中考数学系列专题43图形的轴对称

1、专题43图形的轴对称聚焦考点温习理解1 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线 就是它的对称轴.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点.2 .图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对 称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.对应线段、对应角相等.3 .由一个平面图形可以得到它关于一条直线 I对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某

2、一点关于直线I的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.一个轴对称图形可以看作以它的一部分为根底，经轴对称变换而成.4.轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：假设把轴对称的两个图形视为一个整体，那么它就是一个轴对称图形；假设把轴对称图形在 对称轴两旁的局部视为两个图形，那么这两个图形就形成轴对称的位置关系.名师点睛典例分类考点典例一、识别轴对称图形【例1】2021山东潍坊第2题以下科学计算器的按键中，其上面标注的符号

3、是轴对称图形但不是中心对 称图形的是【答案】D.【解析】A是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可得选项错误；选项B不是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；选项C是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项错误；选项 D是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项正确故答案选D.考点：轴对称图形与中心对称图形的概念【点睛】此题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条适宜的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合假设能找到，那么是轴对称

4、图形；假设找不到，那么不是轴对称 图形.【举一反三】1. 2021湖南湘西州第10题以下图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A.平行四边形 B 等腰三角形 C 矩形D 正方形【答案】B.【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念可得选项A,平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；选项 B,等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正确选项C,矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；错误；选项D,正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，错误；故答案选B.考点：轴对称图形的概念和中心对称图形的概念2. 2021广西桂林第5题以下图形一定是轴对称图形的是A.直角三角形 B 平

5、行四边形 C 直角梯形 D 正方形【答案】D.【解折】试题分析三根擔那採溷形的柢念可得选项A直甬三角形中只有等腥直角三角形为柚对称画松本选项错 误,选项B平行四边形不是釉对称團形，本选项错骯选项一直角梯形不是轴对称團勉本选项错误,选 顷D、正方形是轴对称图形本选项正确*故答秦选D.考点：轴对称图形.考点典例二、作图形的轴对称图形【例2】厦门在平面直角坐标系中，点A -3 , 1, B -1 , 0, C -2 , -1 ，请在图中画出厶ABC并画出与厶ABC关于y轴对称的图形.%1111V-4 3 -2 -1 012 3 4-1【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键画轴对称

6、图形，关键是先作出一条对 称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点 等的对称点，就能准确作出图形.【举一反三】2021浙江宁波第20题此题8分以下3X 3网格都是由9个相同小正方形组成， 每个网格图中有3个 小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按以下要求涂上阴影：1选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；2选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；【答案】详见解析【解析】试题分析：1根据轴对称图形的定义作图即可；2根据中心对称图形的定义作图即可；3根据轴对称图

7、形的定义作图即可；试题解析:(1)画出以下一种即可:(2)画出以下一种即可:匚(3)画出以下一种即可:考点：轴对称图形；中心对称图形考点典例三、轴对称性质的应用【例3】如图，菱形ABCD中，对角线AC=6 BD=8, M N分别是BC CD的中点，P是线段BD上的一个动点,那么PM+PN勺最小值是【答案】5.试题分析:作M关于BD的对称点Q,啟MQ,交BD于P,连接MP, 11忸寸MP-NP的值最小，连接AC, 求出CP、四，根拐勾股主理求岀BC长，证出MP-NP=QN=BCJ即可得出答秦.试题解析：作V关于BD的对称点Q,连接XQ,交卑D于巧连接MP, M寸MP-NP的值最小连接AC, 丁四

8、边形ABCD是養形丄BDZQBP=ZMBP7即Q在AB上，/MQ1BD,.AC/MQ,中点,；Q为AB中点，TT为CD中点，四边形ABCD是菱阪 BQ/CD, BQ=CX3二四边形BQNC最平行四边形，,XQ=BC,:四边形ABB杲菱形，7it在RtABPC中，由勾股走理得：BC=$,即 NQ-S,. KfP-NP=QP-NP=QNI=5考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质.【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短此题考查了轴对称 -最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用

