高中数学三角形各种心的性质研究

1、一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心.三角形的心是三角形的重要几何点.在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨.1.重心：设G是AABC的重心，AG的延长线交 (1)BD =DC , ( 2) AG : AD =2:3 ;BC于D ,则(3) AD2_2_222AB 2AC - BC, ( 4) SGBC4S ABC2.外心：设。O ( R)是AABC的外接圆，OD_LBC于D交。于E,则(1) OA=OB =OC =R; (2) NBOC =2/A 或 2(1800 /A)；2(

2、3) BD =DC BE = EC ； (4) S后bcabc=2Rsin Asin Bsin C (正弦te理)4R3.内心：设AABC的内心圆。I(1) NBIC =90”次(2)2(3) DB = DI = DC ; (4) s咨bc(r)切边AB于P , AI的延长线交外接圆于 D ,则-1 b c - a 1AP = r cot A = 一( a b c) 一 a222r(a b c).;24.垂心：设O,G,H分别是AABC的外心，重心，垂心，OD_LBC于D , AH的延长线交外接圆于H1，则(1) AH =2OD;(2) H与Hi关于BC成轴对称；(3) O BCH =O AB

3、C ； (4) O,G,H,三点共线，且 OG :GH =1:2；5.旁心：设AABC在/A内的旁切圆。I1 ( r1)与AB的延长线切于P1，则(1) /BIiC =90° 1/A; (2) APi :1重任=a+b+c；222a b -cC e /(bc-a)(3) BP1 =; (4) NAI1B=; (5) Sbc =2226.三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在 ABC中，内切圆。O分别与三边相切于点 M,KL,BC边上的帝切圆。 0a与BC边切于点H，且分别与AB边和AC这的延长线相切于点 Q、点P .设三边BC、CA、AB分别为a,b,c/A,/B/C分别为。，

4、B, 丁，p =1(a+b +c)，内切圆半径为r,旁切圆半径分 2别为ra,rb,rc,外接圆半径为R,三角形面积为S4则有如下关系式：(1) AP = p,AK=pa,LH=bc；(2)rarpP -a (3)直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半;1，、，(4)ra = -(P -b)( P c);r(5)（6）ra7.界心r PYtan tan 22如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点.其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围.由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两

5、端点之间.三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）.三角形的周界中线交于一点.定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心.二、例题分析例1 .设 ABC的外接圆。的半径为R ,内心为 I ,NB =60*,NA</C,NA的外角平分线交圆 。于E ,证明：（1）IO =ae；（2）2R<IO +IA + IC <（1+V3）R.【证明】（1）延长BI交外接圆于 M，连ZOA,OM ,Am,易知/AOM =/3=601故4 AOM为正三角形，OM =OA = AM =CM .易证 /MIA =/MAI ,. MA

6、= MI同理，MC =MI ,即A,O, I ,C在以M为圆心，R为半径的圆上设AI的延长线交BC于F ,则AF、AE分别为NA的内、外角平分线 /EAF =90°,1即 EF 为。O的直径 /. ZOAI =/OFI =/AOE .2又在。M 中，/OAI =1/OMI ,. /AOE =/OMI ,但。M 与。为等圆，故 2AE =OI .(2)连接FC,同上易证IF =FC,又/IFC =/ABC =60，4 IFC为等边三角形，IC =IF1 一 1 一 1一 1 , AFE AOE OMI ( AMI - AMO)( C - 60 )2222记NAFE为8IO IA IC

7、= AE IA AF = AE AF= 2Rsin ? 2Rcos? - 2R(sincos1)=2 .2RsinQ 45 ) =2,2Rsin(C 15 )1由/A</C 知，60*</C <120、从而有 30 <1/C <60°,即 45C 15 :二 7522<2Rsin45°<IO + IA + IC < 2jERsin 75，又 sin 75. 2.6故 2R <IO +IA + IC <(1 +V3)R .例2 .锐角 ABC的外心为O ,线段OA, BC的中点分别为MN . ,/ABC =4/OMN

