误差的基本知识

1、第一章 误差的基本知识§1.0 误差的来源实际问题数学模型数值问题编程计算观测误差模型误差截断误差舍入误差 (1) 观测误差：受测量工具本身精度的影响 (2) 模型误差：因简化和抽象，数学模型本身包含的误差 (3) 截断误差：近似解与精确解之间的误差，将数学模型转化为数值方法时产生 (4) 舍入误差：取有限位小数所引起的误差 例1 公式：所产生的误差即截断误差 例2 R = p- 3.14159 = 0.0000026. 所产生的误差即舍入误差注：(1) 疏忽大意造成的错误不属于误差。 (2) 总假定：由实际问题建立的数学模型是合理的，参量也是足够精确的 (3) 主要讨论截断误差和舍

2、入误差。§1.1 绝对误差、相对误差及有效数字1. 绝对误差与绝对误差限 定义3.1 设x为精确值，x*为x的近似值，称e = x* - x为近似值x*的绝对误差，简称误差，简记为e。注：e可正可负，很难求出。（但往往知道|e|的范围：|e| £ e） 若|e| = | x* - x | £ e(x*)，则称e(x*)为x*的绝对误差限，简称误差限，简记为e。注：(1) e > 0 (2) x的范围：x* - e £ x £ x* + e，工程上常记为：x = x* ± e。（知道误差限就可知道精确值的范围） 例1：“四舍五入”

3、的绝对误差限 设x = ±0.a1a2¼ anan+1¼´10m， 十进制标准表示式（a1¹ 0）。 四舍五入： 此时，总有2. 相对误差与相对误差限 绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏，如x = 100 ± 2，y = 10 ± 1 定义3.2 称为近似值x*的相对误差。 若，则称 er为近似值x*的相对误差限。 注：(1) 由于与相差很少，而前者不易求得，故用后者代替前者。 (2) 绝对误差和绝对误差限有量纲，而相对误差和相对误差限无量纲，常用百分数表示。 仍然考虑：x = 100 ± 2，y = 10 &#

4、177; 1： 即x* = 100，y*= 10的相对误差限分别是2%与10%，故x*近似x的程度比y*近似y的程度好。 (3) 绝对误差限与相对误差限均不唯一（上限不唯一，越小越好）。 例2：设p = 3.14159265，按四舍五入取五位数字作为其近似值：x* = 3.1416，则e = x* - p = 0.0000073，3. 有效数字和有效数字位数 定义3.3 若x*的误差绝对值不超过某一位数的半个单位，而该位数字到x*的第1位（最左边）非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字，这n个数字都称为有效数字。 如设x = p = 3.14159265¼ 取x* = 3.14，则

5、|x* - x| = 0.00159265 £ 0.005 =（绝对误差限）有效位3 取x* = 3.141，则|x* - x| = 0.00059265 £ 0.005 =有效位3 取x* = 3.142，则| x* - x| = 0.0004073 £ 0.0005 = 有效位4 注：上述做法其实就是通常的四舍五入法。 如何描述有效数字？（一般情况下在计算机中数往往规格化，故有必要考察规格化数。） 定义3.4 若x* = ± 10m ´ 0.a1a2an（a1¹ 0）是对x的第n + 1位数字进行四舍五入后得到的近似值，即| x*

6、 - x| £ ，则x*具有n位有效数字。 注：(1) 称x*具有n位有效数字，即| x* - x| £ (2) 有效数字位数与小数点的位置无关（即上式中的m不起作用）。只有写成规格化数后，小数点后的数字位数才有用。 (3) 4与4.0具有不同的有效数位。 例3：设准确值为x = 3.78695，分析近似值= 3.7869，= 3.7870分别具有几位有效数字。 解：|-x| = 0.00005=（小数点后第4位），有效位5。|-x| = 0.00005=（小数点后第4位），有效位5。 (4) 一般来说，有效位数越多，其误差值越小，但也有例外。（误差相同，有效位不同，如下例