9、，解此 题的关键是能根据轴对称找出P的位置.【举一反三】2021山东枣庄第24题此题总分值10分如图，把厶EFP放置在菱形 ABCDK 使得顶点E, F, P分别在线段 AB, AD, AC上，EP=FF=6, EF=6 3 ,/ BAD=60 °，且 AB> 6 3 求/ EPF的大小；假设AF=8,求ABAF的值；假设 EFP的三个顶点E, F, P分别在线段 AB AD, AC上运动，请直接写出 AP长的最大值和最小值.C【答案】(1) 120 ° ; (2) 10 3 ; ( 3) AP的最大值为12, AP的最小值为6.【解析】试题外析如虱过点P作FG丄EF

10、于®，根協等腰三角形的性质可得FG=EG=3 ,ZFTG=ZEFG= * .在 RtAFFG 中由 sinZFFG=皿 拆 ？可求得ZFPGCO ° ,所以上EFFZ/ FP(120o .(2、作PM丄朗干氏PICLaD于根抿菱刑的性底可得ZC1C=ZBAC,Pit二P1I,再利用PAM = - DAB = 30°HL 证明 RiAPMERtAPNF即可得皿征.又因 AF=ia,-所以 Air AW=APcas304.mA-hAF AW-HME十皿一MF二皿 + AU二(3)如團，当AEPP的三个顶点.瓦眄P分别在段AEp AD,朋上运动时'点P在妁之间运

11、动，易知酉。=皓° = _虫7二片所以AP 的最大11为12. AP的最小值为6.试题解析二如图，过点P作PG丄EF于G.PG-EO 3 击-ZEPFZFT4ZEP3 2FG _3书忑 在 RtAFPG 中5inZFPG=§2/_ZFTG=S0° ,二 Zep片zZFrBiMom 作 PM1AB 于 M, pn_Lad 于 N.VAC为萎形ABCD的对角线.'，ZBAC=Z&AC AF-A1I； PM=PN.在RtAPHE和R-tAPNF申、卩币卩叭PE=PF. .".EtAPlRtAPHF,MF=WE.ZP.4A/ 二-£DA

12、R 二 30=又 AF=10；2,.'.2E + AF (M + ME) + UB-NF)二皿 +AN=103 如图，当 EFP的三个顶点E, F, P分别在线段 AB AD AC上运动时，点P在P , P2之间运动，易知RO F2O 3 ao 9? ? AR的最大值为12, AR的最小值为6.第U题薈用圉*考点：四边形综合题.考点典例四、折叠问题【例4】2021山东威海第12题如图，在矩形 ABCD中, AB=4, BC=6点E为BC的中点，将 ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,那么CF的长为1218aJb.5C.匚D.匚【答案】D.【解析】试题分析；如訓连接叭已t

13、tBC=6,点E为比的中点，可得胡0根据勾股定理求得炉升根捋三角12_24JJ形的面积公式求出且皓5,即可得B产5 ,因FE=BE=EC,可i°ZBFC=90",再由勾股定理可得5 .故答案选D 考点：翻折变换；矩形的性质；勾股定理【点睛】此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴 对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等.【举一反三】1. 2021湖南常德第15题如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在

14、D,折痕iAD=【解析】试题分析：四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可得/ BAD* C,再由折叠的性质得/ DAE=/ C,所以/ DAE=Z BAD 即可得/ DAD玄 BAE=55 ;考点：平行四边形的性质；折叠的性质2. 2021湖北武汉第14题如图，在口 ABCDK E为边CD±点，将厶ADE沿 AE折叠至 AD E处，AD与CE交于点F.假设/ B= 52°,/ DAE= 20°，那么/ FED的大小为.【解析】试题分析：四边形 ABCD为平行四边形，/ D=/ B= 52°，由折叠的性质得：/ EAD，=/ DAE= 20

15、76;,/ AED =/ AED= 180°-/ DAE- / D= 180° 20° 52°= 108° ,AEF=/ D+Z DAE= 52°+ 20° =72°, / FED = 108° 72°= 36°.考点：平行四边形的性质；折叠的性质课时作业能力提升1. 2021浙江台州第9题小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次【答案】B.【解析】试题分析*小红用次数最少的对折方去验证了Y四边形丝巾的册状是正方

