忻州师院附属中学王志宏

1、2022年3月7日星期一忻州师院附属中学忻州师院附属中学 王志宏王志宏 可导函数的单调性与其导数的关系：可导函数的单调性与其导数的关系： 当函数当函数y=f(x)在某个区间可导时，如果在某个区间可导时，如果f (x)0,则则f(x)为增函数；如果为增函数；如果f (x)0,则则f(x)为减函数为减函数 ； 但反过来，函数但反过来，函数f(x)在某个区间为增（减）函数，在某个区间为增（减）函数，f（x)在此区间的某个点处的导数可能为在此区间的某个点处的导数可能为0，如，如f(x)=x3,所以在求所以在求f(x)的单调区间时，我们一般是的单调区间时，我们一般是解不等式解不等式f (x)0(或或f

2、(x) 0）可导函数在某点取得极值的可导函数在某点取得极值的必要必要条件是：条件是：在此点处的导数为在此点处的导数为0. 高考预测高考预测 ：由于导数应用的广泛性，并为函数性：由于导数应用的广泛性，并为函数性质的研究提供了一般的方法，因此，使其在考察质的研究提供了一般的方法，因此，使其在考察中的位置更为重要，这部分命题多与函数、解析中的位置更为重要，这部分命题多与函数、解析几何、不等式有关，要注意知识的全面性和综合几何、不等式有关，要注意知识的全面性和综合应用，考题将在求函数的导数，用导数几何意义应用，考题将在求函数的导数，用导数几何意义求曲线的切线的斜率和方程，用导数判断或证明求曲线的切线的

3、斜率和方程，用导数判断或证明单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面拟题际问题等方面拟题题型求切线方程求切线方程方程的根方程的根函数的单调性函数的单调性求函数的最值求函数的最值解不等式解不等式例例1（04浙江）设浙江）设f(x)是是f(x)的导函数，的导函数，y= f(x)的图象如图所示，则的图象如图所示，则y=f(x)的图的图象最有可能的是象最有可能的是 （ ）xyO12y=f(x)xyO12DxyO12CxyO12AxyO12B例例2 函数函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中，其中a，b，c为实数，当为实数，当a2-3b0时时,

4、 f(x) 是是 （ ） A 增函数增函数 B 减函数减函数 C 常数常数 D 既不是增函数也不是减函数既不是增函数也不是减函数例例3（04湖南）如图，已知曲线湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x 0），与曲线），与曲线C2： y=-2x3 +3x（x 0），交于点），交于点O、A， 直线直线x=t(0t1)与曲线与曲线C1 、C2 分别相分别相 交于点交于点B、D. （1）写出四边形）写出四边形ABOD的面积的面积S与与t的的 函数关系函数关系S=f(t); （2）讨论）讨论f(t) 的单调性，并求的单调性，并求f(t)的最大值的最大值. xyOB A D C2C1t) 1t0(),t(t

5、23) t (f3）减函数，增函数，（133)33(0,33)33(f例例4 (全国卷全国卷) 若函数若函数 在区间在区间 （1，4）内为减函数，在区间（）内为减函数，在区间（6，+）为增函数，试求）为增函数，试求 实数实数a的取值范围的取值范围. 解：解：1x) 1a (ax21x31)x(f23.75a. 7a5. 61a40.(x)f)6(x, 0)x( f ,)41 (x.1a) 1a(1,1 ,(- f(x)2a11-a.(1, f(x)2a11-a1.-ax1x0.(x)f1aaxx)x( ff(x)2，的取值范围是所以解得所以时为，当时，依题意应有当）为增函数，内为减函数，在（在

6、）为增函数，在时，函数即当）为增函数，不合题意在时，函数即当或解得令的导数函数例例5（全国卷（全国卷）已知函数）已知函数 在在R上是减函上是减函 数，求数，求a的取值范围的取值范围.1323xxaxf(x)解：求函数解：求函数f(x)的导数：的导数：f(x)=3ax2+6x-1. (1) 当当f(x)0(xR)时，时，f(x)是减函数是减函数. 3ax2+6x-10 (xR) a0,且且=36+12a0 a-3 所以，当所以，当a-3时，由时，由f(x)-3时，在时，在R上存在一个区间，其上有上存在一个区间，其上有f(x)0. 所以，当所以，当a-3时，时， f(x) (xR)是不是减函数是不

7、是减函数. 综上，所求综上，所求a的取值范围是（的取值范围是（-，-3.89)31x( 3133323xxxf(x)例例2 已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1, 有极大值和极小值有极大值和极小值, 则实数则实数a 的取值范围是的取值范围是 （ ） A -1a2 B -3a6 C a6 D a2例例1（04湖北）函数湖北）函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是有极值的充要条件是 （ ） A a0 B a 0 C a0, f(x)=ax2+bx+c, 曲线曲线y=f(x) 在点在点 处的切线处的切线 的倾斜角的取值范围为的倾斜角的取值范围为 ，则，则P到曲线到曲线y=

