10-2014年深圳市高中数学教师命题比赛理科

1、2021年市高中数学教师命题比赛理科1.全集 U 1,3,5,7,集合 A1,5,B 3,5,那么 Cu(AB)A.1,5,7B.C.7D.1,3,72.设复数z满足(1 i)z2i ,那么Z =3.函数f(X)为奇函数且当f(x)In xf( 1)为A.2 B4.等比数列an的前n项和为Si, S3a1A.135.某程序框图如下列图，假设该程序运行后输出的值是2a210a1, 85A. a 4 b . a5c. a6d. a 7本试卷共4页,21小题,总分值150分.考试用时120分钟参考公式：1V台-(S S TSS) V柱 Sh3，一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，总分值40分.在

2、每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的6. 一个几何体的三视图如下列图，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1, V2, V3, v4,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，那么有 a.v1v2 v4 V3b . v1v3v2 v4C.V2V173V4D .V2V3V1V47. a 0 , x,xy满足约束条件 y1a(x 3),假设x 3z 2xy的最大值为4 ,那么aA. 1 B.41 C.1D. 228. 对任意两个非零的平面向量a和b ,定义a ba b.假设平面向量 a , b满足|a| |b| 0 ,b ba b的夹角 0,玄，

3、且a b和ba都在集合第6题图n|n Z中，那么 a b =1 3A.B.1 C. D.2 2二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每题5分，总分值30分。一必做题913题89. 假设x 3的展开式中x4的系数为7,那么实数a10.函数y log2 x22x的定义域是11.由直线x 0, y 1,与曲线y sinx,(x12.设 a,b, c, x, y, z是正数，且 a2 b2c2a b c0,所围成的封闭图形的面积为22 210, x y2z 40, ax by cz 20,那么x y z13设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且CBA,假设4AB 4,BC 2 ,那么椭圆的两个

4、焦点之间的距离为二选做题：第 14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题得分14.坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 2cos与 cos2的公共点在平面直15.PB角坐标系中的坐标为几何证明选讲如图，割线PBC经过圆心0,OB 1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，那么PE 三、解答题：本大题共 6小题，总分值80分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。16. 本小题总分值12分f(x) sin( x)的最小正周期为6(I )求 的值( n )在 ABC中，角a, B,C的对边分别是a,b,c，假设a2 b2 '一 2ab c2 且

5、 f (B)-求 sin A。217. 本小题总分值12分近年来，某市为了促进生活垃圾分类处理，将垃圾分为厨余垃圾、 可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，分别设置了相应垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取该市四类垃圾箱中总计100吨生活垃圾，数据如下：厨余垃圾箱可回收垃圾箱有害垃圾箱其他垃圾箱厨余垃圾300010可回收垃圾02000有害垃圾00100其他垃圾1010010I丨试估计生活垃圾投放正确的概率(II)以各垃圾箱垃圾的频率估计垃圾投入各垃圾箱的概率，现需丢3件垃圾，记 为投入厨余垃圾箱垃圾的数量，试求的分布列和数学期望。18. 本小题总分值 14分如图1所示，直角三角形

6、ABC中， B 900, D,E分别是AB, AC的中点，AB BC 4,将 ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥,使得A B A E , F为A B的中点。I丨证明: A B 平面DFE(II)求二面角A CE D的平面角的余弦值19.本小题总分值14分数列an满足an2nam2n 1(n2)y2，(2n1)an 11求数列 an的通项公式；(II)abnn ,求证对于一切正整数n,都有db2bn-成立。2n42 220. 本小题总分值14分双曲线 笃 爲 1(a,b 0)的离心率为2，且焦点到渐近线a b的距离为1，P(m, n)为双曲线上任意一点 m 1，过点P的直线与圆O: x2

7、y21相切于代B两点I求双曲线的标准方程II丨求点A, B所在的直线方程III丨双曲线是否存在点 P(m, n) m 1，使得 OAB的面积最大，假设存在求出点 P的坐标，与 OAB的最大面积，假设不存在，请说明理由。21. 本小题总分值14分设函数f (x) (x a)ln x，I丨假设x 1为y f (x)的极值点，数a的值II结合以下列图像，试求函数y f (x)的单调区间用x°,X1,X2表示。2021年市高中数学教师命题比赛理科本试卷共页,21小题，总分值150分.考试用时120分钟1参考公式：V台(S SJSS)，V柱Sh3 ,一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值

