中考数学系列专题29与圆有关的位置关系

1、专题29与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解、点和圆的位置关系设OO的半径是r，点P到圆心0的距离为d,那么有:dr 点P在O O外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：(1) 相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3 )相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 丿丄亠一相啊如果O 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么：直线I与O 0相交 v = d d=r ;直线I与O 0相离 v = dr ;切线的判定和性质：(1 )、切线的判定定

2、理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，0D垂直于切线。切线长定理：1 、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。3、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件圆内接四边形对角互补。4、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆0是厶A，B7 U的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。三、圆和圆的位置关系1 、圆和圆的位置

3、关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+.r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rd r)两圆内切 d=R-r ( Rr)两圆内含 dr)4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考点典例一、直线

4、与圆的位置关系【例1】O 0的半径r=3,设圆心O到一条直线的距离为 d,圆上到这条直线的距离为 2的点的个数为 m 给出以下命题： 假设d 5,贝U m=0;假设d=5，那么nr1;假设1 d 5，那么m=3；假设d=1，那么m=2；假设d 5时，直线与圆相离，那么 叶0,正确； 假设d=5时，直线与圆相切，那么 n=1,故正确； 假设1 d 5，贝U n=3,正确； 假设d=1时，直线与圆相交，那么 n=2正确； 假设d 1时，直线与圆相交，那么 n=2,故错误.应选C.【点睛】考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系.【举一反三】在平面直角坐标系 x

5、Oy中，直线经过点A - 3, 0，点B 0, J3 ，点P的坐标为1 , 0,与y轴相切 于点0,假设将O P沿x轴向左平移，平移后得到点P的对应点为点 P,当OP与直线相交时，横坐标为整数的点P共有A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C.【解析】试题分析：如 丁点P的坐标为1, o, OPy轴相切于点0,二的乌諱匚 假设O与蔚相切时，设切点为D,由点直-3,。片点 E 血 J5 423, 0B= VS. .AE=23 , ZDAJE 护.设平移后圆与直线曲第一次相切时圆心为MC即对应的Py.MD丄眄1TO=1又恥血 *2M点的坐标为 .同理可得圆与直线第二次相切时圆

6、心N的坐标为 _5； 0 ZECF,所EAcPPE,故tanZCEP= |错误故答秦选氐 %考点：圆的综合题7. 2021贵州遵义第12题如图，矩形 ABCD中, AB=4, BC=3,连接AC O P和OQ分别是 ABCAADC的内切圆，贝U PQ的长是5A.B.52D. 2.2【答案】B.【解析】试题分析：四边形 ABC助矩形， ACDA CAB O P和O Q的半径相等.在 Rt BC中，AB=4,BC=3,. AC=.AB2BC2=5,aO P的半径r = ABBC AC = 3 45=1.2 2连接点P、Q过点Q作QE/ BC过点P作PE/ AB交QE于点E,那么/ QEP90 如下

7、图.在 Rt QEF中，QE=BC- 2r=3- 2=1, EPAB- 2r=4 - 2=2,. PQ=. QE2 EP2 八 12 22 = . 5 .应选 B.考点：三角形的内切圆与内心；矩形的性质.填空题8. 2021湖南永州第20题如图，给定一个半径长为 2的圆，圆心O到水平直线I的距离为d，即OM=d我们把圆上到直线I的距离等于1的点的个数记为 m如d=0时，I为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线I的距离等于1的点，即m=4由此可知：1 当 d=3 时，m=;【解析】试题分析：1当丹时，因32!即dR,直线与圆相飢 那么HF心当疔2时，那么圆上到直线L的 距禽等于L的点的个数

8、记两兀可得直线与圆相交或相切或相离.所以即d的取值范園是OUd 3,考点：直线与圆的位置关系.9. 2021山东淄博第17题如图，OO的半径为2,圆心O到直线I的距离为4,有一内角为60的菱形，当菱形的一边在直线I上，另有两边所在的直线恰好与OO相切，此时菱形的边长为 .【答案】4,3 .【解析】试题井析：过点0作直第】的垂妹交如于E交就于陷作AGHS 1于根搁题盍玻出即的长，得到期的长根提正弦的祗念计草即可.过点0作直线1的垂绻交妙于E,交現于眄作揺直线1于 由题意得，ER2+4=D根16矩形的性质可得，AG=ER在R-tAABG中，AB= 4 J3 .sm ZS Ji考点：切线的性质；菱形

