最新中考数学二次函数压轴题题型归纳

1、中考二次函数综合压轴题型归类、常考点汇总1、两点间的距离公式：AB = j(yA - yB j +(xA xB 22、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：xA + xB yA , yB 1 22 J直线 y =k1x +bi( ki = 0)与 y = k2x +b2 ( k2 0 0 )的位置关系：(1)两直线平行 u ki =k2且bi =b2(2)两直线相交 a ki # k2(3)两直线重合u k = k2 且 bi = b2(4)两直线垂直kik2 = - i3、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、

2、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程 x22(m+i' +m2=0有两个整数根， m<5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例：若抛物线 y = mx2+(3m+i x+3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定 此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2 3(mi)x+2m 3 = 0 ( m为实数)，求证：无论 m为何值，方程总 有一个固定的根。解：当m=0时，x=i;当 m#0 时，A=(m

3、3f 20, x = 3m )C, x1=2x2 =i ;2mm综上所述：无论 m为何值，方程总有一个固定的根是io6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y=x2 -mx+m-2 (m是常数)，求证：不论 m为何值，该抛物线总经过一个 固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m的方程y -x2 +2 = m(i - x );2y -x 2=01 x =0y J.x = 1抛物线总经过一个固定的点（1, 1）。小结：关于x的方程ax = b有无数解ua = 0b=0（题目要求等价于：关于 m的方程y -x2 +2 = m（1 -x"论m为何值，方程恒成立）7、路径最

4、值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线11、12,点A在12上，分别在11、12上确定两点M、N ,使得AM + MN之和最小。（2）如图，直线112相交，两个固定点 A、B,分别在11、12上确定两点M、N ,使得BM +MN + AN之和最小。（3）如图，A、B是直线1同旁的两个定点，线段 a,在直线1上确定两点E、F （ E在F的 左侧），使得四边形AEFB的周长最小。A98、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图,&pae=1/2- PM- x=1/2 - AN - Ay9、函数的交点问题： 二次函数(y=ax2+bx

5、+c)与一次函数(y=kx+h)y = ax2+bx+ c(1)解方程组)y ax bx 9求出两个图象交点的坐标。y=kx+ h(2)解方程组J'y=ax2+bx+ c,即 ax2+(b-kx+c-h = 0, y=kx+ h通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点u&>0仅有一个交点二,： =0没有交点二A<010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来

6、方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的 图形平移11 l2 u k1= k2、k =x1 x2平行四边形矩形梯形跟直角有关的 图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等ab =J(yA y 2 +心-xb 2直角三角形 直角梯形 矩形跟线段有关的 图形利用几何中的全等、 中垂线的性质等。AB =4(Va -yB ) +(xa -xb )等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图 形利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等【例题精讲】,0)两点，顶点为D。y= x2-2x-3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)和最小，差最大在对称轴上找一点 P,使得PB+PC的

7、和最小，求出 P点坐标在对称轴上找一点 P,使得PB-PC的差最大，求出 P点坐标求面积最大连接AC,在第四象限找一点 P,使彳# AACP面积最大，求出 P坐标 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得AACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点 P,使 ACP是以AC为直角边的直角三角形. 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得AACP为等腰三角形, 求出P坐标 讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上,且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线y = x2+bx+c与x轴交与A

8、(1,0),B(-3 交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与 ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使4MBC是以/ BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由0)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点 (不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交 BC于F ,设E点横坐标为x.EF的长度为L , 求L关于X的函数关系式？关写出 X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段 EF的值最大，并求此时 E点的坐标？(4)在(5)的情况下直线 BC与抛物线的对称轴交于点H、D为顶点的四边形为平行四边形？H。当E点运动到什么位置时，以点E、F、(5)在(5)

9、的情况下点 E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?例2 1考q：4t朱于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1,0)、(0, 4弓)，点B在X轴上.已知某二次函数的图象经过 A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点 P与B、C不重合)，过点 P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段 PF的长;(3)求 PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y= 3x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐

10、标为（2, 0）, 2点C的坐标为（0, 1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点 E作DEx轴于点D,连结DC,当 DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点 P,使4ACP为等腰三角形，若存在，求点 P的坐标，若不存在，说明理由.例4考点：讨论直角三角如图，已知点 A （一 1, 0）和点B （1, 2）,在坐标轴上确定点P,使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）（A） 2个 （B） 4个（C）6个（D） 7个 已知：如图一次函数 y= -x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点21B; 一次函数y=-2bx+ c的图象与一次函

11、数B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1,1y= - x+1的图象交于 2(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的 点P,若不存在，请说明理由.例5考点:讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y= ax2+x+ c (aw0)与x轴交于点A ( -2, 0),点B (6, 0), 与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点 D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的 解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的