8、 /ACB = 6/OMN .求/OMN .【解】设. OMN -二，则.ABC = 4u , . ACB = 61,.BAC =180 -(. ABC . ACB) =180 -10i1又.NOC BOC - /BAC =180 -102MOC =/AOC =2 ABC =8从而.MON =81 (180 -101)=180 - 21ONM =180 -(. MON OMN ) =180 -(180 -2? 射-3-.OMN即AOMN为等腰三角形，ON =OM =OA = 1OC. ONC =90，. 一 NOC = 60 ,又. NOC =180 -1071，.一 OMN =1 =12例3

9、.如图O,I分别为 ABC的外心和内心，AD是BC边上的高。I在线段OD 求证： ABC的外接圆半径等于 BC边上的旁切圆半径。证明（1）记 AB =c,BC =a,CA=b,设 AI 的延长线攻匕ABC的外接圆O于K,则OK是圆。的半径，记为R ,因为OK，BC ,所以OK / AD ,从而AI csin B=2sin Bsin CIKBAABI = IBC = , CBK = CAK =2/ AKB=Z ACB =2C ,A/ BAK =一，所以2AIS.ABIIKABBK1BAB BI sin1 BK BI2 .B sin 2 .A B sinC cossinC A sin 22.Bsi

10、n C cos2sin 二 sinC_22.A sin (2)222B C 2sin sinabc由(1)、(2)得 2sinBsinC =22，所以 4sin coscos=1.A222sin 211设 ABC的BC边上的分切圆半径为ra，则bcsin A = S、BC =万ra(b + c a) °bcsin Asin Asin Bsin C所以 ra 二二 2Rb c - a sin B sin C - sin A2Rsin Asin Bsin Cc.B C B -C c.B C B C2sincos2 sincos2222Rsin Asin BsinCABC-=4Rsin c

11、os - cos 二 RB C B._C222sin 2sin sin 即4证明222ABC的外接半径等于 BC边上的旁切圆半径。(2)记AB =c,BC =a,CA=b,4 ABC的BC边上的旁切圆半径为 ra , ABC的BC边上的高为ha ,设AI交BC于P ,交外接圆于K ,连BK , OK ±abBC,OK =R, PC =，BK = IK , AKBACP ,又由 AD ± BC ,知OK / AD ,有ADAKACBKPCOK b abb cM,即IKb cAD OK AK AK ,八 =，但 AKBACP ,有OK，代入上式得IKha RRBK b caha

12、b c_ 2 s.ABCb c - a b c - a 即 ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。证明(3) AB =c, BC =a,CA =% ABC的BC边上的旁切圆半径为 ra , ABC的外接 半径 R,作 II1，BC 于 I1,OO1，BC 于 O1。Z OAC180 -Z AOC M / =90 -Z ABC=/ BAD Z DAI =/ OAI , .AD DI DI1oAO IO11O1DI 1 = BI1 - BD =a c - b -c cosB2a c -b222a b -c _ (b - c)(b c - a)2a2aI1O1 = BO1 - BI.AD b c

13、-aAD a 2S abc-二,R 二 AO 二二-AO ab c-a b c -a又 S 好c=1ra（b+c-a）,，R = IagaUra。2bc-a证明（4）记 AB =c,BC =a,CA = b,设 AI 的延长线交 ABC的外接圆 。于K ,连 OK 交 BC 于 Oi ,则 OK ± BC ,作 I11 1 BC于 Ii,则 AD / IIi / OK,由 D,I ,O三 点共线，,DIiDIAD,I1O1IO OK_ a c。bDIi = BIi -BD = -c cosB2a c -b a2 b2 -c2 （b -c）（b c -a）一 22a 一 2aIiOiB

