最新同济大学---高数上册知识点

1、精品文档 高等数学上册复习要点一、函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f(x)在 X0连续lim f(x)= f(x0)x. X0'第一类：左右极限均存在.间断点，可去间断点、跳跃间断点、第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.(二)极限1、 定义1) 数列极限limxn=au v®>0, bnn, v

2、n>N, xn-a<snT8 nn2) 函数极限lim f (x) = A= v > 0, 36 > 0, vx,当0< x x0| < 6 时，f (x) A < 名 x xo左极限：f(x/)= lim_f (x)右极限：f(x：)= lim+f (x)x x0x > x0精品文档精品文档lim f (x) = A 存在 u f (x)= f (x0) x x x02、 极限存在准则1) 夹逼准则：1) yn w xn w Zn ( n 之 n0) ”> I A2) lim yn = lim zn = alim xn = an nn-J

3、n- oo2、 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小(大)量1) 定义：若lim " = 0则称为无穷小量；若lim =°°则称为无穷大量2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 ： ： = ' = =0(：);Th2«“ ，PP lim存在，贝U a fPPlim = lim aa(无穷小代换)精品文档4、 求极限的方法1) 单调有界准则；2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性;4) 两个重要极限：a).sinx .lim = 1x >0 xb)1lim(1 x)xx 0=xlim：(1

4、卜 e5) 无穷小代换：(xt 0)a) x sin x tan x arcsinx arctanx12b) 1c0SX-Xc) ex -1 x ( ax - 1xln a)d) ln(1 x)xe) (1 x) -1 x(loga(1 x)xIn a)导数与微分（一）导数1、定义:f(x)- f(xo) f (x0) = lim x >x0x - x0左导数：f-(x0) = lim_ x >x0右导数：f （x0卜网x >x0f(x)- f(xo)x - Xof(x)- f(xo)x - Xo函数f （X）在Xo点可导仁f;（x0） = f；（x0）2、 几何意义：f&#

5、39;（x0）为曲线y= f （X）在点（x。, f 。川处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、 高阶导数d2y = _d_ dy1) 7E 义：乂2dxldxjn(n)- ck (k) (n_k)2)Leibniz 公式:uv1 ="Cnuvk=0(二)微分1)定义：Ay = f (x。+ Ax)- f(x°)= Ax+ox),其中 A 与 Ax 无关.2)可微与可导的关系：可微 u 可导，且dy= f'(x°

6、)Ax= f'(x°)dx三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f(x)满足：1)f(x)wCa,b；2) f(x/D(a,b)；3)f(a)=f(b)；则仃 w (a,b),使f'd) = 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 文 :若函数f(x)满足:1)f(x/Ca,b；2)f(x/D(a,b)；则叫 w (a,b),使f(b)- f(a)= f,C)(b-a).3、Cauchy柯西 中值定理：若函数f(x),F(x)满足：1)f(x),F(x)w Ca,b； 2)f(x),F(x)w D(a,b)；3)F'(x)，

7、0,x (a,b)则mw (a,b),使f(b)-f(a)F(b)-F(a)(二)洛必达法则(三)Taylor公式精品文档(四)单调性及极值1、单调性判别法：f(x)wCa,b, f(x)w D(a,b),则若 f'(x)>0,则 f (x)单调增加；则若f '(x) < 0 ,则f (x)单调减少.2) 极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在X0可导，若X0为f(x)的极值点，则(心)=0.b)第一充分条件：f(x)在x。的邻域内可导，且f'(x0) = 0,则若当x< x。时，f'(x) >0,当x> x°时，f&

8、#39;(x)M0,则x0为极大值点；若当x<x° 时，f'(x)<0,当xax0时，f'(x)A0,则x0为极小值点；若在x0的 两侧f '(x)不变号，则x0不是极值点.c)第二充分条件：f(x)在5处二阶可导，且f'(x0)=0,广区)¥0,则 若f "(x°) < 0 ,则x0为极大值点；若f "(x0) A 0 ,则x0为极小值点.3) 凹凸性及其判断，拐点,x1 x2、 f (x1) f (x2)1) f(x)在区间 I 上连续，若 Vxi,x2 I, f(r2 I 2' 则

9、称 f(x)在,x1 x2f (x1) f (x2)区间I上的图形是凹的；若小上一，f('j2)>2 ，则称f(x)在区间I上的图形是凸的.2)判定定理：f (x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若“w (a,b), f "(x)>0,则f (x)在a,b上的图形是凹的；b)若 (a,b), f ”(x)<0,则f(x)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设y=f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y=f(x)经 过点(x°, f (x°)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x°, f(x

10、6;)为曲线的拐点. (五)不等式证明精品文档精品文档1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值(最值).(六)方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、凹凸性.(七)渐近线1、铅直渐近线：lim f(x)，则x = a为一条铅直渐近线； x. a2、水平渐近线：limf(x) = b,则y=b为一条水平渐近线； X四、不定积分(一)概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F'(x)= f(x),则F(x)称为f (x)的一个原函数.2、 不定积分：在区间I上，函数f (x)的带有任意常数的

11、原函数称为f (x)在区间I上的不定积分.3、 基本积分表(P188, 13个公式)；4、 性质(线性性).(二)换元积分法1、第一类换元法(凑微分)：/f(x)中'(x)dx =【J f (u)du1 u= (x)2、第二类换元法(变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等)：f(x)dx J f (t) (t)d”1t -(x)(三)分部积分法：udv= uv-vdu (反对哥指三，前u后V')(四)有理函数积分1、“拆”2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).五、定积分 (一)概念与性质：b1、定义：faf(x)dx =2、 性质：(7条)性质7 (积分中值定理)n峭f

12、( i)为10 .函数f (x)在区间a,b上连续，则 wa,b,使bbf(x)dxf(x)dx= f("(b-a)(平均值：f(D = )ab - a(二)微积分基本公式(N L公式)x1、变上限积分：设(x) = la f (t)dt ,则(x) = f (x)推广:d ：（x）菽丁出叫：（x）3小网（x）b2、N L公式：若F (x)为f (x)的一个原函数，则1a f (x)dx = F (b) - F (a)（三）换元法和分部积分b1、换元法：J f（x）dx=I f 用（t）”（t）dt a.二2、bb b3、分部积分法：udv =UV a - f Vduaa（四）（五）反常积分1、2、 无穷积分：tf （x）dx = lim f （x）dx at 1 - abb.f (x)dx = lim f (x)dx-t )- t,二0,