数学1对1春季课程第15讲四边形中的证明与计算

1、数学数学1对对1春季课程春季课程第第15讲讲 四边形中的证明与计算四边形中的证明与计算1菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 2如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm23已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A、当ABBC时，它是菱形； B、当ACBD时，它是菱形；C、当ACBD时，它是正方形； D、当ABC900时，它是矩形.4下列说法：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。一组对边平行，一组

2、对角相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、5.任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别是MN、PQ的中点，求证：KLAE,且AE=4KL.例1：如图在矩形ABCD中，延长CB到E，使得CECA，F是AE中点，联结BF、DF（1）求证：BFDF； （2）如果AB3，BC4，求四边形BFDC的面积参考答案：联结BD交AC于O，联结FO， 四边形ABCD是矩形，ABC90，ACBD2AO2CO，AOCO， F为AE中点， FO CE，ACCE，F

3、O BD，即FOOBOD， OFDODF，OFBOBF，OFDODFOFBOBF180； OFDOFB90，即DFB90， BFDF；（2）解：ABC90，AB3，BC4，由勾股定理得：BDAC5CE，BE541， 在RtABE中，由勾股定理得：AE ，F为AE中点， BF AE ，在RtDFB中， 例2.已知：如图，在ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H如果ADBD，求证：四边形EGFH是菱形参考答案：联结EF，交BD于点O 四边形ABCD是平行四边形， AB/CD，ABCD点E、F分别是AB、CD的中点， AECF四边形AECF为平行四边形

4、AFCAECDFHGEBAB/CD， FDHEBG又DFBE； DFHBEG， DHBGAB/CD，ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，DFOBEO FOEO，DOBODHGB，OHOG四边形EGFH是平行四边形点E、O分别是AB、BD的中点， OE/ADADBD，EFGH HEGF是菱形【试一试】【试一试】1.如图，ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF/BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC = 2 AB求证：（1）四边形ABDF是菱形； （2）AC = 2DG（1）点D、E分别是边BC、AC的中点 DE是ABC的中位线（三角形中位线的定义） D

5、E/AB，DE= AB （三角形中位线性质） AF/BC 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义） BC = 2 AB，又BC = 2 BD AB=BD 四边形ABDF是菱形（2）四边形ABDF是菱形 AF=AB=DF DE= AB EF= AF G是AF的中点 GF=AF GF=EF 在FGD和DAE中 ， FGD DAE GD=AE AC=2EC=2AE AC=2DG 2121EFGFFFAFDF212.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点 求证：（1）BM/GH； （2）BMCF证明：（1）在正

6、方形ABCD中，AD/BC，A=HBE，ADE=H，AE=BE，ADEBHE BH=AD=BCCM=GM，BM/GH （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90，又DF =AD，AE= AB，AE=DFAEDDFC ADE=DCF ADE+GDC=90，DCF+GDC=90DGC=90BM/GH，BMG=DGC=90，即BMCF2121例题3：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE BC过点E作EFCA，交CD于点F，联结OF（1）求证：OFBC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明（2）如果梯

7、形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形OFCE，EFCO，四边形OCEF是平行四边形EFCO又梯形OBEF是等腰梯形，BOEF OBOC四边形ABCD是平行四边形，AC2OC，BD2OB ACBD平行四边形ABCD是矩形参考答案：（1）将线段BC的中点记为G，联结OG，四边形ABCD是平行四边形， OBODOGCD； OGCFCEEFCA， OCGFECCG BC，CE BC， CGCE在OGC和FCE中， OGCFCE，CGCE，OCGFEC，OGCFCE（A.S.A）； OGFC又OGCF， 四边形OGCF是平行四边形OFGC 1212例题4：如图，在正方形ABCD中，点P是射线B

8、C上的任意一点（点B与点C除外），联结DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为点E、F（1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P在边BC上时，正方形的边长为2设CEx，AFy求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当x1时，求EF的长【巩固练习】1.如图，在RtABC中，ACB=90，A=60，点O是BC的中点，过点O的直线l从与BC重合的位置开始绕点O作顺时针旋转，交边AB于点D，过点C作CE/AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为(1)当 _度时，四边形EDAC是等腰梯形，此时BD的长为_。 当

9、_度时，四边形EDAC是直角梯形，此时BD的长为_。(2)当 90时，判断四边形EDAC是否为菱形，如果是，请证明；如果不是，请说明理由。 D B C A E l O C B A【巩固练习】如图,在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC内，CEAE,点F在边AB上，EFBC.（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.BFACDE1如图，ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF/BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC 2 AB 求证：（1）四边形ABDF是菱形； （2）

10、AC 2DG2已知，如图，在ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，BC2DC，作DNCM，交AC边于点N（1）求证：四边形MCDN是平行四边形；（2）当ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想1如图，ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF/BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC 2 AB 求证：（1）四边形ABDF是菱形； （2）AC 2DG3如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AFAE交CB的延长线于F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P（1）求证：AE=AF； （2）若BAF=BFD，求证：四边形APED是矩形4如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，BAD平分线交BC于E，联结ED（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）当ABC60，EC=BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形5.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E、F在边BC上，DEAB，AF CD，且四边形AEFD是平行四边形（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）现有三个论断：AD=AB；B