第1章 §1 平面直角坐标系

1、.1平面直角坐标系1.1平面直角坐标系与曲线方程1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.重点2.理解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.重点3.理解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.易混点根底初探教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对x，y与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对x，y，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断正确的打“，错误的打“1在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.2在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的

2、.3坐标3,0和0,3表示同一个点.【解析】123因为3,0在x轴上，而0,3在y轴上.【答案】123教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程fx，y0的实数解建立了如下的关系：1曲线C上的点的坐标都是方程fx，y0的解；2以方程fx，y0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程fx，y0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程fx，y0的曲线.填空：1x轴的直线方程为_.2以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为_. 【导学号：12990000】3方程2x2y21表示的曲线是_.【答案】1y02x2y213 椭

3、圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进展伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断正确的打“，错误的打“1假如x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为椭圆.2平移变换既不改变形状，也不改变位置.3在伸缩变换下，直线仍然是直线.【解析】1因为x2y24的圆的形状变为方程y21表示的椭圆.2平移变换只改变位置，不改变形状.3直线在平移和伸缩下仍然为直线，但方程发生了变化.【答案】123质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用平面直角坐标

4、系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进展护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.假设甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】此题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如下图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直

5、平分线为y轴建立直角坐标系，那么A3,0，B3,0，C5,2.|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上.kBC，线段BC的中点D4，直线PD的方程为yx4.又|PB|PA|4，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1x2.联立，解得P点坐标为8,5.kPA.因此甲舰行进的方位角为北偏东30.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系设点列关系式或方程求解数学结果答复实际问题.再练一题1.某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形

6、区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.1问农艺园的最大面积能到达多少？2该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30的角，现要对整条水沟进展加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】1设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|CB|4|AB|2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a4，焦距2c2的椭圆去除落在直线AB上的两点.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，那么点C的轨迹方程为1y0.易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积

7、最大，那么C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S2km2.2因为修建农艺园的可能范围在椭圆1y0内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：yx1被椭圆截得的弦长，如图.因此，由13x28x320，那么弦长|x1x2|，故暂不加固的部分长 km.平面直角坐标系中曲线方程确实定1椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的间隔 之和为12，求椭圆G的方程；2在边长为2的正ABC中，假设P为ABC内一点，且|PA|2|PB|2|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】此题是曲线方程确实定与应用问题，考察建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法

8、及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中1需要根据条件用待定系数法求解；2需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程断定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】1由设椭圆方程为1ab0，那么2a12，知a6.又离心率e，故c3.b2a2c236279.椭圆的标准方程为1.2以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设Px，y是轨迹上任意一点，又|BC|2，B1,0，C1,0，那么A0，.|PA|2|PB|2|PC|2，x2y2x12y2x12y2，化简得x2x24.又P在ABC内，y0.P点的轨迹方程为x2y24y0.其曲线如下图为

9、以0，为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：1直接法：假如题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：建立适当的平面直角坐标系，并用x，y表示曲线上任意一点M的坐标；写出合适条件P的点M的集合PM|PM；用坐标表示条件PM，写出方程fx，y0；化简方程fx，y0；检验或证明中以方程的解为坐标的点都在曲线上，假设方程的变形过程是等价的，那么可以省略.2定义法：假如动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可依定义写出轨迹方程.3代入法相关点法：假如动点Px，y依赖于另一动点Qx1，y1，而Qx1，y1又在某曲线上，那么可先列出关于x

10、，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入曲线方程即为所求.再练一题2.如图111，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量与的夹角为120，2.图1111求圆C的方程；2求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程.【解】1建立如下图的平面直角坐标系，由题意得，CQM为正三角形.r2cos 602，圆C的半径为2.又圆心为0,0，圆C的方程为：x2y24.2由1知M2,0，N2,0，Q1，2a|QN|QM|22，a1，c2，b2a2c22，椭圆方程为：1.探究共研型平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物

11、线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，假设x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标x，y与原坐标x，y有什么关系？【提示】一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍k0，那么当k1时，x轴与y轴具有一样的单位长度；即为的伸缩变换，当k1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为

12、原来的，即为的伸缩变换，当0k1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为的伸缩变换.在以下平面直角坐标系中，分别作出1的图形：1x轴与y轴具有一样的单位长度；2x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；3x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】1建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有一样的单位长度，那么1的图形如图.2假如x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，那么1的图形如图.3假如y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，那么1的图

13、形如图.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，此题(2)中即为的伸缩变换，此题(3)中即为的伸缩变换.再练一题3.本例中，1不变，试在以下平面直角坐标系中，分别作出其图形：1x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍；2x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.【解】1假如x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，那么1的图形如图.2假如y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，那么1的图形如图.构建体系1.曲线C的方程为yx1x5，那么以下四点中在曲线C上的是A.0,0B.C.1,5D.4,4【解析】将答案代入验证知D正确.【答案】D2.直角坐标系中到两坐标轴间隔 之差等于1的点的轨迹方程是A.|x|y|1B.|xy|1C.|x|y|1D.|xy|1【解析】由题知C正确.【答案】C3.一椭圆的方程为1，假如x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，那么该椭圆的形状为【解析】假如y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的倍，那么方程变为x2y24，应