五年级奥数教程

1、目录第一讲 奇妙的幻方 3练习卷 .9第二讲可能性的大小游戏与对策 10练习卷 12第三讲图形的面积一 13第四讲认识分数 17练习卷 21第五讲行程中的相遇 相遇问题 22练习卷 26第六讲 公因数与公倍数 27.31综合演练幻方第一课时第一讲【知识概述】在一个n Xn的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。n是几就表示为几阶幻方。本讲，我们将来学习这 方面的知识例题讲学例1在一个3X 3的表格内，填入1-9九个数，不能重复，不能 遗漏，使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。 可以怎 样填？

2、【和为15】【思路分析】这样的3X 3幻方，在填写时有一定的规律和口诀:、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！幻方第二课时知识概述：上一讲中，我们讲述了如何填写3 X3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3 X3、5 X5、7 X7 像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个5 X5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真 的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上

3、出框时下边 放，双出占位写下方。 2 9.<84 /6110 严112°f /9你能按顺序继续写下去吗？试试看吧!幻方 第三课时根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写 七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方，本讲，我们继续试着填写七阶幻 方和九阶幻方。【思路点拨】再来重温一下口诀吧!一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边 放，双出占位写下方。把1-49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。把1-81这81个数字填入内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。幻方第四课时上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该

4、怎样填呢？下 面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。例题讲学将1-16这16个数填入下面这个4 X4的方格内，使得所有的横、竖、 斜列所加之和都相等。【思路点拨】首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要 求是：调换数与数间的调换先把 1-16这16个数按顺序填好。如：12345678910111213141516第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。%23 z415K89X0»12131415>6第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。215 , 3;: 14,5-=" 12,89 ,最后形成新的方格。115144126798101151

5、33216幻方 第五课时知识概述对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧：偶阶幻方分两类：双偶数：四阶幻方，八阶幻方、十二阶幻方，.，4K阶幻方，K 表示一个非零自然数可用 < 对称交换法 > ,方法很简单：1把自然数依次排成方阵2把幻方划成4 X 4的小区，每个小区划对角线，3把这些对角线所划到的数,保持不动，4把没划到的数，按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调，【与4 X 4幻方的方法一样】5 幻方完成！235、67/89迥*1213*14.161712021J21,*23.2425*'2627*2829*3

6、0313233.3435.3637*3839,4041444546.48495253.54*55*5657*58596061*>>6263*64现在试着完成一下八阶幻方吧你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？同步精练：把1-144这144个数填入12 X12的方格内，使其成为一个十 二阶幻方。恭喜你顺利完成了考验!练习卷按要求填写幻方:1、 三阶幻方2、 四阶幻方3、五阶幻方4、 七阶幻方5、八阶幻方第二讲可能性的大小游戏与对策例题讲学例1有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。规定谁拿走最后1颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？【思路点拨】

7、由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子，即每次保证两人共拿走 1+2=3颗，53颗共要取53十3=17 次2 颗，即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那 2颗。这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是 3就必胜无疑了。这样先拿的人就容易取胜了。同步精练1、有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规那么是：甲、乙两人轮流取，每人每次最多取2个，最少取1个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何安排？2、有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规那么是：甲乙轮流取，每 人每次取1个、2个、或3个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜, 他应该采取怎样的

8、策略？3、有197粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取 1个，最多取4粒，不能不 取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的获胜， 还是 后取的获胜？第二讲 可能性的大小游戏与对策第二课时例2 有两堆火柴，一对26根，一堆11根。甲乙两人轮流从中拿走1根 或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢， 问甲如何取胜？【思路点拨】这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就 能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取 走多的那几根就行了。同步精练

9、1、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子甚至可以把这 堆石子一次拿走完，但每次至少拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获 胜，问如何才能取胜？3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的，没人每次画一个，所画的 不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个，谁就获胜。如 何才能获胜？.练 习 卷1、有一枚骰子，六个面分别写着 1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是。2、

10、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1粒，最多取4粒, 谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？3、桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后一 根火柴为胜，问获胜的策略是什么？4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了 2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回 家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个方法，让他和西瓜 一次平安地过河去。5、一笔画出笔尖不离开纸由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起来，你能做到吗？图形的面积一第一课时例题讲学例1平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影局部的面积5厘米【思路点拨】4厘米既是平行四边形的高，也是阴影

11、三角形的高，平行四边形的面积是 28平方厘米，它的底为28宁4=7厘米,平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2 厘米。根据三角形的面积公式直接求出阴影局部的面积。彳局部的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影局部面积。这两种是最常用最简便的方同步精练1. 下面的梯形中，阴影局部的面积是 150平方厘米，求梯形的面积2 .平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影局部的面积3.如果用铁丝围成如下列图一样的平行四边形,*5厘米一需要图形的面积一第二课时例题讲学例2下列图中甲和乙都是正方形，求阴影局部的面积。单位：厘米B6E 4 F【思路点拨】图中的