12、对称轴于点 M,抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点 Q.是 否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.x综合练习:2xOy中，抛物线 y=ax 4ax + 4a+c与x轴交于点 A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1, 0), OB=OC,抛物线的顶点为 D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足/ APB = Z ACB ,求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB的平分线的对称点为 A ,若QA QB=J2,求点Q 的坐标和此时 QAA'的面积。2在平面直角坐标系

13、xOy中，已知二次函数 y =ax2+2ax+c的图像与y轴交于点C(0,3),与x 轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0%(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 : 2的两部分，求出此时点 M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点 P在何处时4CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点 P的坐标。口口图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y =2x2 -2x与x轴负半轴交于点 A,顶点为B , m且对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含 m的代数式表示)；(2) D为OB中点，直线

14、 AD交y轴于E,若E (0, 2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点 M在直线OB上，且使得 MMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标。£S知关于 x 的方程(1m)x2+(4m)x+3 = 0。(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)若正整数m满足82m> 2,设二次函数y = (1 m)x2+(4m)x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一 个新的图象；请你结合这个新的图象回答： 当直线y=kx+3与此图象恰好有

15、三个公共点时， 求出k的值(只需要求出两个满足题意的 k值即可)。升8 6 -5如图,抛物线 y=ax2+2ax+c (awQ与y轴交于点C (0, 4)，与x轴交于点A (4, 0)和B.(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点，过点 Q作QE /AC,交BC于点E, 连接CQ.当4CEQ的面积最大时，求点 Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点 P,与直线AC交于点F, 点D的坐标为(-2, 0).问是否有直线1,使ODF是等腰三角形？ 若存在，请求出点 F的坐标；若不存在，请说 明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x轴的两个交点分别位于某定点

16、的两侧例1.已知二次函数 y=x2+(m- 1)x+ m-2的图象与x轴相交于A (xi, 0) , B(X2, 0)两点，且X1<X2.(1)若xix2<0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；若xi<1, x2> 1,求m的取值范围；(3)是否存在实数 E使彳#过 A B两点的圆与y轴相切于点C (0, 2),若存在，求出 m的值； 若不存在，请说明理由；1 MD 1(4)若过点D (0, y)的直线与(1)中的二次函数图象相交于 M N两点，且"DN=与，求该直 线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y= x 2+mx+m-

17、5 ,(1)求证：不论 m取何值时，抛物线总与 x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与 x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1. 已知抛物线y =x2 -2(m+1)x + m2 =0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m< 5,则整数m的值为例2.已知二次函数 y=x22mx+ 4m 8.(1)当xW2时，函数值y随x的增大而减小，求 m的取值范围；(2)以抛物线y=x2 2mx+4m 8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正MMN (M, N两点在抛物线上)，请问： AMN勺面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若抛物线y

18、= x2 2mx+4m8与x轴交点的横坐标均为整数, 求整数m的值.题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线y=x2+bx+c (其中b>0, cw0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为 B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且 BO=V20o求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)2 ,一一，、一例1.已知：一次函数 y=x 4x+m的图象与x轴交于不同的两点 A ( x1，0)、B (x2,。

19、)( x1v X2),其顶点是点 C,对称轴与x轴的交于点D.(1)求实数m的取值范围；(2)如果(x1+1) ( x2+1) =8,求二次函数的解析式；(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿 y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、B1，顶点为点C1,且 ABG是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.综合提升1 .已知二次函数的图象与 x轴交于A, B两点，与y轴交于点C (0, 4),且| AB = 2，3,图象的 对称轴为x=1.(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线y = x+m的下方，求 m的取值范围.2 .已知二次函数 y=x2+mx-2.(1)若该

20、二次函数图象与 x轴的两个交点 A B分别在原点的两侧，并且 A氏。5,求m的值；(2)设该二次函数图象与 y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M N,且Samnc= 27,求m的值.3 .已知关于x的一元二次方程 x2 2(卜+1口+卜2=0有两个整数根，k<5且k为整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数y=x2-2(k+ 1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3)根据直线y = x+ b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求 b的取值范围.4 .已知二次函数的图象经过点 A (1, 0)和

21、点B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为 mi (1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与 x轴还有异于点A的另一个交点，求 m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线 y= -x+ 1所得线段的长为2艰，求m的值.四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数 L1： y=x2 - 4x+3与x轴交于A. B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点 C.(1)写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数 L2： y=kx2- 4kx+3k (kw0).写出二次函数 L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；EF若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由.2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2O)、B(2, 0)、C(0, l)三点，过坐标原点 。的直线