8、40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.全集 U 1,3,5,7,集合 A 1,5, B 3,5,那么 Cu(A B)()A.1,5,7 B. C. 7 D. 1,3,7【解答】A B 5 Cu(A B) 1,3,7选择 D【试题来源】2021数学理1改编【命题意图】集合的交集与补集2.设复数z满足(1 i)z 2i ,那么Z =A.1 i B.1 i C. 1 i D【解答】z2ii 选择b【试题来源】2021新课标理2改编【命题意图】复数四那么运算与共轭复数3.函数f(X)为奇函数，且当xf(x)ln x 2x,那么 f( 1)A.2 B【解答】f( 1)f(1)

9、2选择【试题来源】2021理3改编【命题意图】函数奇偶性，求值4.等比数列an的前n项和为S, S3a210a1, a9,那么a1A.1 B .3【解答】ai(14Bqq q2) a1q 10a1解之得a119选择C【试题来源】2021新课II 3【命题意图】等比数列通项公式95. 某程序框图如下列图，假设该程序运行后输出的值是，那么5 A. a 4 B . a 5 C. a 6D. a 71 119【解答】s 1 (1 -)-所以4 a,5 a应选a2 4 55，【试题来源】2021理5【命题意图】识别程序框图，通过计算判断控制条件。6. 一个几何体的三视图如下列图，该几何体从上到下由四个简

10、单几 何体组成，其体积分别记为 , V2, V3, v4,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体 ，那么有a.v1 v2 v4 V3b . v1 v3 v2 v4C V2 V1 V3 V4D. V2 V3 V1 V4【解答】由题意可知，自上到下为圆台、圆柱、棱柱、棱台。V1(4.4 2)73 31 28V2 2V3 8 V4 -(4 16 4 16) 一，33应选择C【试题来源】2021年理8【命题意图】考察由三视图复原几何体，根据尺寸求体积。7. a 0，x,y满足约束条件x 1y a(x 3)，假设z 2x y的最大值为4 ,那么a y x 3A.1 B. 1 C. 1

11、D. 2【解答】如下列图，当z 2x y经过点C时取到最大值,C(1, 2a)带入 z 2 2a 4 , a 1 应选择 C【试题来源】2021新课标II理9改编【命题意图】逆向线性规划问题，以过定点的直线旋转引起最大值变化，根据最大值确定变量 a的取值。|a| |b|0,a b的夹角(°,丁)，且4a b和b a都在集合2|nZ中，那么a b =135A.B.1 C.D222【解答】因为a?ba b|a| cos<2 u - cos, b ab?a|b|qcos cos 1 ,b?b|b|2a ?a|a|h-b-且a b和b-na都在集合|n Z中,所以b a 也cos1?|

12、b|1,所以2|a|2|a | 2cos- |a|9-3a b -cos 2 cos2，因为(0, )，所以 1 ab 2 ,故有a b.应选8.对任意两个非零的平面向量rjrrjja和b，定义a：b 圧假设平面向量a , b满足b b|b|42C.【试题来源】2021理8【命题意图】定义题，考察向量的数量积、三角函数的计算，考察学生的阅读能力。二、填空题：本大题共 7小题,考生作答6小题，每题5分，总分值30分。本大题分必做题和选做题两局部。一必做题913 题9.假设a3X8的展开式中4x的系数为7,那么实数【解答】TrER8 r LCsrarx 34可得r 3所以C83【试题来源】2021

13、年理11【命题意图】考察二项式定理与指数运算。10.函数y log2(x22x)的定义域是【解答】x2 2x 0 x 2或x 0,答案是(2,)(,0)【试题来源】原创【命题意图】考察对数函数定义域，一元二次不等式11.由直线x 0,y 1,与曲线ysinx,(x 0,)所围成的封闭图形的面积为2【解答】如下列图，阴影局部面积=长方形面积 y si nx, x轴,x石围成图形的面2 sin xdx 2 0 2【试题来源】原创【命题意图】考察利用定积分求封闭图形的面积，转化为整体减局部的方法求解。12.设 a,b, c, x, y, z是正数，且 a2 b2a b cc210，x2z 40， a

