第1章 1.4　绝对值的三角不等式

1、.1.4绝对值的三角不等式1.理解绝对值不等式的性质定理.2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等式的最值.根底·初探教材整理绝对值的三角不等式1.定理1假设a，b为实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立.2.定理2设a，b，c为实数，那么|ac|ab|bc|，等号成立abbc0，即b落在a，c之间.假设|ab|a|b|成立，a，bR，那么有A.ab<0B.ab>0C.ab0D.以上都不对【解析】由定理1易知答案选C.【答案】C质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑

2、问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型绝对值不等式的理解与应用|a|b|，m，n，那么m，n之间的大小关系是_.【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别断定m，n与1的大小.【自主解答】因为|a|b|ab|，所以1，即m1.又因为|ab|a|b|，所以1，即n1.所以m1n.【答案】mn1.此题求解的关键在于|a|b|ab|与|ab|a|b|的理解和应用.2.在定理1中，以b代b，得|ab|a|b|；以ab代替实数a，可得到|a|b|ab|.再练一题1.假设将“本例的条件改为“n，那么n与1之间的大小关系是_.【解析】|ab|a|b|，1，n1.【答案】n1运用绝对值不等式求最值与范围对

3、任意xR，求使不等式|x1|x2|m恒成立的m的取值范围.【精彩点拨】令t|x1|x2|，只需mtmin.【自主解答】法一：对xR，|x1|x2|x1x2|1，当且仅当x1x20时，即2x1时取等号.t|x1|x2|的最小值为1，故m1.实数m的取值范围是，1.法二：t|x1|x2|t1，那么t|x1|x2|的最小值为1，故m1.因此实数m的取值范围是，1.1.此题也可利用绝对值的几何意义求解.2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值.再练一题2.假设|x1|x3|k对任意的xR恒成立，那么实数k的取值范围为_. 【导学号：38

4、000013】【解析】设fx|x1|x3|，那么有fx当x1时，fx有最小值为4；当1x3时，fx有最小值为4；当x3时，fx有最小值为4.综上所述，fx有最小值为4，所以k4.【答案】，4含绝对值不等式的证明设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.【精彩点拨】不管|a|，|b|,1的大小，总有m|a|，m|b|，m1，然后利用绝对值不等式的性质证明.【自主解答】依题意m|a|，m|b|，m1，又|x|>m，|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.因此<2，即<2.1.将文字语言“m等于

5、|a|，|b|,1中最大的一个转化为符号语言“m|a|，m|b|，m1是证明此题的关键.2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度，切忌放缩过度.再练一题3.假设fxx2xc为常数，且|xa|<1，求证：|fxfa|<2|a|1.【证明】|fxfa|x2xca2ac|x2xa2a|xaxa1|xa|·|xa1|<|xa1|xa2a1|xa|2a1|.又|xa|<1，|fxfa|xa|2a1|xa|2a|1<12|a|12|a|1.探究共研型绝对值的三角不等式探究1绝对值的三角不等式|a|b|a±b|a|b|的几何意义是什么

6、？【提示】绝对值的三角不等式：|a|b|a±b|a|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边.探究2绝对值的三角不等式|a|b|a±b|a|b|的构造特点是什么？【提示】对|a|b|a±b|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立.中间部分|a±b|肯定是非负的左端右端用“连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“连接时，ab0，

7、且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号.右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.探究3含绝对值不等式的证明思路是什么？【提示】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|a±b|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.设a，bR，求证： .【精彩点拨】利用绝对值不

8、等式性质或构造函数证明.【自主解答】法一：假设ab0或ab0，不等式显然成立.假设ab0且ab0，|ab|a|b|，*又，.又由*式可知.综上可知.法二：假设ab0或ab0，不等式显然成立.假设ab0且ab0，|ab|a|b|，011.即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立.法三：|a|b|ab|，|a|b|a|b|·|ab|ab|a|b|·|ab|，即|a|b|1|ab|ab|1|a|b|.两边同除以1|ab|1|a|b|得.又由法一知，原不等式成立.法四：构造函数fx，任取x1，x20，且x1x2，有fx1fx20.fx在0，上为增函数.又|a|b|ab|，f|a|b

9、|f|ab|，即.又由法一知，所证不等式成立.构建·体系1.实数a，b满足ab<0，那么有A.|ab|<|a|b|B.|ab|>|a|b|C.|ab|<|ab|D.|ab|<|a|b|【解析】ab<0，|ab|>|ab|成立，|ab|a|b|，|ab|a|b|也成立.【答案】C2.假设a，bR，那么使|a|b|>1成立的充分不必要条件 【导学号：38000014】A.|a|且|b|B.|ab|1C.|a|1D.b<1【解析】当b<1时，|b|>1，|a|b|>1，但|a|b|>1/ b<1如a2，b0

10、，“b<1是“|a|b|>1的充分不必要条件.【答案】D3.假设|ac|<b，那么以下不等式不成立的是A.|a|<|b|c|B.|c|<|a|b|C.b>|c|a|D.b<|a|c|【解析】由|ac|<b可知b>0，b|b|.|a|c|ac|，|a|c|<b，那么|a|<b|c|b|c|，应选项A成立.同理，由|c|a|ac|，得|c|a|<b，|c|<|a|b|a|b|，应选项B成立.而由选项A成立，得|c|a|>|b|，由选项B成立，得|c|a|<|b|.|b|<|c|a|<|b|，即|c|a|<|b|b.应选项C成立.由选项A成立知选项D不成立.应选D.【答案】D4.，是实数，给出三个论断：|；|>5；|>2，|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，以下正确的命题是A.B.C.D.都不正确【解析】当，成立时，那么|>4>5.【