14、Oi -BIiAD aa22SABCbc-aADRb c-a b c-ap ii又 S abc = a（bc -a） ,. R2bc-a证明（5）连AI并延长交 ABC的外接圆O于K,设O'旁切圆圆心，则O'在AK的延长线 上,连 OK,过 O'作 OM，BC于M。连 OM ,MK ,BI ,CI ,OB,OC,则 OK,OM 分别 为外接圆半径及旁切圆半径。 又B,I,C,O'四点共圆。BK =IK =CK，设K为BICO'的外 接圆的圆心，即IK =O'K。- PK又 AP PK =BP PC =IP O P,，二 IPO P，又 AD /

15、O M ,AP.PK OP MP,. MK / ID，/ PMK =/ IDP，而 D, I,O共线，OK ± BC,OM ±IP AP DPBC , OK / OM ，故/ I O K= / KMO' , / OKI = / MOKOIK 三 AMKO',故 OK=OM，即 R=ra,IK =O'K ,例4.设M是 ABC的AB边上作一内点，2/分别是AMC、 BMC . ABC的内切圆半径；q,q2,q分别是这些三角形在 /ACM、/BCM、/ACB内的旁切圆半径.试证:ri2rqi q2 q【证明】设 CAB ABC =?, BCA ='

16、;，AMC = c又设 ABC的内切圆的圆心为 R,且与AB切于P （如图），于是31APR = BPR =2,a , P , 9, P x从而有： AB = r cot r cot = r (cot cot ) 2222由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有:AB = q tan q tan 一22r进而有：一qtan tan二 q(tan tan )Pcot cot aP二 tan 一 tan 一22类似的结论对于 AMC和 BMC也成立，故有12一 =tan tan 一和qi22 q2P=tan - tan2以上式子相乘即可得结论:rr2 r =.q q2 q例5.设I为 A

17、BC的内心，其 ABC内切圆切三边 BC、CA和AB于点K、L、M , 过点B平行于MK的直线分别交直线 LM和IK于点R和S .【证明】为了证ZRIS为锐角.由余弦定理，只RI2 SI2 - RS2 =2RISIcoSR I S0.为此我们来计算RI2SI2 - RS2由MK / RS,考虑MRB =/LMKBMR 及 BSK，于1_(n jC) .21 ,、同理： RMB u/AML =(二- A), 2一1 一1,、而 MBR -二-MRB - RMB ( C A) (二- B)22同理： KSB = LKM1 ,、(:-A)2一一 一 1SKB = LKC =-( 2一 一 1_-C)

18、, KSB =-(.： - B)2由正弦定理，有BRBMBKBSsin RMBsin MRB sin KSB sin BKS因此需A cos2C cosBKBS2又 BI _L MK，所以 BI _L RS .又 MI 1 AB，所以考虑直角A IRB , ISB,A BIM 有_ 2_22_22_222_2RI SI -RS =(BI RB ) (IB BS)-(BR BS) =2(BI) - 2BR BS注意到BK = BM，因此BR BS = BM 2 .所以RI2 SI2 - RS2 =2(BI )2 (BM )2 =2(IM )2 0下面讨论界心的两个性质.例6.设D, E, F分别

19、为 ABC的BC,CA,AB边上的周界中点，R、r分别为 ABC的外接圆和内切圆半径，则(1)S.DEF2R；(2)S def工4sABC ,【证明】设BC =a,CA = b,AB =c,2p = a+b+c,则由题设条件易知BD = AE = p -cCD =AF = p-bCE = BF = p -a由三角形面积比的性质，有S.aef AE AF _ (p -b)(p -c)S.Abc - AC AB - bc同理有. S由fd = ( p - c)( p -a) . S;Cde = ( p - a)( p -b)S ABCcaS. ABCab从而：S DEF =1 _(S aef - S BFD - S CDE )S . ABCS. ABC S. ABCS. ABC=1 (p -b)(p -c) . (p - c)(p - a) . (p - a)(p-b