三、向量的混合积

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s目录 上页 下页 返回 结束 记作故abj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa

2、) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba,0 时当a上的投影为在 ab,0,时当同理bbacosba目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证: 如图 . 则

3、cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2

4、(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解解:单位时间内流过的体积:APAA的夹角为且vvncosvcosvnv nn为单位向量Av目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPs

5、inOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )

6、()( ba)(baba) 1 (证明证明:sinabba目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabai

7、babayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见上册附录I: P355P358 ) 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . Ml解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上

8、任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaay

9、xyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12y

10、y 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解: A、B、 C、M 四点共面0ABCM1x2y0z111302展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaa

11、azzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1bab

12、a,2jibkjia,baba及BabcAC目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC目录 上页 下页 返回 结束 P23 2, 3 , 4 , 8, 9 , 10 , 12第三节 作业作业(3-6)目录 上页 下页 返回 结束 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返

13、回 结束 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)1(22211211aaaa)2(12221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶

14、阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 附录：二阶与三阶行列式附录：二阶与三阶行列式目录 上页 下页 返回 结束 12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算11a目录 上页 下页 返回 结束 三阶行列式三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211a

15、aaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .目录 上页 下页 返回 结束 三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 目

16、录 上页 下页 返回 结束 ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 余子式与代数余子式余子式与代数余子式目录 上页 下页 返回 结束 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做

17、元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 行列式按行（列）展开法则

18、行列式按行（列）展开法则44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如目录 上页 下页 返回 结束 行列式的性质行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211目录 上页 下页 返回 结束 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具