极坐标与参数方程教案

1、极坐标与参数方程【教学目标】1 、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程 （2）掌握参数方程与一般方程的转化2 、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事 物，培养他们的创新精神和思维严谨性.3 、情感目标：培养学生数形结合是思想方法.【教学重点】1 、极坐标的与一般坐标的转化2 、参数方程和一般方程的转化3 、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分.根据不同的几何问题可以建立不 同的坐标系

2、，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它 们位置关系的数据确立.有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个 参数就可以使问题容易入手解答，计算简便.高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、 参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程 研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.【基本要点】一、极坐标和参数方程：1 .极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O,叫做 极点；自极点O引一条射线O X叫做 极轴； 再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.2

3、 .点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点 M的距离OM叫做点M的极径，记为 ； 以极轴O x为始边，射线OM为终边的/XOMPU做点M的极角，记为.有序数对（,）叫做点1精品文档M的极坐标，记为M(,).极坐标(，)与(， 2k )(k Z)表示同一个点.极点 。的坐标为(0, )( R).3.极坐标与直角坐标的互化:22 x2y , xcos ,ysin, tany-(x 0)x4.圆的极坐标方程:在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是在极坐标系中,以C(a,0)(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos在极坐标系中,以C(a ) (a>0)为圆

4、心，a为半径的圆的极坐标方程是，22asin5 .参数方程的概念:在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数的函数x f (t)，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲y g(t),线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做222 x6 .圆(x a) (y b) r的参数万程可表不为ya rcosb rsin(为参数).抛物线y22yy 1(a>b>0)的参数方程可表示为b2acos , bsin .(为参数).x2px的参数万程可表

5、不为y2pt2,(t为参数).2Pt.经过点MO(xo,yo),倾斜角为的直线i的参数方程可表示为XoV。tcos ,(t为参 tsin .【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、(1)点M的极坐标(5)化为直角坐标为(5 5 3、-,) D225 5 32T) (2，6)，3八 / 55-3、，55,'3、A ( , ) B (_, ) C2222(2)点M的直角坐标为(J3, 1)化为极坐标为5711A (2,刀)B . (2, ) C . (2,)666评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围.变式1： (1)点2, 2的极坐标为 .(2)在极坐标系中，圆心在

6、 A(1,),半径为1的圆的极坐标方程是 4一评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系.例2、(1)曲线的极坐标方程 4sin化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2) 2=4B.x 2+(y-2) 2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4y【解析】 将 P=%：x2y2 , sin 9= ； 22 代入 P=4sin & 彳导 x +y =4y,x y即 x2+(y-2) 2=4.应选 B.(2)。和。Q的极坐标方程分别为=4cos , =-4sin .把。和。Q的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过。Q, OQ交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，

7、极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(1) x= cos ,y= sin ,由=4cos ,得 2=4 cos .所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为。的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为。02的直角坐标方程22(2)由 xy4x0,解得 10或2，即。Q,。02交于点(0, 0)和(2,-2)x2y24y0, yi0, y22.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1:极坐标p=cos( 一 )表示的曲线是()4D.圆A.双曲线B.椭圆C.抛物线2J2= pcos 卅 psin 0,1【解析】原极坐标万程化为i= = (cos卅sin 0)

8、2，普通方程为 M2 (x 2+y2)=x+y ,表示圆.应选D.变式2:在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为(A.cos 2 B sin 2C.4sin( -) d4sin(【解析】A2一 24sin的普通万程为x (y 2)4, cos 2的普通方程为x 2圆22x (y 2)4与直线x 2显然相切.例3、在极坐标系中，已知两点 P (5, ), Q(1, 一),求线段PQ的长度;44、 ，、 一- -7T一变式1、在极坐标系中，直线p sin( 0 +1)=2被圆p =4截得的弦长为 变式2、在极坐标系中，点1,0到直线 cos sin 2的距离为例4、极坐标方程分别为2 co

9、s和 sin的两个圆的圆心距为 变式1、把极坐标方程cos（ ） 1化为直角坐标方程是6变式2、在极坐标系中，圆心在 （J2,）且过极点的圆的方程为 _.变式3、在极坐标系中，若过点 A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点,则 | AB | .题型二：参数方程的互化和应用x1 2t 例1、右直线（t为参数）与直线4x ky 1垂直，则常数k =.y 2 3tx 1 t变式1、设直线11的参数万程为（t为参数），直线12的方程为y=3x+4则11与12的y 1 3t距离为 x1 3t变式2、已知直线11 :（t为参数）与直线12: 2x 4y 5相交于点B ,又点A（1,2）,

10、y 2 4t则AB x变式3、直线y1t2（t为参数）被圆2t4截得的弦长为例2、经过曲线C：x 3 3cos ,(y 3sinx为参数）的中心作直线1：y3t_ （t为参数）的垂3t线，求中心到垂足的距离.x 3 3cos .【解析】由曲线C的参数万程消去参数y 3sin得（x-3） 2+y2=9.曲线C表示以（3, 0）为圆心，3为半径的圆一八山心、- x 3t由直线1的参数方程阿/消去参数t,得y=2x.表示经过原点，倾斜角为30。的直线.如图，在直角三角形 OC计,OC=3 /COD=30,所以CD=3 ,所以中心到垂足的距离为 2变式1、将参数方程2 sin2. 2 sin（为参数）