7、） 例4：设，它的两个近似值和分别有3,4位有效数字。4. 有效数字与相对误差间的关系 上面用绝对误差来描述了有效数位，下面考虑相对误差与有效数位的关系。 命题 设x* = ± 10k ´ 0.a1a2an（a1¹ 0）是x的近似值 若x*具有n位有效数字，则其相对误差限满足：。证明：因为| x*| ³ 0.a1 ´ 10 k，且x*具有n位有效数字，所以 注：有效数位越多，则相对误差越小，反之亦然。 在实际应用中，为了要使取得的近似数的相对误差满足一定的要求，可以用命题中的不等式来确定所取得近似数应具有多少位有效数字。 例5：求的近似值，使其

8、相对误差不超过0.1%。 解：因为，设x*具有n位有效数字，则其相对误差满足：（命题）。满足此式有n = 4，故取x*= 2.449。 例6：确定圆周率p的近似值的绝对误差、相对误差及有效数位。 解：因为p* = =3.141592920×××，p××× 所以，|p* - p|=0.00000026×××，且； 误差|e| = |p* - p| £ 0.0000005=，所以有7位有效数字。§1.2 数值计算的误差估计及算法稳定性1. 函数运算中的误差 当自变量有误差时，计算相应的函数

9、值也会产生误差，其误差限可由泰勒展式估计。 (1) 设f具有二阶导函数，x*为x的近似值，则 (2) 若f是n元函数，有二阶连续偏导数，xi*为xi的近似值，i=1,2,n，则2. 四则运算中的误差 四则运算作为二元函数的特例： (1) 加减法： (2) 乘法： (3) 除法：3. 浮点基本运算的误差 (1) 浮点数及其误差 二进实数：x = ± 2a´ 0.b1b2bt 其中b1 ¹ 0 机器数： x* = ± 2a´ 0.b1b2bt 符号 阶码 尾数 尾数的长度由硬件决定 称fl(x) = x*为x的机器规格化浮点数，简称浮点数. 记b

10、= ± 0.b1b2bt，b* = ± 0.b1b2bt，则x = 2a b，x* = 2a b*显然，| b | ³ |b* | ³ 0.1=2-1， 所以，误差（舍入）：|e| = | x* x | = | fl(x) x | =2a| b b*| £ 2a 2-t = 2at 相对误差（舍入）： (2) 浮点数的四则运算 记fl(x)的相对舍入误差限为，则fl(x) x = xex，|ex | £ 2t+1. 由此得到浮点数四则运算产生的舍入误差限为：fl(x±y) = (x±y) + (x±y)e

11、1,2=(x±y)(1+e1,2)fl(xy) = (xy)(1+e3) |ex | £ 2t+1 x=1,2,34. 例7 设x = 2101´ 0.101101，y = 211´ 0.111101，求fl(xy).解：显然t = 110（6位），10111=10 < t对阶：y = 2101´ 0.001111（01），右移2位 xy =2101(0.101101 0.001111) = 2101´ 0.011110规格化：fl(xy) = 2100´ 0.111100注：若x = 2111´ 0.101

12、101，y = 21´ 0.111101，则1111=110 ³ t，对阶时有：y = 2111´ 0.000000（111101），右移6位，x±y =2111(0.101101 ± 0.000000) = 2111´ 0.101101 大数吃小数 (3) 连加和连乘的误差 例8 y = x1+x2+x3 的两种算法. 考虑舍入误差的影响解：(1) y = (x1+x2)+x3 fl(x1+x2) = (1+e1)(x1+x2)， fl(y) = (1+e2)(fl(x1+x2)+x3) = (1+e2)(1+e1)(x1+x2)+

13、 x3 = Þ (2) y = x1+(x2+x3) 故应根据| x1+x2 |还是| x2+x3 |较小来选用(1)或(2). 说明： (1) 连加的和是带有相对误差的各数(xk)(1+ek)的精确和，诸相对误差限的大小因各数参加运算的先后次序而异. (2) 连乘的运算与各数参加运算的先后次序无关.4. 数值算法的稳定性定义：一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。 例9 计算积分 n = 0, 1, 2, , 7（）解：(1) In = 1 nIn-1：Þ 不稳定 (2) ：Þ 稳定5.