12、阴影局部是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条 边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。仔细观察此题的图，我们可以发现，如果延长 GA和FC,它们会相交设 交点为H，这样就得到长方形 GBFH 如下列图，它的面积很容易求，而长方 形GBFH中除阴影局部之外的其他三局部 AGB、 BFC与厶AHC的面积 都能直接求出。同步精练1、求右图中阴影局部的面积。单位：厘米2、求右图中阴影局部的面积。单位：厘米第三讲图形的面积一第三课时例题讲学例3如下图：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6平方厘米，求CE 的长度。【思路点拨】 题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6平方 厘

13、米，即甲-乙=6 平方厘米，而甲和乙分别加上四边形 ABCF后相减的结果 还是6平方厘米，即：甲-乙=6 平方厘米甲+四边形ABCF-乙+四边形ABCF=6 平方厘米这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以 2再除以AB , 就得到BE的长度，从而求出CE的长度。同步精练1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三 角形ADE的面积比三角形 CEF的面积大10平方厘米。求CF的长是 多少厘米？2、正方形ABCD的边长是12厘米，DE是EC长度的2倍，求:1三角形DEF的面积。2CF的长。第四讲

14、认识分数第一课时?知识概述?把单位“ 1平均分成假设干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示a*b= b0。分数b可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数0除外，分数的 大小不变，这就是分数的根本性质。例题精学例1:分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【思路点拨】真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是91的真分数一共有90个，分别是丄，2 ,3里,其分子是19191919190的自然数。在这其中有分子和分母有除 1之外的相同质因数。

15、要求最简真分 数，那么分子中但凡91的质因数的倍数都应去掉。而 91=7X 13,在190的 自然数中，7的倍数有13-仁12 个，13的倍数有7仁6 个，这样分子可 取的数一共有90 12+6 =72 个。同步精练1. 分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？2. 分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？3. 分数 口 5中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小是a 8多少？第四讲认识分数第二课时例2把一个最简分数的分子加上1,这个分数就等于1.(1) 如果把这个分数的分母加上1,这个分数就等于8，原分数是多少？9(2) 如果把这个分数的分母加上2,这个分数就等于

16、，原分数是多少？【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.( 1) 分母加上1，分子应比分母小2，现在8的分子比分母小1，说明进行过约分了，9未约分前的分子比分母小2,说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以 2所得到的分数是卫，说明约分前是16，这样原918分数应是16。第(2)题请你自己思考。17同步精练1. 一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是2，原分数是多少？272. 个分数约分成最简分数是3，原分子、分母的和是90，原分数是多少?第四讲认识分数第三课时例

17、3分数空的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是 ？，求减1369去的数。【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的 分子与分母的差是136 73=63,得到的新分数的分子与分 母的差也是63.而新分数约分后变成2,9 2=7,因此可知约去的数是63- 7=9.9新分数是 口二兰，这样就可以求出减去的数是多少了。9 981同步精练一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为-，求这个分数1. 的分子、分母同时加上多少后就可以约分为 -?1332. 一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4,这个分数约分后是2，原来这个数

18、是多少？3第四讲认识分数第四课时例4分数55的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简64后为-，求某数。13【思路点拨】分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。原分数的分子、分母之和为55+64=119,说明新分数的分子、分母之和也是119,而新分数约分后是-，分子、分母的和是4+13=17,因此可知约去13的数是119+ 17=7。新分数为土工 迢。这样可以推算出这个原数了。13 791同步精练1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为 丄，求某数。32有一个分数，分子加上1可约分为3，分子减去1可约分为1，求这个 数。3. 一个分数，如果分子加上16,分

19、母减去166，那么约分后是3 ；如果分4子加上124,分母加上340,那么约分后是丄，求原分数是多少？2练习卷1、填空题1一个最简分数的分子、分母之积是30,这个最简分数是。2 个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是 。3 分母是85的真分数共有个，分母是85的最简真分数共有个。4 一个分数的分子、分母之和是90，约分后是-，求原来的分8 数是。5 一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，化简后是丄，求这个最简真分数是。522、分数-的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得-，求这12 2个自然数。3、分数16的分子加上一个数分母减去同一个数新分数化简为|， 求这

20、个数。4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为3，求原分数是多少？第五讲相遇问题相遇问题中数量之间的根本关系式：速度和X相遇时间=相遇路程相遇路程宁速度和=相遇时间相遇路程相遇时间=速度和【例 1】：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千米的辆两地相向而行， 公共汽车每小时 40 千米，小轿车每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90 千米？【分析与解】 两车在相距 450千米的两地相向而行， 距离逐渐缩短， 在相遇 前某一时刻两车相距 90 千米，这时两车共行的路程应为 450-90千米。需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零

21、逐渐增 大，到某一时刻，两车再一次相距 90 千米。这时两车共行的路程为 450+90千米。所以：450-90 - 40+50 =4 小时或450+90- 40+50 =6 小时答：两车在出发后 4小时相距 90千米，在出发后 6再一次相距 90千米。 同步精练1. 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行。 甲每分钟 走 66 米，乙每分钟走 59 米。经过几分钟才能相遇？2、两地相距 1200 千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时 行 120 千米，乙每小时行 180 千米，多少小时后，两车相差 300 千米？【例 2】甲乙两列火车从相距 770千米的

