高中数学破题致胜微方法(椭圆的参数方程)二利用椭圆的参数方程求最值

1、内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯利用椭圆的参数方程求最值今天我们研究利用椭圆的参数方程求最值问题 .已知椭圆的标准方程，则可以将椭圆 的方程改写成参数方程，这时椭圆上的点的坐标可记作（acos仇bsine ）,将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识处理一些最值问题.下面举例说明椭圆参数方程的应用 .我们通过例题来看：2例1：若P（x,y）为曲线C： + y2 =1上的动点，求点 P到直线l : 4x-3y+12=0的距离d 4的最大值和最小值.解=二*/=1的参数方程为。:二g为戮如 由蜡/为4工一到+12=0,Seos a-3 sin a+12所以最大值为12

2、$ 73 ,最小值为12 1 73注意椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况:v22x = acos 二焦点在x轴上的椭圆： -=i（a >b >0） , 4 八（9为参数）.a2 b2y=bsirPi22焦点在y轴上的椭圆：y_+x- = i（a a2b2b>0),x=bcos?, 且心,(6为参数).y = asin 二例 2:已知定点 Q (0, 4), P (6, 0),22动点C在椭圆+-y- =1上运动（如图），94以上的i10,2二.7求 QPC®积的最大值和最小值解:依题设易求得尸。的方程为笈-3/-12曰，&quo

3、t;Q=2 已知椭圆的参数方程为彳工=V°S为参数，且。且§L v = 2 sin 6则椭圆上点。（支38,上mN）到直线尸。的距离二6cos- 6sin -12| 忑3显然，="=-n时，d最大，且d最大值46 2 12,13此时由箕的最大值是:xd 31Klp2 此时Soqc的最小值为126点通过本题解答，我们可以总结做此类习题：1 .根据椭圆的参数方程，把，椭圆上的点的坐标写成参数形式，代入相应的表达式中 例如本题，将点到直线的距离用含参数的式子表示出来2 .将问题转化成三角函数的问题 .3 .利用三角函数的有界性，解决所求问题的最值 .例如本题，在求距离时

4、含有绝对值，所以求最值时，要注意脱绝对值时表达式的符号练习题：X22_1 .在平面直角坐标系 xOy中，设Rx, y)是椭圆 一 + y =1上的一个动点，求 S=x+y的3最大值.2 .在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线24C1的极坐标方程为 P2 = 2 ,直线l的极坐标方程为 P = -f=.1 sin汨:2sin cos(I)写出曲线 C与直线l的直角坐标方程；(n)设Q为曲线C上一动点，求 Q点到直线l距离的最小值.x = 2x,3.已知曲线C: x2+y2=1,将曲线C上的点按坐标变换,.'得到曲线C'以直角坐标y =3y

5、系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标系方程是p (2cos 0 +sin 0 )=10.(1)写出曲线C'和直线l的普通方程；(2)求曲线C'上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标.4.已知直线l的参数方程为y="t2(其中t为参数),曲线Ci：p2 cos2 g +3P2 sin2 9 -3 = 0,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位.(1)求直线l的普通方程及曲线 G的直角坐标方程；(2)在曲线C上是否存在一点 P,使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及 点P.若不存在，请说明理

6、由.225.已知椭圆 )+5=1值>b>0),求椭圆内接矩形面积的最大值.a b练习题解析：21 .在平面直角坐标系 xOy中，设P(x, y)是椭圆 上+ y2=1上的一个动点，求 S=x+y的 3最大值.2 .在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极，轴建立极坐标系.已知曲线一。2 、, 2 sin - cos-C的极坐标方程为P2 = -,直线l的极坐标方程为 P1 sin2 口(I)写出曲线 C与直线l的直角坐标方程;(n)设Q为曲线C上一动点，求 Q点到直线l距离的最小值.3.已知曲线C: x2+2 x =2xy2=1,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C&#

7、39;以直角坐标y = 3y原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是( (2cos 0 +sin 0 )=10.(1)写出曲线C'和直线l的普通方程;(2)求曲线C'上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标.x = -1 t4.已知直线l的参数方程为2亚 (其中t为参数)，曲线Ci :y = t2炉cos28+3#2 sin29-3 = 0,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系,两种坐标系中取相同长度单位 (1)求直线l的普通方程及曲线 C,的直角坐标方程;(2)在曲线C上是否存在一点 P,使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及 点P.若不存在，请说明理由.225.已知椭圆、+与=i(a >b>0),求椭圆内接矩形面积的最大值 a bD % A解：设椭圆内