几何证明选讲学案

1、几何证明选讲知识梳理C是直线AB1. 1几个根本定理1假设点D在直线AB上，点 外任意一点，贝U S.竺=AD.SBC AB假设AX/BC,那么S ABC二Sxbc 反之，假设Sabc = S XBC ,并且A、X在直线BC同侧， 那么 AX/BC .3平行截割定理两直线分别与3条平行 线顺次交于点 A、B、C和X、Y、Z,那么AB XYBC _YZ4共边定理假设直线PQ、AB交于M，那么 PM _ S擇ABQM S QAB共角定理假设 ABC与.XYZ相等或互补，贝y sbc _ abJbcs 必yz _ xyUyz射影定理设CD是Rr ABC斜边AB 上的高，那么有： cd? =adLBd

2、 ac? =adUab bc? =bd Ab .1. 2相似三角形1相似三角形的判定 判定定理a.两角对应相等的两个三角形相似.b 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似.c.三边对应成比例的两个三角形相似. 推论：平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角 三角形相似.2相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.1. 3圆的切线1切线特征定理直线l是L o的切线 的充要条件，是它经过o上一点d并且和理，勿做商业用途4球的切线长定理从球外一点作球的 假设干条切线，其切

3、线长相等；该点到求心的 连线和每条切线的夹角相等 资料个人收集整理， 勿做商业用途5球的切平面特征定理平面 p是球0 的切平面的充要条件，是它经过球0上一点 D并且和过点 D的球半径 0D垂直。资料个 人收集整理，勿做商业用途6 球的切线和切平面之间的关系 球的 切平面内的每一条过切点 A的直线，都是球 的切线；反过来，球的每一条过点 A的切线， 都在与球相切于点 A的切平面内资料个人收 集整理，勿做商业用途1 . 4圆周角定理1弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧 所对的圆心角的一半. 弦切角的度数，等于 所夹狐的度数的一半圆周角定理：圆周角的度数等于它所 对弧度数的一半.3圆周角定理的推论 同

4、弧或等弧上的圆周角相等；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 半圆或直径所对的圆周角是 90; 90的 圆周角所对的弦是直径.4 四边形内接于圆的充要条件是其对角 互补5四边形内接于圆的充要条件是其外角 都等于其内对角1 . 5圆幕定理1圆幕定理过定点的直线与定圆交于两 点。那么此定点到两点距离的乘积等于它到此 定圆的幕的绝对值2相交弦定理圆的两弦 AB CD相交于P,那么有 PA_PB 二 pcLpd 3切割线定理自圆外一点P作圆的切线 PC,又作圆的割线与圆交于 A、B,那么有 paLJpb pc2.割线定理从圆外一点P引圆的两条 割线，分别与圆交于 A、B和C、D.那么 PAPB

5、= pcLpd 过点D的半径0D垂直。2切线长定理从圆外一点作圆的两条 切线，其切线长相等；该点到圆心的连线， 平分这两条的夹角3球的切线特征定理直线 L是球0的 切线的充要条件，是它经过球 0上点D并 且和过点D的球半径0D垂直资料个人收集整、平行截割定理与相似三角形考向一 平行截割定理的应用【例1】在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 2, BC = 5,点E、F分别在AB、CDAE 3上，且EF/ AD, 假设eb= 4,贝U EF的长为.资料个人收集整理，勿做商业用途【训练 1】在厶 ABC 中，DE / BC, EF / CD，假设 BC = 3, DE = 2, DF =

6、1,那么AB的长为 .资料个人收集整理，勿做商业用途考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】，在 ABC中，AB = AC, BD丄AC,点D是垂足.求证：BC2= 2CD AC.【训练 2】如图，在 ABC 中，DE/ BC, DF / AC, AE : AC= 3 : 5, DE= 6,贝y bf=资料个人收集整理，勿做商业用途考向三 直角三角形射影定理的应用【例3】圆的直径 AB= 13, C为圆上一点，过C作CD丄AB于D(AD BD),假设CD = 6,贝U AD=资料个人收集整理，勿做商业用途【训练3】在厶ABC中，/ ACB= 90 CD丄AB于D, AD : BD = 2 :