8、f(x)对称轴的距离对称轴的距离 取值范围为取值范围为 （ ） A B C D )x(f ,x(P004, 0a1, 02a1, 0|2ab| , 0|2a1-b| , 0例例2 设点设点P是曲线是曲线 上的任意一点，上的任意一点，P点处切线点处切线 倾斜角为倾斜角为 ，则角，则角 的取值范围是的取值范围是 （ ）32x3xy3),32)65,2(),65)2, 0),32)2, 0BDCA例例3 若曲线若曲线f(x)=x4-x在点在点P处的切线与直线处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点垂直，则点 P的坐标是的坐标是 （ ） A（1，0） B（1，2） C（-1，4） D（-1，0）例例4

9、（04湖北）已知湖北）已知b-1,c0，函数，函数f(x) =x+b的图象与函数的图象与函数g(x)= x2+bx+c的图象相切的图象相切. (1) 求求b与与c的关系式（用的关系式（用c表示表示b）；）； (2) 设函数设函数F(x) =f(x)g(x)在在 内有极值点，求内有极值点，求c的取的取值范围值范围.),(c21b), 347()347 , 0(例例5 (全国卷全国卷),(1,0)2xxy21处的切线在点为曲线已知直线l.x2) 1 (212212积轴所围成的三角形的面和求由直线）（的方程；求直线，且为该曲线的另一条切线、lll.lll.922x31y.32b,3112b2.-b-

10、1)x(2by),2bb, b(B2xxy3.-3xy. 12x y) 1 (221222221的方程为所以，则有因为的方程为则直线上的点过曲线设直线的方程为直线llllll解：解：(2).12125|25|32521S).0 ,322()(1,0 x).25,61(和.25y61x.922x31y33xy2121所以所求三角形的面积、轴交点的坐标分别为与、的交点坐标为所以直线得解方程组llll1.1.设三次方程设三次方程f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d=0 (a0) +cx+d=0 (a0) 有且有且只有一个实根的条件是：只有一个实根的条件是：f(x)f(x)是

11、单调函数或是单调函数或f(x)f(x)有极值，极值同号。（如示意图有极值，极值同号。（如示意图）0 x0 xyy0 x是拐点(非极值点)0处x(x)ff(x)单调递增.0,(x)f03acb即0(2)f(x)单调递增.0,(x)f03ac即b03ac44bc2bx3ax(x)f(1)0)(aR)(xdcxbxax设f(x):说明0222223一个实根.0有且仅有)有一种情况f(x)以上(1)(2)(30时,)f(x当f(x两个极点,即有,x,有两个根x0,(x)f方程03acb即0(3)212120(如示意图)f(x且f(x0,3acb异实根的条件是2.三次方程有三个相212yx0 x1x2例

12、例3（02北京春）已知函数北京春）已知函数 则则b的取值范围是的取值范围是_.f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，的图象如图所示，xyO12)0 ,(4个 实围32232例 已 知 方 程 xaxa x640和 x2ax4x0都 有 相 异 的 三根 ,求a的 范.3321222223a64f(a),a27564)3af(3aa或xxa)a)(x(3xa2ax3x(x)f4)2axx(xg(x)64xaaxx设f(x):解2 3333a5又 f()f(a)(64a )(64a )03275即 (a4)(a4)03125a或 a452 个 实23而 g(x)0只 要 4a160就

13、有三根 ,即 a2或 a2125a或 a4532x6x9x100A.0 B.1 C.2 D.3例题：(学海 四模)方程的实根的个数为个个个个32f(x)x6x9x 10 x解析：求方程根的个数，就是求函数图象与 轴的交点的个数，我们可以利用导数判断极值点的大小，从而判断根的个数2f (x)=3x12x9,f (x)0 x13f(1) f 314 10 0f(x)=0令或又( )=方程只有一个实数根们在解题中不断体会。在此不列举了，请同学。运用其的工具性来解决方程、不等式问题都可凡涉及到函数问题、导数在其它领域内,即可证出.0,单调递增后f(a)判断a时,当x因此,0,即证f(x)B.A构造f(

14、x)B,构造函数一般为证A判断单调性,证不等式时要构造函数:回顾解：（1）由f(x)=3x2+a,若a0时， f(x) 0恒成立，所以f(x)在x R，单调递增，不合题意。例、已知函数f(x)=x3+ax-4a3在（-|a|,|a|）上单调递减。 （1）确定a的取值范围；（2）求f(1)的取值范围。若a0, 故故f(x)在单调区间在单调区间(- ,-1)上是增函数上是增函数.当当x (- 1, 1)时时, f(x)0, 故故f(x)在单调区间在单调区间(1,+ )上是增函数上是增函数.所以，所以，f(x)在在x=-1处取得极大值，极大值为处取得极大值，极大值为f(-1)=2.(2) 解：由解：由(1)知，知， f(x)=x3-3x（x -1，1）是减函数，且）是减函数，且f(x)在在-1，1上的最大值上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在