9、的性质.10. 2021黑龙江哈尔滨第 18题如图，AB为OO的直径，直线I与OO相切于点C, ADLI，垂足为 D,AD交OO于点E,连接OG BE假设AE=6 OA=5,那么线段DC的长为.【答案】4.【解析】 试题分析： 令 OC交 BE于 F, / AB为O O的直径，/ AEB=90, / ADL CD / BE/ CD / CD为O O的切线， OCLCD OCLBE, 四边形 CDEF为矩形,/ CD=EF 在 Rt ABE中，BE AB2 AE28 , / OF丄 BE, BF=EF=4 CD=4考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.11. 2021湖北随州第15题如图1 ,

10、 PT与OO1相切于点T, PAB与OO 1相交于A、B两点，可证明 PTMA PBT从而有 PT2=PA?PB请应用以上结论解决以下问题：如图2 , PAB PCD分别与OO 2相交于A、B、C D 四点， PA=2, PB=7, PC=3,那么 CD=【答案】3.【解析】试题分析：如圉2中，过点P作0的班戋FT,切点是T.切割纟疑理可得PT=PA-PB=PC-PD, ElD FA士PB=7, FC=3,即可得 2X7=3XPD,所以 FD=,即 CD=PD -比二耳 - 3=丄333图考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质.三、解答题12. 如图，在 ABO中，OA=OB C是边AB的中

11、点，以 O为圆心的圆过点 C.(1)求证：AB与OO相切；的面积【答案】(1)证明见解析；(2) 4 .OCLAB即AB是OO的切线【解析】 试题分析：(1)由OA=OB AC=BC根据等腰三角形三线合一的性质可推出 由ZAOB-12r? AB-4J5,很IB等腫三角形三线合一的性馬可推出ZAOC的度数和M的出説角三角函数可求出0C的长从而可求00的面积.试题解析：I如團，连接OC.：OA=OB, AOBC,二 0C 丄 AB .- -AB是OO的切线(2) *00是AABO 底边上的中线，ZAOB-120 .AB=43 ；./AOC-150 AC-2RtAAOC 中;AC MTan. ZAO

12、C 疋考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.锐角三角函数定义.13. 2021山东枣庄第23题此题总分值8分如图，AC是O 0的直径，BC是O O的弦，点P是O 0外一点，连接 PA PB AB/ PBA=Z C.求证：PB是O 0的切线;连接0P假设OP/ BC且Of=8,O 0的半径为2.2，求BC的长.第二题囹【答案】详见解析；2 2.【解析】试题分析：连接0E,由AC是SO的直径可得厶EC书、ZC+ZEAC=9O *再由OFOE可得ZBAC=Z0EA. 又因ZPBA=ZC, SSZPBA+Z0EA=90& ,即PE丄0丘即可判定PE是。0的切线.(2)可证ABCsAhO, 根

13、据相似三甬形的性质即可求EC的长试题解析：证明:如團斯示，连接OB-丁机是3的直径；.ZABC=0O* , ZC+ZBAC=90q -丁0口6;.Zbac=Zoba.Zpba=Zc,.ZPBA+Z.OBA=90 , 31 PEOB.二PE是Oo的切线.第击题臥解：O O的半径为2 2 , OB=2,2 , AC=4迈./ OP/ BC,/ BOP= OBC=Z C.又/ ABC=z PBO=90 , ABCA PBOBC AC “ BC 4 2OB BC=2.考点：切线的判定；相似三角形的判定及性质14. ( 2021年福建龙岩第 20题)如图，AB是OO的直径，C是OO上一点，/ ACDM B, ADLCD(1)求证：CD是OO的切线；(2 )假设 AD=1, OA=2 求 AC的值.【答案】(1)证明见解析;(2) 2.【解析】试题分析：d)连接X,易知. ZB=ZSCO;可推出ZOCDNh ?可得出结论F可证ACT 利用对应边成比倔冋求得