7、 3.那么厶ACD与厶CBD的相似比为.资料个人收集整理，勿做商业用途二、圆周角定理与圆的切线考向一圆周角的计算与证明【例1】如图，AB为。O的直径，弦AC、BD交于点P,假设AB= 3, CD = 1,那么sin/ APB=资料个人收集整理，勿做商业用途【训练1】如图，点A, B, C是圆0上的点，且 AB= 4,/ ACB= 30那么圆0 的面积等于.资料个人收集整理，勿做商业用途考向二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形ABCD内接于。O, AD / BC,过B引。0的切线分别交DA、CA的延长线于 E、F.BC= 8, CD= 5, AF= 6,贝U EF的长为.资料个人收集整理，

8、勿做商业用途IfA【训练2】如图，圆上的弧 AC = BD，过C点的圆的切 线与BA的延长线交于E点，证明： 资料个人收集整理，勿做商业用途21/ACE=/BCD; 2BC = BEX CD.三、圆幕定理与圆内接四边形考向一相交弦定理的应用【例1】如图，半径为2的。O中，/ AOB= 90 D为0B的中点，AD的延长线交。O于点E,那么线段DE的长为.资料个人收集整理，勿做商业用途2aP，PDp，/ OAP= 30 贝U CP =.资料个人收集整理，勿做商业用途【训练1】如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于 AB的中点考向二切割线定理的应用【例2】如下图，FA为。O的切线，A为

9、切点，PBC是过点 O的割线，PA= 10，PB= 5, / BAC的平分线与BC和。O分别 交于点 D和E，贝U AD AE=.资料个人收集整理，勿做商业用途【训练2】如图O与。O外切于P,两圆公切线AC，分别切。O、OO 于A、C两点，AB是。O的直径，BE是。O的切线，E为切点，连AP、PC、BC.资料个人收集整理，勿做商业用途求证：APBC= BE AC.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】四边形PQRS是圆内接四边形，/ PSR= 90过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点 H、K.资料个人收集整理，勿做商业用途1求证：Q、H、K、P四点共圆； 求证：QT= TS【训练3】如下图，A

10、B是。O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是。O 的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E,交AD的 延长线于点F，过G作。O的切线，切点为 H.资料个人收集整理，勿做商 业用途求证：1C, D，F，E 四点共圆；2GH2 = CE GF.咼考题练习1. 2022广东，15几何证明选讲选做题 PA是圆O的切线，切点为 A , PA=2 , AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B, PB=1，那么圆O的半径R=。资料个人收集整理，勿做商 业用途2. 2007广东，15几何证明选 讲选做题如下图，圆 O的直径AB=6 , C为圆周上一点，BC=3。过C作圆的切线I，过A作I的垂线AD ,

11、 AD分别与直线I、圆交于点D、E,那么/ DAC=，线段 AE的长为。资料个人收集整理，勿做商业用途3. 2022年高考天津卷理科 14如图，四边形 ABCD是圆O的内接四边形，延长 AB和DCPR IpC1rc相交于点p。假设，贝y 的值为。资料个人收集整理，勿做商业用途PA 2PD 3AD4. 2022年高考湖南卷理科 10如下图，过|_ O外一点P作一条直线与L O交于A , R两点，PA = 2,点P到L O的切线长PT = 4，那么弦AR的长为.资料个人收集整理，勿做商业用途5. 2022年高考陕西卷理科 15几何证明选做题Rt ARC的两 条直角边AC,RC的长分别为3cm,4c

12、m,以AC为直径的圆与 AR交于RD点D ,贝U =.资料个人收集整理，勿做商业用途DA6. 2022年高考北京卷理科 12如图，O的弦ED, CR的延长线交于点 A。假设RD_ AE,AR= 4, RC = 2, AD = 3,贝U DE=; CE=。资料个人收集整理，勿做商业用途7、 2022湖北卷如下图，点 D在O O的弦AR上移动，AR = 4,连结OD，过点D作OD 的垂线交O O于点C，那么CD的最大值为 .资料个人收集整理，勿做商业用途8、2022北京卷/ ACR = 90 CD丄AR于点D，以RD为直径的圆与 RC交于点E，那么A . CE CR = AD DRR. CE CR

