第1章 1.2 极坐标系

1、.1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.理解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.难点2.理解极坐标系与直角坐标系的联络，能进展极坐标与直角坐标的互化.重点根底·初探1.平面上点的极坐标1极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向通常取逆时针方向，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴.2极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画.这两个数组成的有序数对，称为点M的极坐标.称为极径，称为极角.2.点与极坐标的关系，和，2k代表同一个点，其中k为整数.特别地，

2、极点O的坐标为0，R.假如限定0，0<2，那么除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的关系1互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系如图1­2­1所示.图1­2­12互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是x，y，极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标x，y极坐标，互化公式2x2y2tan x0考虑·探究1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联络？【导学号：62790

3、002】【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系那么不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置.2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？【提示】建立极坐标系后，给定数对，就可以在平面内惟一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是惟一的.所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系.3.联络点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其根本关系式是联络点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事

4、实上，假设>0，那么sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2x2y2，tan .自主·测评1.极坐标系中，点M1,0关于极点的对称点为A.1,0B.1，C.1，D.1,2【解析】，关于极点的对称点为p，M1,0关于极点的对称点为1，.【答案】C2.极坐标系中，到极点的间隔 等于到极轴的间隔 的点可以是A.1,0B.2，C.3，D.4，【答案】C3.点A的极坐标是2，那么点A的直角坐标为A.1，B.，1C.，1D.，1【解析】xcos 2cos，ysin 2sin1.【答案】C4.点M的直角坐标为0，那么点M的极坐标可以为A.，0B.0，C.，D.，【解析】，且，M的极

5、坐标为，.【答案】C质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一确定极坐标系中点的坐标设点A2，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标限定>0，<.【精彩点拨】欲写出点的极坐标，首先应确定和的值.【尝试解答】如下图，关于极轴的对称点为B2，.关于直线l的对称点为C2，.关于极点O的对称点为D2，.四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是惟一的，但假设限制>0,0<2，那么除极点外，点的极坐标是惟一确定的.2

6、.写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后.再练一题1.在极坐标系中，B3，D3，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标限定>0，0,2.【解】由B3，D3，知|OB|OD|3，极角与的终边关于极轴对称.所以点B，D关于极轴对称.设点B3，D3，关于极点的对称点分别为E1，1，F2，2，且123.当0,2时，1，2，E3，F3，为所求.类型二将点的极坐标化为直角坐标写出以下各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.12，；22，；32，.【精彩点拨】点的极坐标，点的直角坐标x，y断定点所在象限.【尝试解答】1由题意知x2cos2×1，y2s

7、in2×.点2，的直角坐标为1，是第三象限内的点.2x2cos1，y2sin，点2，的直角坐标为1，是第三象限内的点.3x2cos1，y2sin，点2，的直角坐标为1，是第四象限内的点.1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位一样.2.将点的极坐标，化为点的直角坐标x，y时，运用到求角的正弦值和余弦值，纯熟掌握特殊角的三角函数值，灵敏运用三角恒等变换公式是关键.再练一题2.分别把以下点的极坐标化为直角坐标：12，；23，；3，.【解】1xcos 2cos，ysin 2sin1.点的极坐标2，

8、化为直角坐标为，1.2xcos 3cos0，ysin 3sin3.点的极坐标3，化为直角坐标为0,3.3xcos cos ，ysin sin 0，点的极坐标，化为直角坐标为，0.类型三将点的直角坐标化为极坐标分别把以下点的直角坐标化为极坐标限定0,0<2.12,2；2，.【精彩点拨】利用公式2x2y2，tan x0，但求角时，要注意点所在的象限.【尝试解答】14，tan ，0,2，由于点2,2在第二象限.点的直角坐标2,2化为极坐标4，.22，tan ，0,2，由于点，在第四象限，所以.点的直角坐标，化为极坐标为2，.1.将直角坐标x，y化为极坐标，主要利用公式2x2y2，tan x0求

9、解.2.在0,2范围内，由tan x0求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.假如允许R，再根据终边一样的角的意义，表示为2kkZ即可.再练一题3.1“例3中，假如限定>0，R，分别求各点的极坐标；2假如点的直角坐标x，y满足xy<0，那么在限定>0，R的情况下转化为点的极坐标时，试探究的取值范围.【解】1根据与角终边一样的角为2kkZ知，点的直角坐标化为极坐标>0，k分别如下：2,2的极坐标为4，2kkZ.，的极坐标为2，2kkZ.2由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.所以x，y可能在第二象限或第四象限.把直角坐标x，y

10、化为极坐标，>0，R时，的取值范围为2k，2k2k，22kkZ.类型四极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，假如A2，B2，为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标>0,0<2.【精彩点拨】解答此题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标.【尝试解答】对于点A2，有2，x2cos，y2sin，那么A，.对于B2，有2，x2cos，y2sin.B，.设C点的坐标为x，y，由于ABC为等边三角形，故|AB|BC|AC|4.有解之得或C点的坐标为，或，.2，tan 1，或.故点C的极坐标为2，或2，.1.本例综合

11、考察了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.假设设出C，利用余弦定理亦可求解，请读者完成.再练一题4.本例中，假如点的极坐标仍为A2，B2，且ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标.【导学号：62790003】【解】对于点A2，直角坐标为，点B2，的直角坐标为，设点C的直角坐标为x，y，由题意得ACBC，且|AC|BC|，·0，即x，y·x，y0，x2y24.又|A|2|B|2，于是x2y2x2y2，yx代入，得x22，解得x±.或点C的直角坐标为，或，2，tan 1，或，点C的极坐标为2，或2，.真题链接赏析教材P10习题12T3把以下各点的直角坐标化为极坐标限定>0,0<2：A1,1，B0，2，