11、化为普通方程为（A. y x 2 B yx 2 C . y x 2(2 x 3) D . yx 2(0 y 1)、x sin 2变式2、下列在曲线（为参数）上的点是（）y cos sinA. J,扬 B . （ 3,1） C , （2,V3） D . （1,V3） 24 2、， x sin cos变式3、P是曲线（0, 2 ）是参数）上一点， P到点Q（0,2）距离y 1 sin 2的最小值是.（选讲）变式4、已知点P （x,y ）在曲线2 cosy（为参数）上，则义的取值范围sinxt tx e e例4、参数方程（t为参数）的普通方程为 y 2（et et）变式1、参数方程（t为参数）的普通

12、方程为，2-2得，x2-y2=4,方程表示双曲线题型三：参数方程与圆锥曲线例1、参数方程x 4sin （为参数）的普通方程为 y 5 cossinxx4sin/曰4【解析】,得4y5cosycos952222+，得二上二1表示椭圆1625例2、（选讲）在平面直角坐标系xOy中，设P（x,y）是椭圆+y2=1上的一个动点，求3S=x+y的最大值.2【解析】由椭圆+y2=1的参数方程为3x 3 cos y sin可设动点P的坐标为（73 cos,sin),其中0W <2因止匕，S=x+y=、3 cos +sinc 3=2 . cos2-sin =2sin 2所以当二时，S取得最大值2.变式1

13、：已知 2x2+3y2-6x=0(x,y C R),则 x2+y2 的最大值为题型四：综合运用例1、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为R),它与曲线x 1 2cosy 2 2sin( 为参数)相交于两点 A和B,则|AB|=例2、在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为x cos y sin0,，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2在极坐标系中的方程为.若曲线C1与C2有两个sin cos不同的交点，则实数 b的取值范围是 例3、在极坐标系下，已知圆 Ocos sin和直线l :sin(-)'.22，(1)求圆O

14、和直线l的直角坐标方程;(2)当0, 时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.x 4 cost.x 8cos .例4、已知曲线C1:, (t为参数)，C2:' (为参数)。y 3 sint,y 3sin ,(1)化C1, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t 一，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线2x 3 2LC3:,(t为参数)距离的最小值。y 2 t【巩固练习】x 2 cos 1 .直线：3x-4y-9=0与圆：，（。为参数）的位置关系是（）y 2sinA.相切 B. 相离 C.直线过圆心D. 相交但直线不过圆心x 3t2 22 .曲

15、线的参数方程为x2（t是参数），则曲线是（）y t2 1A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线3、点2, 2的极坐标为4、已知直线l经过点P （1,1）,倾斜角 =谷，直线l的参数方程为 5、极坐标系中，圆 =10cos 的圆心坐标为36、点P的直角坐标为（1,-耳）,则点P的极坐标为 .（其中O是极点）7、右 A3, B 4,一，则 |AB|=368、极点到直线cos sin33的距离是9.（2011广东文）已知两曲线参数方程分别为它们的交点坐标为 .x . 5cos /八(0 y sin、* x< )和4t2 (tR), x10. （09广东）若直线11 : y2t,kt.（t

16、为参数）与直线x s.12:,（ s为参数）垂直,y 1 2s.11. （09 福建）直线：3x-4y-9=02cos 一一,（。为参数）的位置关系是2sin12 . （09江苏）直线.2t,2tt为参数上与点P 2,3距离等于22的点的坐标2213、求椭圆-y-941上一点P与定点（1,0）之间距离的最小值【课后练习】1、已知曲线C的参数方程为t -“t, （t为参数，t 0）.求曲线C的普通方程。 13（t t）2、已知曲线C2的极坐标方程分别为cos 3, 4cos行冗0,0<一 ，2则曲线C1与C2交点的极坐标为 x 2t . 一 3、已知直线l的参数万程：（t为参数），圆C的极

17、坐标万程：2，2sin,y 1 4t4试判断直线l与圆C的位置关系.x sin4、（求曲线过点（0,2）的切线方程为y cos25、在极坐标系中，设圆3上的点到直线cos V3sin2的距离为d最大值为 6、若两条曲线的极坐标方程分别为1与 2cos ，它们相交于A,B两点，求线段3AB的长.x 1 t7、求直线11 :L （t为参数）和直线l2 :x y 273 0的交点P的坐标，及点P与y 5 3tQ（1, 5）的距离。【拓展练习】1、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆 2上的点到直线cosJ3sin6的距离的最小值.92、（ 2009通州第四次倜研） 求经过极点O（0,0）, A（6, ）, B（6 J2,）二点的圆的极坐标万程.2,43、（ 2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为x 1 2 cos ,为参数 ，若P是圆C与x