高考数学等和线定理及其应用[完美打印版]

1、平面向量基本定理系数 等和线”的应用一、问题的提出题面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高.近年，高考、模 考中有关”等和线也r（以下简称等和线）背景的试题层出不穷.学生在解决此类问题时，往往要 通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高.在平时教学 中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微 型专题.二、等和线定理（1）平面向量共线定理：已知OC = kOA + nOB（九，NWR）,若九+ N=1,则A, B, C三点共线;反之亦然.（2）等和线定理：平面内一组基地OA,OB及任一向量 OC ,OC

2、= Z.oA + QB（A, NWR）, 若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则l +m=k （定值），反之也成立，我们把直线 AB以及直线AB平行的直线称为 等和线”. 当等和线恰为直线AB时，k=1; 当等和线在。点和直线AB之间时，kw（0,1）; 当直线AB在O点和等和线之间时，kw（1,y）；当等和线过O点时，k=0; 若两等和线关于。点对称，则定值k互为相反数; 定值k的变化与等和线到。点的距离成正比；简证，如图1若那么0。=工。4 +尸。6 =力= AODf从而有工+上=1,即n+?=葭另，方面，过C点作直线/"/乩在/上任作一 A A点连接同理可得，以次而为基底

3、时，。时应的系数和依然为2.三、定理运用（一）基底起点相同例1.在矩形ABCD中，AB=1 , AD =2 ,动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.若品=九漏十/AD,则九+ N的最大值为（）D. 2B. 2亚M是AABC外接圆上一动点，若练习 1. 0 在 AABC 中，AB=6, BC=8, AB _L BC ,AM = XAB + ACC ,则K+N的最大值是（）A. 14 C.3D. 2练习1.如图，OM /AB,点P在由射线OM ,线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动,且OP=xOA+yOB,则x的取值范围是.1；当"一万时'y的取值范围是练习2.

4、如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1,圆心在线段CD （含端点）上运动,P是圆Q上及内部的动点，设向量 AP=mAB +nAF（m, n为实数），则m + n的取值范围是（A. (1, 2B. 5, 6C. 2 , 5D. 3 , 5（二）基底起点不同例2.设D, E分别是 MBC的边AB, BC上的点，AD=1AB, BE =2 BC ,若BE = kA十7 AC"（，入2 23为实数），则儿十七的值为.练习3.如图7在平行四边形ABCD中，M,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AB上一动点,Q为ASMN内一点含边界）若PQ =x AM + yB

5、N ,则x + y的取值范围是 （三）基底一方可变例3.如图在边长为2的正方形ABCD中，E为边AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任 意一点，设向量 AP =xDE +yAC ,则x+y的最小值为 .练习4.在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线y = ji_x_（x0）上，曲线与x轴相交于点B,与y轴相交于点C，点D（2,1）和点E（1,0）满足OD =%CE十NOP（Z,NWR）,则九十的最小值为 （四）基底合理调节例4.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A , B满足|OA h|oB-oA*OB= 2,则点集T T TP|OP =,QA + ROB , |九|+|臼，1,八，NW R所表示的区域的面积是 （）A. 2夜B, 2/3C. 4 盘D. 43练习5.如图所示，A, B, C是圆O上的三点，CO的延长线与线段 BA的延长线交于圆外的点 D,若OC =mOA +nOB ,则m +n的取值范围是 练习6.如图，在扇形 OAB中，/AOB=60）点C为弧AB上的一个动点.若OC =xOA + yOB ,贝U x + 3y的取值范围是AC ,设 f (x y（五）“基