数据结构算法时间复杂度的计算

1、时间复杂度的定义一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数， 则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=0(f(n)，称O(f(n)为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号)，简称时间复杂度。根据定义，可以归纳出基本的计算步骤1计算出基本操作的执行次数 T(n)基本操作即算法中的每条语句(以；号作为分割)，语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。2计算出T(n)的数量级求T(n)的数量级，只要将 T(n)进行如下一些操作

2、: 忽略常量、低次幕和最咼次幕的系数令f(n)=T(n)的数量级。3.用大0来表示时间复杂度当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n)的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n)。一个示例：(1) int nu ml, nu m2;(2) for(i nt i=0; i< n; i+)(3) numl += 1;(4) for(i nt j=1; j<=n; j*=2)(5) num2 += nu m1;分析：1.语句int num1, num2;的频度为1;语句i=0;的频度为1;语句 i<n; i+; num1+=1;

3、j=1;的频度为 n;语句 j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为 n*log2n ;T(n) = 2 + 4n + 3n *log2 n 2.忽略掉T(n)中的常量、低次幕和最高次幕的系数f(n) = n*log2n lim(T( n)/f(n) = (2+4 n+3 n*log2 n) / (n*log2 n)3.=2*(1/n)*(1/log2 n) + 4*(1/log2 n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0, 1/log2n趋向于0 所以极限等于3。T(n) = O(n *log2 n)简化的计算步骤再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多

4、的语句，这里是num2 += numl ,般也是最内循环的语句。并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉?于是，以上步骤可以简化为：1.找到执行次数最多的语句2计算语句执行次数的数量级3.用大O来表示结果继续以上述算法为例，进行分析:1.执行次数最多的语句为 n um2 += numl2.T(n) = n*log2n f(n) = n*log2n 3./ lim(T( n)/f(n) = 1T(n) = O(n *log2 n)一些补充说明最坏时间复杂度算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保

5、证了算法的运行时间不会比任何更长。求数量级即求对数值(log)，默认底数为10,简单来说就是 一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3)，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接 近的数量级，即最大可能的数量级。求极限的技巧要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0一些规则(引自：时间复杂度计算)1)加法规则T(n,m) = T1( n) + T2( n) = O (max ( f(n), g(m)2)乘法规则T( n,m) = T1( n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)3)一个特例(问题规模为常量的时间复杂度

6、)在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) = 0(c), c是一个与n无关的任意常数，T2(n)=0 ( f(n)则有T(n) = T1( n) * T2( n) = 0 ( c*f(n) ) = 0( f(n)也就是说，在大 O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为0(1)。4) 一个经验规则复杂度与时间效率的关系：c < log2 n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n!(c 是一个常量)较好一般较差其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c、 log2n、n、 n*log2n,那么这个算法

7、时间效率比较高，如果是2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中 间的几个则差强人意。复杂情况的分析以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。1并列循环的复杂度分析 将各个嵌套循环的时间复杂度相加。例如：for (i=1; i<=n; i+)x+;for (i=1; i<=n; i+)for (j=1; j<=n; j+)x+;解：第一个for循环T(n) = nf(n) = n时间复杂度为O (n)第二个for循环T(n) = n2f(n) = n2时间复杂度为O (n2)整个算法的时间复杂度为O (n

8、+n2) = O (n2)2函数调用的复杂度分析例如：public void prin tsum(i nt coun t)int sum = 1;for(i nt i= 0; i<n; i+)sum += i;System.out.pri nt(sum);分析：记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其 余的可运行语句的复杂度都是0(1)。所以printsum的时间复杂度 =for的O(n)+O(1)=忽略常量 =O(n)*这里其实可以运用公式num = n*(n +1)/2，对算法进行优化，改为：public void prin tsum(i nt

9、 coun t)int sum = 1;sum = count * (co un t+1)/2;System.out.pri nt(sum);这样算法的时间复杂度将由原来的0(n)降为0(1)，大大地提高了算法的性能。3.混合情况(多个方法调用与循环)的复杂度分析例如：public void suixia ngMethod(i nt n)prin tsum( n);/1.1for(i nt i= 0; i<n; i+)prin tsum( n); /1.2for(i nt i= 0; i<n; i+)for(i nt k=0; kSystem.out.pri nt(i,k); /1

10、.3suixiangMethod方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。也就是 1.1+1.2+1.3 = 0(1)+0(n)+0(n2)->忽略常数 和 非主要项 =0(n2)更多的例子0(1)交换i和j的内容temp=i;i=j；j=temp;以上三条单个语句的频度为 1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作 T(n)=0(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句， 其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是0(1)。0(n 2)/*执行次数1 */*执行次数n2 */sum=0;f

11、or(i=1;i<=n ;i+)for(j=1;j<=n ;j+)sum+ ；解：T(n) = 1 + n2 = 0(n2)for (i=1;i< n;i+)y=y+1;for (j=0;j<=(2* n);j+) x+;解： 语句1的频度是n-1语句 2 的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1T(n) = 2n2-n-1+( n-1) = 2n 2-2f(n) = n2lim(T( n)/f(n) = 2 + 2*(1/n2) = 2T( n) = 0(n 2).0(n)a=0;b=1;for (i=1;i<=n ;i+)s=a+b;b=a;a=s

12、;解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n,语句4的频度：n,语句5的频度：n,T(n) = 2+4nf(n) = nlim(T( n)/f(n) = 2*(1/n) + 4 = 4T( n) = 0(n).O(log2 n)i=1;while (i<=n)i=i*2;解：语句1的频度是1,设语句2的频度是t,贝U: nt<=n; t<=log2n考虑最坏情况，取最大值t=log2 n,T(n) = 1 + log2 nf(n) = log2 nlim(T( n)/f(n) = 1/log2n + 1 = 1T(n) = O(log2 n)O(n3)for(i=0;i <n ;i+)for(j=0;j<i;j+)for(k=0;k<j;k+)x=x+2;解：