附录.拉氏变换和z变换表

1、附录 A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质附表 A-1齐次性1 线性定理叠加性拉氏变换的基本性质L af (t )aF (s)L f1 (t)f 2 (t)F1 (s)F2 ( s)2微分定理一般形式L df (t )dt2L df (t )L d n f (t ) dt nf (k 1) (t)sF (s)f (0)2F ( s) sf (0)f（ ）s0nsn F ( s)s n k f (k 1) (0)k1d k 1 f (t )dt k 1初始条件为零时一般形式3 积分定理初始条件为零时4 延迟定理（或称 t 域平移定理）5 衰减定理（或称 s 域平移定理）6 终值定理L d

2、 nf (t ) sn F (s)dt nLf (t)dtF (s) f (t)dt t 0ssLf (t)(dt)2F (s)f (t)dtt0f (t)(dt)2 t 0s2s2sM共 n个共 k个nF (s)n1nLL f (t)(dt)1 Lf (t)( dt) t 0snk1 sn k共 n个Lf (t )(dt) n F (s)snL f ( tT )1(tT )eTsF (s)L f (t)e at F (sa)limf (t )lim sF ( s)ts 07 初值定理lim f (t )lim sF( s)t 0s8 卷积定理tL f1 (t ) f2 ( )d02常用函数的

3、拉氏变换和z 变换表tLf1(t ) f 2 (t) d F1 (s)F2 ( s)0序号拉氏变换 E(s)1112 1 e Ts13s14s215s316sn 1附表 A-2常用函数的拉氏变换和时间函数 e(t) (t)T (t )(tnT )n01(t)tt 22t nn!z 变换表Z 变换 E(s)1zz1zz1Tz(z1) 2T 2 z( z1)2( z1)3lim ( 1) nn(zaT)a 0n!anze17saeatzz e aT18 ( s a) 29aa)s(s10baa)(s b)(s1122ste at1 e ate ate btsintTze aT(ze aT )2(1

4、 e aT ) z( z 1)( ze aT )zzze aTze bTz sinTz22zcosT 112scos ts2213(sa)22eatsint14saeatcost22(sa)151a t / Ts(1/ T ) ln a3 用查表法进行拉氏反变换z( zcosT )z22 zcosT1ze aTsinTz22ze aTcosTe 2aTz2ze aT cosTz22ze aTcosTe 2aTzza用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F ( s) 是 s 的有理真分式，即F ( s)B( s) bm smbm 1 sm 1b1 s

5、 b0（ nm ）A( s) an snan 1sn 1a1 s a0式中，系数 a0 ,a1 ,., an 1 , an 和 b0 , b1 ,L , bm 1 ,bm 都是实常数；m, n 是正整数。按代数定理可将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。（ 1） A( s)0 无重根： 这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式，即c1c2cicnnciF (s)（ F-1）s s1s s2s sis sni 1 ssi式中， s1 ,s2 , sn 是特征方程A(s) 0 的根； ci 为待定常数，称为可按下列两式计算：cilim(ssi)( )s siF s或c

6、iB(s)A ( s) ssi式中， A (s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（ncinf (t ) L1F ( s) L1sti 1 ssi ci e ii 1（ 2） A(s)0 有重根： 设 A( s)0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为F (s) 在 si 处的留数，（ F-2）（F-3）F-1）可求得原函数为(F-4)B(s)F s(s s1 )r (s sr 1 ) ( s sn )crcr 1c1cr 1cicn=(s s1 )r 1(s s1 ) s sr 1s sis sn(s s1 )r式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ， ， sn 为 F(s)的 nr 个单根；其中， cr1 ， ， cn 仍按式 (F-2) 或式 (F-3)计算， cr ， cr 1 ， ， c1 则按下式计算：crlim ( ss1 ) r F ( s)ss1cr1limd( ss1 ) r F ( s)ssidsM1d( j )( s s1 ) r F ( s)crjlim( j )(F-5)j! s s1dsc11d ( r1)( ss1 )rF ( s)limds( r1)(r1)! s s1原函数 f (t ) 为f (t)L 1F ( s)L 1crcr 1