最新二次函数的翻折规律和题目

1、翻折规律1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y = aX + b#关牙x轴对称后，得到的解析式是2y =a(xh : +k关于x轴对称后，得到的解析式是2 .关于y轴对称2y = ax + b#的 y轴对称后，得到的解析式是2y =a (x-h ： +k关于y轴对称后，得到的解析式是3 .关于原点对称y -ax bx关牙原点对称后，得到的解析式是2y = a( x- h +关于原点对称后，得到的解析式是4 .关于顶点对称y=ax bx关才顶点对称后，得到的解析式是2. 一. .一 一 .y =a(x -h 2 +k关于顶点对称后，得到的解析式是y =

2、 -ax2 - bx 一 c ；2y =-a(xh ) k ;2y=ax bx+c；2y = a(x +h)+k ；-2y - -ax -bx - c ；2y =a(x +h)k ；22 .by = -ax -bx+c-;2a2y =-a(x -h j +k .5.关于点(m , n闪称22y =a(xh j+k关于点(m,n )对称后，得至解析式是 y =-a(x+h -2m ) +2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已

3、知的抛物 线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.操练：5. (2014?娄底 27. (10 分)如图甲，在 ABC 中，/ ACB=90 , AC=4cm , BC=3cm .如 果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀 速运动，它们的速度均为 1cm/s.连接PQ,设运动时间为t (s) (0vtv4),解答下列问题：(1)设4APQ的面积为S,当t为何值时，S取得最大值？ S的最大值是多少？(2)如图乙，连接 PC,将 PQC沿QC翻折，得到四边形 PQP C,当四边形PQP C为 菱形时，

4、求t的值；(3)当t为何值时， APQ是等腰三角形？考点：分析：(1)过点P作PH LAC于H,由 APH sABC ,得出骂二丝，从而求出 AB ,再BC ABPH.5-t,得出PH=3 - t,则 AQP的面积为： AQ?PH=t (3-t),最后进行整(2)连接PP交QC于E,当四边形PQP C为菱形时，得出 APEs ABC ,迪=娃AC AB?出 AE= - t+4 ,再根据 QE=AE - AQ , QE=QC 得出-t+4= - t+2 ,再求 t 即可；(3)由(1)知，PD= -t+3,与(2)同理得：QD=-t+4,从而求出 PQ=廖 1 2 lRt+25EA APQ中，分

5、三种情况讨论：当 AQ=AP ,即t=5 - t,当PQ=AQ ,即梓t2 18t+25=t,当 PQ=AP,即 18t+25=5 3 再分别计算即可.解答：解：(1)如图甲，过点 P作PHXAC于H, / 0=90,A0 B0 ,PH / B0,APHA AB0 ,PH=AP bc-ab, A0=4cm , B0=3cm , AB=5cm ,35 PH=3-t,. AQP的面积为：S= AQ PH= XX (3-t) =(t-) 2+,当t为秒时，S最大值为当cm2.(2)如图乙，连接 PP , PP交QC于E,当四边形PQP C为菱形时，PE垂直平分 QC,即PEL AC, QE=EC,A

6、PEA ABC , 1=;p -?AC AB. 匚 AP-AC （5-1） X4AE= w= t+4AB 5QE=AE - AQ t+4 - t= - t+4 ,QE=QC= （4-t） = - t+2 ,，t+4= t+2 ,解得：t=辿，13 0理V4,13 当四边形PQP C为菱形时，t的值是理s;13(3)由(1)知,PD= - t+3,与（2）同理得：QD=AD AQ= - t+4 1- pq= : . ji J= |-:二=1当当当aq=ap , pq=aq,pq=ap,在 APQ中，即t=5 - t时，解得：ti=；即 陛2 _ 181+25=1 时,解得：t2=9|, t3=5

7、；Y 51318t+25=5t时，解得：t4=0, t5=4；5130t4,3=5, t4=0不合题意，舍去， 当t为s或2s或里s时，4APQ是等腰三角形.1313点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形 结合思想进行解答.17. (2014年河南)(23. 11分)如图，抛物线 y= x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,直线y= 3 x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过4点P作PFx轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐

8、标为 m。(1)求抛物线的解析式;(2)若PE =5EF,求m的值;(3)若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点 P,使点E/落在y轴上？若存在,请直接写出相应的点 P的坐标；若不存在，请说明理由。解：二.抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A (1,0) , B(5,0)两点,0= -( 1)2 -b+cCb=4 -i2,王0= -55b+c c=5，抛物线的解析式为 y= x2+4x+5 . 3分(2)点P横坐标为m,则 P(m, m2+4m+5) ,E(m,- 3 m+3), F(m,0),4点P在x轴上方，要使 PE=5EF,点P应在y轴右侧，0 m 5.PE= - m2 +

9、4m+ 5- ( m + 3)= m2 + m +4424分分两种情况讨论:当点E在点F上方时，EF = - 3m+3.4 PE=5EF,-m2+ 19m+2=5(- - m+3)4413 ，即 2m 17m+26=0,斛得 m1=2, m2=(舍去)6 分2当点E在点F下方时，EF=-m-3.4PE=5EF , m2+ - m+2=5( m 3),44即 m2m17=0,解得 m3=1-Y69 , m4=1-69-(舍去)，1.69m的值为2或-2一 1(3)，点P的坐标为P1(2,【提示】E和E，关于直线 CE=Sm411一 ）,P2（4, 5）, P3（36，2513）.4PC 对称， / E/CP = Z ECP;又PE/y 轴，EPC=