震荡的瑕积分的数值算法WangTianyi

1、武汉大学数学与统计学院数值分析实验报告实验名称对于震荡的瑕积分的数值算法的讨论实验时间2006年 12 27 日姓名王天怡 班级数类一班学号200531000227成绩一、实验目的，内容 二、相关背景知识介绍 三、代码四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会一、实验目的，内容通过对一个具体的震荡的函数在瑕点的积分（），讨论对于震荡的瑕积分的数值算法。二、相关背景知识介绍在瑕积分中，如果自变量在趋向瑕点时原函数值趋向于某个正常极限，在求积分时可以用补点的方法构造一个按段光滑的函数（可积），再对构造出的按段光滑的函数积分即可。如果自变量在趋向瑕点时原函数值趋向于某个反

2、常极限，在求积分时可以用局部的方法构造改变积分区间使之变成一个正常的数值积分（对上一种情况也可以使用类似的处理手法）。但对于当自变量在趋向瑕点时原函数值震荡的瑕积分，则只对积分进行一些变化。其中比较有效的是：级数法，换元法和复积分。级数法：则：然后可以近似：换元法其余的部分和方法类似注：方法的收敛速度比方法快，但方法的原函数振幅为1可以进行误差分析。复积分参考文献：Cleve B.Moler ,Numerical Computing with MATLABF.Bornemann,D.Laurie,S.Wagon,and ,J.Waldogel,The SIAM 100-DigitChallen

3、ge三、代码（Matlab）级数法1.在积分的局部使用Simposon公式积分的代码：x1=2;x2=1;s=0;k=0;sq=0;while k<1000 psq=sq; sq=0; x1=x2; k=k+1; w=(k-1/2)*pi; x2=lambertw(w)/w; c=x2; h=(x1-x2)/1000; for i=1:1000 sq=sq+(fun(c)+4*fun(c+h)+fun(c+2*h)*h/6; c=c+2*h; end s=s+sq;endst=s-sq2/(sq-psq)2.在积分中fun的代码function y=fun(x);y=(cos(log(x

4、)/x)/x;end3.在积分的局部使用自适应积分的代码：x1=2;x2=1;s=0;k=0;sq=0;while k<500 psq=sq; sq=0; x1=x2; k=k+1; w=(k-1/2)*pi; x2=lambertw(w)/w; sq=quadl('fun1',x2,x1,1.e-12); s=s+sq;endst=s-sq2/(sq-psq)4.在积分中fun1的代码function y=fun1(x);y=(cos(log(x)./x)./x;end换元法主程序：x1=2;x2=0;s=0;k=0;sq=0;pst=0;while k<1000

5、0 psq=sq; sq=0; x1=x2; k=k+1; w=(k-1/2)*pi; x2=-lambertw(w); sq=quadl('fu',x2,x1,1.e-12); s=s+sq; if k=1 st=s; else st=s-sq2/(sq-psq); end pst=st; if (x1-x2)<1.e-11 k break; endendst 在积分中fu的代码： function y=fu(x)y=cos(x.*exp(-x);end复积分 function y=func(t)z=t+i.*t.*(1-t);y=real(z.(i./z-1).*(1

6、+i*(1-2*t);end在求值时使用命令：quad('func',0,1,1.e-14)四、数值结果级数法1. 在积分的局部使用Simposon公式积分方法的结果： st = 0.41280001534037 2. 在积分的局部使用自适应积分方法的结果： st =0.32336743114790换元法 st = 0.32336743167722复积分ans = 0.32336743167778五、计算结果的分析这个积分的10有效数字的精确值为：0.3233674316现取每个结果的前10位做精度比较：级数法1.在积分的局部使用Simposon公式积分方法的结果：=0.089

7、43258372.在积分的局部使用自适应积分方法： =0.0000000005换元法 =0复积分=0随着部分积分的精确的提高和积分长度的扩展，整体积分的精确度会逐步提高。六、计算中出现的问题，解决方法及体会问题：1. 在画原函数图时，画出的图象和理论上原函数应具有的性态矛盾。2. 在求分化零点时，所需解的方程是一个很病态的方程，无法用二分法或牛顿法求出。3. 在局部使用Simposon公式积分，误差难以保证。解决：1. 偏差是由于在画图的整个区间上有一段剧烈震荡的区域，在画图时只画局部的图像，挖去病态的区域。2. 使用Matlab中符号工具箱的函数：lambertw3. 使用Matlab中的函数：quadl体会：1. 在做实际问题时