14、 数值算法的可靠性 例10 计算y = a2 b2有两个算法：算法 1 = a ´ a，2 = b ´ b，y = 1 2；算法 1 = a + b，2 = a b，y = 1 ´ 2。讨论舍入误差对它们的影响。 解：对于算法，fl(1) = (1 + 1)a2，fl(2) = (1 + 2)b2，fl(y) = (1 + 3)fl(1) fl(2) = (1 + 3)(1 + 1)a2 (1 + 2)b2从而fl(y)的相对误差（忽略误差的二阶项）与相对误差限是对于算法，fl(1) = (1 + 4)(a b)，fl(2) = (1 + 5)(a + b)，fl

15、(y) = (1 + 6)fl(1) fl(2) = (1 + 4) (1 + 5) (1 + 6)(a2 b2)从而fl(y)的相对误差限是比较两式可知，当(a2 + b2) > 2|a2 b2|，即1/3 < (a/b)2 < 3时，算法的相对误差较小，因此算法比算法在数值上更可靠，而当(a2 + b2) £ 2|a2 b2|时，算法比算法在数值上更可靠。例如：a = 0.3237，b = 0.3134，用4位有效数字计算a2 b2，可得如下结果：算法 a ´* a = 0.1048，b ´* b = 0.9822 ´ 101，(a

16、 ´* a) (b ´* b) = 0.66 ´ 102；算法 a +* b = 0.6371，a * b = 0.1030 ´ 101，(a +*a)(b *b) = 0.6562 ´ 102。a2 b2的准确值是0.656213´ 102，可见算法比算法的结果可靠。而a/b = 0.3237/0.3134 = 1.032865.，满足1/3 < (a/b)2 < 3，即由理论分析也知算法比算法的结果可靠。§1.3 数值计算中应注意的一些原则1. 选用稳定性好的算法，以控制误差的传播例：在4位有效数字的精度下求

17、定积分的值： n = 0，1，2，100解：由于初值于是可建立递推公式这是一个数值稳定性不好的算法，y0的舍入误差传播到y1时增大5倍，如此进行，传播到y100时将增大5100倍。 如果改变计算公式，先取一个yn的近似值，用下面的公式（1.9）倒过来计算yn-1，yn-2，即：情况就不同了。我们发现的误差减小到后传给，因而初值的误差对以后各步的计算结果的影响是随着n的增大而愈来愈小。 利用估计式取y100的近似值为按下式即可求出101个积分值：由于y100的误差在计算过程中的每一步都被乘以1/5，所以该算法是一个稳定算法。对于一个稳定的计算过程，由于舍入误差不增大，因而不具体估计舍入误差也是可

18、用的。而对于一个不稳定的计算过程，如计算步骤太多，就可能出现错误结果。因此，在实际应用中应选用数值稳定的算法，尽量避免使用数值不稳定的算法。2. 防止大数吃小数 对位中 连加中的顺序： 如在5位机上计算. 52492=0.52492´105，ai £ 0.9 = 0.000009´105 = 0 应先计算，再与52492相加.3. 避免相近两数相减 有效数位会严重损失 如x = 1.232，y = 1.231，在4位机上计算：z = x3 y3 =(1.232)3 (1.231)3 = 0.1870 ´ 101 0.1865 ´ 101 = 0.5 ´ 102，至多1位有效数字改为：z = (x y)(x2 + xy + y2) = 0.1´ 102´(0.1518´ 101 +0.1517´ 101+0.1515´ 101) = 0.455 ´ 102，此时将有3位有效数字因为x2、xy、y2均为四舍五入所得，其绝对误差限为0.0005 = 0.5´103，所以z = 0.455 ´ 102的绝对误差限为：z = 0.1´