14、x by cz 20，那么xyz【解答】由于(a2 b2 c2)(x2 a-ct那么 a tx,b ty,cxyzz2) (ax2/ 2tz，t (xbyz2)cz)2，10等号成立当且仅当t 1/2所以由题知t 1/2 ,又£ bx yc a b c a,所以一x y z【试题来源】2021理6题【命题意图】考察柯西不等式等号成立的情况。13设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且CBA的两个焦点之间的距离为【解答】如下列图，有题意可得2，B(2,0)又由可得C(1,1)代入2 2所以丄每 1中可得b24 b8,2c【试题来源】2021理9题【命题意图】考察数形结合能力，椭圆标准方程与

15、a,b,c之间的关系。二选做题：第 14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题得分14. 坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线 2cos与 cos2的公共点在平面直角坐标系中的坐标为 【解答】2cos ，可得2 2 cos , xy2 2y,cos2可，可得y 2，从而x 0 ,所以坐标为(0,2)【试题来源】2021年理11改编【命题意图】考察极坐标系与平面直角坐标系的转换。15. 几何证明选讲如图，割线PBC经过圆心O,PB OB 1，PB绕点O逆时针旋120。到OD，连PD 交圆O于点E，那么PE .2 2 2 0第15题图得PD7，由相交弦定理PB PCPE PD，所

16、以 PE【解答】PD OD OP 2OD OP cos120 7，可【试题来源】2021年深一模15题【命题意图】考察余弦定理、割线定理。三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。16.本小题总分值12分f(x) sin( x )的最小正周期为6(I )求 的值( n )在 ABC中，角a, B,C的对边分别是a,b,c，假设a2 b2. 2ab c2 且 f (B)-求 sin A。2【解答】解：(I )最小正周期TcosCa2 b22abc222f(B)sin(2B -)1,且 0sin Asin(B C) sin BcosCcosBsi nC12分

17、1 /2、3 262( ) 2 22 24【试题来源】根据 2021深一模16改编【命题意图】考察三角函数最小正周期、三角函数值与解三角形中的余弦定理、两角和的正 弦公式等知识，正向、逆向运用公式、定理的能力和转化化归思想。17.本小题总分值12分近年来，某市为了促进生活垃圾分类处理，将垃圾分为厨余垃圾、 可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，分别设置了相应垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取该市四类垃圾箱中总计100吨生活垃圾，数据如下：厨余垃圾箱可回收垃圾箱有害垃圾箱其他垃圾箱厨余垃圾300010可回收垃圾02000有害垃圾00100其他垃圾1010010I丨试估计生活垃圾投放

18、正确的概率(II)以各垃圾箱垃圾的频率估计垃圾投入各垃圾箱的概率，现需丢3件垃圾，记 为投入厨余垃圾箱垃圾的数量，试求的分布列和数学期望。P(B)30 101000.4,P(B)0.6丨设生活垃圾投放正确为事件A30 20 10 10P(A)100°.7 3分丨设垃圾投入厨余垃圾箱为事件B可能取值为0,1,2,3P( 0) C300.630.216,P( 1) C310.4 0.620.432P( 1) C320.42 0.6 0.288,P( 3) C330.430.064=0=1=2=3P()0.2160.4320.2880.06410分E( )1 0.432 2 0.288 3

19、 0.064 1.2 12分【试题来源】原创【命题意图】以生活热点问题垃圾分类处理为背景，考察学生阅读理解、认识图表的能 力，从而建立二项分布模型，求解分布列与数学期望。18.本小题总分值 14分如图1所示，直角三角形 ABC中， B 900, D,E分别是AB, AC的中点，AB BC 4,将 ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥,使得A B A E , F为A B的中点。图1图2I证明：AB 平面DFE(II)求二面角A CE D的平面角的余弦值【解答】I由题意可得，DEAD,DE DB, AD DB DDE 平面A BD又t AB 平面ABDDEA B'F为A B的中点，A

20、DDBDF A B 由和DF DEDA B平面 DEF (II) - AB BC 4DEADBD 2AE2 22 2 2 AB A D BD ，A DBD 6分传统法：如右图所示，过D作DFCE交CE的延长线于F ，连接A FTAD BD, AD DE,DEBD D A B 平面 BDE又-hCF 平面 BDECFA D8分又：hCF DF, AD DF DCF平面 ADF又:A F 平面ADFCFAF所以 A FD为二面角ACED的平面角4分A B 2. 210分结合图1可知，F为AE中点,故DF . 2 , A F DF 2 AD2-.6所以cos AFD罟冷T，所以二面角A CE D的平