16、形，她对折了 2次理由如口理I把原丝巾对折1次共2层人如果原丝巾対折后芫全重合即说明它是拒形F沿对甬线对折1次，假设两个三角形重合，说明一组邻边相等，因此是正方枚应选瓦考点：翻折变换折叠问题2.2021青海第14题以以下图形中对称轴的数量小于【答案】D.【解析】试题分析：选项 A有4条对称轴；选项 B有6条对称轴；选项 C有4条对称轴；选项 D有2条对称轴.故选D.考点：轴对称图形.3. 2021湖北宜昌第3题如图，假设要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是 【答案】A【解析】试题分析：根摇轴对称图形与中心对称图形的概念可得；选项A是®称團形也是中心对称

17、團形j选1页B 不是釉对称團杖也不是中心对称團恥选项C不是轴对称團脇也不罡中心对称團形$选项D是轴对称 團机不是中心对称图形.故答亲选匸考点：中心对称图形；轴对称图形.4. 2021 江苏苏州第17题如图，在 ABC中，AB=10 , / B=60°, 点 D、E分别在 AB、BC上，且BD=BE=4，将 BDE沿DE所在直线折叠得到 B' DE 点B'在四边形ADEC内，连 接AB',那么AB'的长为.【答案】2 .'7.【解析】试题分析：过点 D作DF丄B' E于点F,过点B'作B' G丄AD于点G,：/ B=60&

18、#176;, BE=BD=4 / BDE是等边三角形， B' DEA BDE 二 B' F=B' E=BE=2 DF=3, a GD=B F=2,a B' G=DF=3, ： AB=10, AG=10- 6=4 ,a AB' =2 )7.考点：1轴对称；2等边三角形.5. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图，顶点B (2, 0), / DOB=60，点P是对角线 0C上一个动点，E(0,- 1)，当EP+BP最短时，点 P的坐标为考点：1菱形的性质；2坐标与图形性质；3 轴对称-最短路线问题；4 动点型；5压轴题；6综合 题.6. 2021内蒙古

19、呼伦贝尔市、兴安盟第12题如图，Rt ABC中，AB=9, BC=6 / B=90,将厶ABC折叠,使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ贝懺段BQ的长度为CC. 4D. 5A.【答案】C.I【解析】札题分析：设巒心那么由折養的性质可得叫根据中点的走又可得明4在RtABQD中？根据勾 b定理可得关于孟的方程丘幻三O-K網W 口，所觇线段囲的长対4.故迭匚考点：翻折变换折叠问题.7. 如图，在一张矩形纸片 ABCD中, AB=4, BC=8点E, F分别在AD, BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠, 点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： 四边形CFHE是菱形； EC平分/

20、DCH 线段BF的取值范围为3W BFW 4； 当点H与点A重合时，EF=2 5 以上结论中，你认为正确的有个.A. 1B. 2 C. 3 D. 4【答案】C.【解析】试题分析：先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明判断出正确j抿擔茎乃的对角找平分 组然后求出只育匚兀E-右 时玄平jZDCIL,判断出错误；点H与点A重合时，设BF-x,表示出-FC-8-x,利用勾舲定理列吐厉程求解得到BF的最小值，点G耳点D重含时，CF二CD,求出BF=4,熬后頁出KF的収倍范團，护斷出正确：过点F作曲丄AD于兀 求出血，再利用勾股定理列式求解

21、得到E判斷出正确试题解析：*TH与 g EH与GF都是拒形ABCD的对边AD, BC的一咅吩，二FHOGHH/CF,二四边册CFH5杲平行1四边形，由翻折的性贡得，CF=FH;四边形CFHE是菱形，故正确；/ BCH=/ ECH只有/ DCE=30时EC平分/ DCH 故错误；点H与点A重合时，设 BF=x,那么AF=FC=8-x,在 Rt ABF中，AB2+BF2=AF2即 42+x2= 8-x 2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4 BF=4,线段BF的取值范围为3< BFW 4,故正确；那么 ME= 8-3 -3=2 ,由勾股定理得，EF= MF2 ME242 22 2

