3;(01),g'<0,g>0 、xw(1严),g'>0 ”第三部分（第四章，第七章）不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题会用定积分求物理问题（长、面、体）（功、引力、压力）二、题型与解法A.积分计算dxdx1.x(4 - x)44 - (x - 2)=arcsin-2 C22B.积分性质C.积分的应用3.设 f (ln x) = n-x)，求

15、f f (x)dx x解：f(x)dx= indx ex=e ' ln(1 ex)(1 - e x )dx = x -(1 e") ln(1 ex) C1 e, 二arctanx ,1b,1 x 、， 二 1 ,八4 .dx = - arctanx |1 lim (- ) dx = - - ln 21 x2xb-；1 x 1 x24 21f (x).5 . f (x)连续，9(x) = f f (xt)dt ,且 lim -(-) = A，求中(x)并讨论 0x 一 0 xW(x)在x = 0的连续性。xo f(y)dy解：f(0)= (0) =0, y =xt=(x)=xx

16、xf(x) - f(y)dya'(x) =02 '(0)= lim '(0) = A/2'(0)x22 x-0dx22 dx22226 .dx0tf(x t2)dt = -五0f(x2t2)d(t2-x2)d x22费0")7 .设 f (x)在0 , 1连续，在(0 , 1 )上 f (x) >0 ,且. 3a 2xf' (x) = f (x) 十 1 x，又 f (x)与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 f (x), 且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：(f )=3a : f (x) = 3a x2 cx f (x)dx = 2

17、 c = 4 -adx x 220. 3a 21 2f(x) = x (4 -1)x V'=(二 ° y dx)' = 0 a - -5三、补充练习1.2.lnsinx .2dx = -cotxln sin2x。cotx -x C sin2 xx2 -6x 13dxc arcsin % x ,3.x dx第四部分(第五章)常微分方程一、理论要求1 .一阶方程2 .高阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求 y(n) = f (x), y, = f (x,y')(y'= p(xD, y''= f (y, y')

18、(y'= p(y)3.二阶线性常系数2y'' py' q = 0"p.；，丁q 二 0储 ¥ K2 T yi =Ge*x +c2e'2x、1212、(齐次)=(%=K2T y1 =(c1+c2x)e"九=ot ± i P t y1 =ecx(c1 cos Px + c2 sin Px)0 丰、qT V2 = Qn (x)e"f (x) = Pn (x)ea =九10r儿2 t y2 = Qn (x)xe°x(非齐次)a =%and2 t y2 =Qn(x)x2e空f (x) =e：x(Pi (x

19、)cos x pj (x)sin ：x)&土iP#九t y2 =ea(qn(x)cosPx + rn(x)sinPx(非二a ±iPy2 =xecx(qn(x)cosPx + rn(x)sinPx(n = max(, j)齐次)二、题型与解法A.微分方程求解1.利用代换 y = u化简 y''cosx - 2y'sin x +3ycosx= ex 并求通 cosx解。(u''+4ux cos2x c .ex、=e , y = G+ 2c2 sin x +)cosx5cosx2.设y = y(x)是上凸连续曲线，(x, y)处曲率为 1,

20、且过(0,1)处.1 y,2切线方程为y=x+1 ,求y = y(x)及其极值。.2二11 ,八斛：y'' y' 1=0= y = In | cos(- x) | 1 ln2,ymax=1 ln 2 422三、补充练习1.已知函数y = y(x)在任意点处的增量 Ay =上当+ o(Ax), y(0) = %求y(1)1 , x(二 e4)2 .求 y''dy = e2x的通解。(y =Ge/x +c2e2x +二xe2x)4一 ，、，一221 23 .求(y+yx +y )dx xdy = 0(x >0), y(1) = 0 的通解。(y=,(x

21、 1)114 .求 y''_2y'£2x =0,y(0) =y'(0) =1 的特解。(y = 1 1 (3 + 2x)e2x4 4第五部分补充1.极限求解变量替换(100作对数替换)，洛必达法则，其他(重要极限，微积分性质，等价小量替换)1. lim 1(x a) +(x + 2a) + . + (x + (n -1)a) = x +-(几何级n± m n nn2数)22. limo( arccosx)1/x =e/2 (对数替换)tan-3. lim (2 -x) 2x 一 14.3 X Wlim () 2xf' 6 ' x5.limx - an _ nn 1(x a ) 一 na (x - a)(x-a)26.f (x)1 - co