21、面角的余弦值为昼314分向量法：以D点为原点，建立空间直角坐标系 O xyz如下列图，那么 A 0,0,2 , C 2,4,0 , E 0,2,0所以 AC 2,4, 2 , AE 0,2, 2平面CED，知阳0,0,1为平面CED的一个法向量，12分所以cosE*上1f ln1冋巧乜，即二面角A CE D的平面角的余弦值为314分设n.x, y,z为平面ACE的法向量，那么n AC02x4y2z0fyx人,即,解得，令x1n AE02y2z0z x得n.1,1,111分【试题来源】2021年理18题改编【命题意图】此题以直角三角形翻折问题为载体，考察翻折前后的不变量与变化量，通过线面垂直的定

22、义、判定、性质与二面角的平面角的余弦值的求解，训练学生的空间思维。同时,考察学生以向量为工具将立几问题转换为代数问题的解题思路。19.本小题总分值14分数列an满足an2&1(2n 1)an 1尹5 2)，a12，I求数列 an的通项公式;an(II)bn专，求证对于一切正整数2b2 bn7 、成立。4【解答】I由题意可得， an2* 1an 1(2n 1),(n 2)令Cn-,那么 G 1，an2时,Cn Cn1 (2n 1)C2C3G 3C2 5Cn叠加可得Cn 1 3 5(2n1)当n=1时,G=1满足上式,Cn2nan 2n(II)bnan2时,bn1n(n 1)(n1 11)

23、 nb1 b2bn 112分综上所述b2bn14分【试题来源】2021年理20题改编【命题意图】此题考察通过一阶递归数列的变形求倒数构造结构简单数列方式求解通项 公式，经过适当放缩和裂项相消法证明不等式根据证明判断从第几项开始裂项2 2 _20.本小题总分值 14分双曲线 笃 召 1(a,b 0)的离心率为2，且焦点到渐近线a b的距离为1，P(m, n)为双曲线上任意一点 m 1，过点P的直线与圆O: x2 y2 1相 切于代B两点I求双曲线的标准方程II丨求点A,B所在的直线方程III丨双曲线是否存在点 P(m, n) m1，使得 OAB的面积最大，假设存在求出点P的坐标，与 OAB的最大

24、面积，假设不存在，请说明理由。【解答】I丨由e - ，2c2 2a2，所以b2 c2 a2 a2a双曲线渐近线方程为 ybX X,即x y 0渐近线，焦点坐标为(C,0)a那么c：21，所以a1，所以双曲线标准方程为1II设A(Xo,yo)为过点P的直线与圆O的切点，所以Xo2 yo2 1 ,y。y。x x2xnm2y。1可得x0m %n 114分1m又了 KABKOP1,K abKOPnml AB :yy0-(xnX0) 6分即 mx ny mx() ny00由可得mx ny 10 7分1III丨点P(m,n)在双曲线x2 y2 1上，所以m2 n2圆心(0,0)到直线AB的距离为h，那么h

25、_1_.2n21|AB| 2.r2 d22、12n22n210分1所以 SoAB 2|AB|12n22n21 2n2 1|n|2n2 1_|n |_2、2| n|12分当且仅当、.2|n| 1 ,迈时取等号。2由m2n2 1,可得込所以，当n2辽时，Soab面积最大，最大为2此时,2)或 P(14分【试题来源】2021年理20题改编【命题意图】此题考察双曲线的标准方程的求解和将双曲线方程作为控制条件求解过圆的两 个切点的直线方程，通过根本不等式求解三角形OAB面积的最大值，是一道综合性强的题目。21.本小题总分值14分设函数f(x) (x a)l nx，I丨假设x 1为y f (x)的极值点，数a的值y f (x)的单调区间用x0,x-!,x2表示。P(xl.yl)II结合以下列图像，试求函数图1当a0时图2当 e2 a0时【解答】If(x) (xa)ln x , f xln x1 -xf 10,得a1.3分IIf(x)(xa)ln x定义域为(0,)令 g(x)fxIn x.a,、1-,那么