13、 = AD AR2C. AD AR = CD2D . CE ER = CD9、2022广东卷圆O的半径为1，A、R、C是圆周上的三点，满足/ ARC = 30过点A作圆O的切线与 OC的延长线交于点 P，贝U PA =.资料个人收集整理，勿做商业用途10、2022湖南卷如图，过点P的直线与O O相交于A，R两点.假设PA = 1，AR= 2，PO =3，那么O O的半径等于 .资料个人收集整理，勿做商业用途11、2022陕西卷如图，在圆O中，直径AR与弦CD垂直，垂足为E, EF丄DR，垂足为F，假设AR = 6， AE= 1，贝U DF DR =.资料个人收集整理，勿做商业用途12、 202

14、2天津卷如下图， AR和AC是圆的两条弦，过点 R作圆的切线与 AC的延 长线相交于点 D.过点C作RD的平行线与圆相交于点 E，与AR相交于点F，AF = 3，FR =31，EF = 2，那么线段 CD的长为.资料个人收集整理，勿做商业用途综合训练一、选择题1. 假设三角形三边上的高为 a、b、c，这三边长分别为 6、4、3，那么a:b:c=A. 1:禅 R. 6: 4:3 C. 2:3:4 pD. 3: 4:62. 在U ARC中，DE/RC , DE将口 ARC分成面积相等的两局部，那么DE : RC =A. 1:2R.1:3C. 1. 2d. 1:13. 圆内接三角形 ARC角平分线C

15、E延长后交外接圆于 F，假设FR=2,EF=1，那么CE A. 3 厂R. 2C. 4D. 14.在 ARC中， BAC =90；，D是RC边的中点，AE AD，AE交CB的延长线于E，那么下面结论 严正确的牛口A. LaED sJ ACRB. L AEB acdC.5.A.C.6.s DACCD _ AB垂足为D，那么以下说法中不正确的选项是BA.C.7._ BAE ACED. H AEC在RtABC中，.C为直角，CD2 二 ADLDB B. AC?二 ADAC|_BC =AD_BD D. BC 是ACD外接圆的切线矩形ABCD，R、P分别在边 CD、BC上，E、F分别为AP、 PR的中点

16、，当 P在BC上由B向C运动时，点 R在CD上固 定不变，设BP =x, EF y，那么以下结论中正确的选项是资料个人收集整理，勿做商业用途 y是x的增函数B. y是x的减函数y随x先增大后减小D.无论x怎样变化，一圆锥侧面展开图为半圆，平面:-与圆锥的轴成 面与该圆锥侧面相交的交线为y是常数45角，那么平PA.sin ： B.cos :-C.tan ： D.1=cot :-tan :、填空题9.平面:-/ r /，直线h与: -,-,依次交于A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆8.如图，AB是半圆0的直径，弦 AD、BC相交于点P，. BPD = :，那么CD二 AB _CA B C，直线12

17、与a，为Y依次交于D、E、F，那么AB: BCDE : EF 填=,10. 如图，EF是L 0的直径，MN是L 0的弦，EF =10cm, MN =8cm，那么E、F两点到直线MN的距离之和等于 第10题图第11题图11. 如图，L。1过L O的圆心o，与L O交于A b两点，c在L O上, cb延长线交L于点D，CO延长线交。1于E，NEDC =108，那么/C= 12.相交两圆L。1与L。2的公共弦长AB=3，延长AB到P作PC切L。1于c，PD切。2 于 D，假设 PC = 2，贝U PD =13. 如图，AB的延长线上任取一点 C，过C作圆的切线CD，切点为D， ACD的平分线交AD于

18、E,贝U NCED =资料个人收集整理，勿做商业用途第13题图第14题图14. 如图，AB是L O的直径，D是L O上一点，E为BD的中点，L O的弦AD与BE的延长线相交于 C，假设AB =18, BC =12,那么AD =BD、AC与EF分别交于M、N，贝U MN =_16.如图，AD、CE分别是ABC的两条高，那么1 A E、D、C四点 是否共圆 |_BDE_BAC s,也，为什么？17、AC =10, sinB5那么 DE =如图，PC是L O的切线，C为切点,PAB为割线,15.梯形ABCD中，底AD =2, BC=6, EF为中位线，对角线PC =4, PB =8, NB =30，贝U BC =假设 AB =1, AD f 2,第 17题图第18题图18、如图ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于DA RPNADB =30，那么=.S ACDO的弦PN切L A19、如图，PQ为半圆O的直径，A为以OQ为直径的半圆 A的圆心, 于点N , PN =8,那么L A的半径为 第19题图第20题图20、如图 L ABC 中，D 是 AB 的一