22、5,故正确；综上所述，结论正确的有共3个.应选C.考点：翻折变换折叠问题；勾股定理的应用；菱形的判定与性质.8. 2021内蒙古通辽第7题如图，将矩形纸片ABCDf叠，使点B与点D重合，折痕为MN假设AB=2, BC=4,A.二5c.5D. 2、59. 2021山东济宁第9题如图，在4X4正方形网格中，黑色局部的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色局部的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是1A.: B. I ： C.：； D.丄-【答案】B.【解析】 试题分析；根癖由对称團形的概念，轴对称團形两局部沿对称轴折養后可重合日色的小正方形有13个而能构成一个轴対称團形的

23、有目个情况 WS所示,所以使團中黑色局部的图形仍然构成一个轴对称團形的枫率是石.故答案选比考点：轴对称图形的概念；概率【答案】.7 .D为BC的中点,E是AC边上一点，贝U BE+DE的最小值为【解析】试题分析：作 B关于AC的对称点B',连接BB、B'D,交 AC于 E,此时 BEfED=B, E+ED=B' D,根据两点之间线段最短可知 B' D就是BBED的最小值，I B、B'关于AC的对称， AC BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形 ABC是边长为2, v D为BC的中点， ADL BC AD=J3 , BD=C!=1,BB =

24、2AD=2J3，作 B' G丄 BC的延长线于 G - B' GAD= J3 ,在 Rt B'BG中，B=. BB'2B'G2=、_ 2、32、32=3,.DG=BG_BD=3- 1=2,，贝U BM+M的最小值为A. 10 B. 8 C. 53 D. 6.林9爲卅【答案】B【解析】试題分析：作点B关于AC的对称点E,过E作EF垂直蟆交脑干F点，也寸m+M的值最小土EF關长，由 勾股定理可得:AC= JjFTfiC7 = 55 , /S-AC-0Q=1aB>EC, /.AjC边上的高閃二也学二対JY22曙BE=2E：j=4-V? . 'J-

25、B>ZErF, _l>.QE=zliFB=9i 二厶廿EF"C珀Q PAEiA：iZ±C, ACABEF."EF=d故迭；I.考点：1.矩形的性质；2.轴对称；3.相似三角形的判定与性质12. (2021黑龙江哈尔滨第22题)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方 形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.(1) 如图1,点P在小正方形的顶点上，在图 1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ QC CR PA, 并直接写出四边形 AQCR勺周长；(2) 在图2中画出一个以线段 AC为对角线、面积为 6的矩形AB

26、CD且点B和点D均在小正方形的顶点上.&k【答案】(1)作图见解析；4.10 ; (2)作图见解析【解析】试題分析：(1)通过数格子可得到点F关于AC的对称点再直接利用勾般定理可得到周长具(2)利用囲格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形.试题薛析：如凰1所示：四边形曲C?即为所求，它的咼长対；W3：+l： =4VT0j (z)如團2所示:四边形銘即为所来AJ-rjl'piOrJI' -rALcCEL)考点：1轴对称；2勾股定理.13. (2021内蒙古包头第 25题)如图，一个直角三角形纸片ACB其中/ ACB=90 , AC=4 BC=3 E、F分别是AG AB边上点，连接 EF.(1) 图，假设将纸片 ACB的一角沿EF折叠，折叠后点 A落在AB边上的点D处，且使S四边形ecb=3Saedf,求AE的长；(2) 如图，假设将纸片 ACB的一角沿EF折叠，折叠后点 A落在BC边上的点M处，且使MF/ CA试判断四边形 AEMF勺形状，并证明你的结论；求EF的长;3如图，假设FE的延长线与BC的延长线交于点N, CN=1 CE=，求箸的值.【答案】12四边形AEMF为菱形，理由详见解析； 3二.【解析】试題分析：1先W用折蠡的性质得到EF丄酝AAEFAMF,那么5a越皿那么易得5辿产匕6再证 明RtZLAEF