22、两地相向而行， 甲车每小时行 45千米， 乙车每小时行 41千米，乙车先出发 2小时后，甲车才出发。 甲车行几小时后与 乙车相遇？【分析与解】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小树，这段时间 甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的 路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、 乙两车同时相对而行的时间。乙车先行的路程：41 X2=82 千米，甲乙两车同时相对而行路程：770-82=688 千米，甲车行的时间：688 +45+41 =8 小时 答：甲车行 8 小时后与乙车相遇。解题技巧： 关键抓住先走的车，它所行的路程，把它

23、所走的路程先刨除在外，然后计 算两车人真正相距的路程，是解答此类问题的关键。同步精练小丽家距学校有 1500 米，中午 11:40 分放学回家时，小丽从学校以每分钟50 米的速度回家， 走了4分钟后， 爸爸骑自行车从家出发去接小丽， 爸爸的速 度是每分钟 150 米，爸爸出发多长时间会接到小丽？某送货员从 A 乡镇往 B 乡镇去送货，他以每小时 40 千米的速度开摩托 车前往，走了 0.5 小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发 2 小时后 接到了送货员，接货人的速度是每小时 60 千米。问： A、B 两个乡镇相距 多少千米？【例 3】两地相距 900 米，甲乙二人同时同地向同一方向行走

24、，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出发到 相遇共经过多少分钟？【分析与解】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，然 后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题，把同向走的时间与相遇走的时 间相加就是共同经过的时间。已到达目的地时间：900- 100=9分钟，甲9分钟走的路程：80X 9=720米，甲距目标还有：900-720=180 米，相遇时间：180- 100+80 =1 分钟， 共用的时间为： 9+1=10分钟。同步精练1 、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米，哥哥到 校门时，发现忘带课

25、本，立即沿原路回家去取，行至离学校 1 80米处与妹妹相 遇，他们家离校多远？2、甲、乙二人同时从 A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲 到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇，A B两地间的距离 是多少千米？【例 4】：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100 千米，甲每小时走6 千米，乙每小时走 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时走 10 千米，这只狗同甲 一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直 到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？【分析与解】 要求狗一共走了多少千米， 如果你认为求出狗与甲和乙相遇了 多少次，每次用多长时

26、间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就 是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有 停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。甲乙二人相遇时间：100+ 6+4 =10 小时狗走的路程为：10X 10=100 千米。同步精练甲乙两队学生从相隔 18 千米的两地同时出发，相向而行，一名学生骑自 行车以每小时 14千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行 5千米， 乙队每小时行 4千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千米？A、B两地相距400千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行 3

27、5千米，乙车每小时行 45千米。一只鸽子以每小时 50千米的速度和甲同时出 发，向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车飞来，遇到甲车又往回飞向乙车，这样 一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车正好相遇？练习 卷1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 860米的两地出发， 相向而行，汽车每小 时行 45 千米，摩托车每小时行 70千米， 6小时后两车相距多少千米？2、小强和小明家相距 2400 米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走50 米，小明每分钟走 70 米。求：1他们经过多长时间相遇？23分钟时，他们还相距多少米？315 分钟时，他们相距多少米？3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时5

28、6 千米，乙车每小时48千米，两辆车在离中点 32 千米处相遇，求东西两地间相距多少千米？ 4 、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后， 又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地 400 米 处，第二次相遇在距乙地 150 米处。问，甲、乙两地之间相距多少米？第六讲公因数和公倍数第一课时【知识概述】 我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个 叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数a和b的最大公因数记为(a, b)。几个数共有的倍数， 叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍 数，一般地，把自然数a和b的

29、最小公倍数记为a，b。两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：(a，b)x a，b=a b【例题 1】 有两根彩带， 分别长 45 厘米和 30 厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等的 短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？【点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段， 且无剩余， 每段长度必是 45 厘米和 30 厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是 45和 30的最大公因数。( 45,30 ) =15答：每段短彩带最长是 15 厘米。同步精练1、陆老师买了 36个本子、 24 支钢笔，分别平均将给五( 4)班三好学生，结果正好全局部 完，问五(

30、4)班最多共有多少名三好学生？2、把一 X长12厘米、宽20厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形,裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？第二课时例 2 有一批地砖， 每块长 45厘米，宽 30 厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正 方形地？【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地， 可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数； 又因为要用尽可能少的地砖铺地， 可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽 可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。45,30=90(90- 45)X( 90 - 30) =2X 3=6(块)答：至少要 6 块才能铺成正方形地。同步精练1、

31、有一批强化地板，长 150 厘米，宽 20 厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方形 地？2、一路和二路公交车早上 6 点同时从汽车站发车，一路车每 7 分钟发一辆车，二路车每 8 分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有72 个齿，乙齿轮有 28 个齿，其中某一对齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？第三课时例 3 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 300，其中一个数是 75， 求另一个数是多少？【点拨与解】 根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数 的乘积，可以直接求出另一个数来。300 X 15- 75=60同步精练1 、两个数的最大公因数是 21 ，最小公倍数是 126，其中一个数是 42， 求另一个数是多少？2、两个自然数的积是 3072，最大公因数是