斐波那契数列-维基百科,自由的百科全书

1、斐波那契數列维慕百科.自由的百科个书httpy/zhA/wiki/ 波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科个书条口讨论人陆简体汉m创建新账户3住录阅读编糾住石切史斐波那契數列m 维基百科，自由的百科全韦首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目播助帮助社区专页方针与指引互助客栈询何处字词转换IRC即时聊天联系我们关于维基百科资助维基百科工具箱链入页面相关更改上传文件转殊页面打印版本永久链接页面借息数据项引用本页其他语言oAzarbaycancaBbJirapcKw费波那I儿I数列(意大利in: Successione di

2、Fibonacci) , 乂译费 波拿契数、叟波那契数列、费氏数列、黄金分割效列。在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义： 7)= 0斤=1 Fn = F»i + Fn_2用文字來说，就是费波那西数列山o和1开始，之后的费波那西 系数就曲之前的两数相加。首儿个费波那西系数是(OEIS A000045 ):K方形0, 1, 1,2, 3,5, 8, 13,21,34, 55,89, 144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765, 10946特別指出：0不是第一项，而是第零项。Bosa nski Catala Cesky Dansk Deutsch

3、EAAqviKd English Esperanto Espanol Eesti Euskara A川 Suomi FrariQais GaeilgeGaelg nniy目录隐藏1源起2表达式2.1初等代数解法2丄1首先构建等比数列2.1.2求出数列2.13求数列进而得到 2.2线性代数解法2.2.1构建一个矩阵方程2.2.2求矩阵的特征值：223辂征向业2.2.4分解首向量2.2.5用数学归纳法证明2.2.6化简矩阵方程2.2.7求A的表达式2.3近似值2.4用计算机求解3和黄金分割的关系4和自然的关系5恒等式6相关的数列6.1和卢代斯数列的关系6.2反费波那西数列63巴都万数列6 4循环数

4、列7应用8相关猜想9程序参考10参考文献11参见12外部链接httpy/zhA/wiki/ 波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科，自由的百科全书HrvatskiMagyar UJjbpbLBahasa Indonesia islen skaItaliano 口本語 QaraqalpaqshaKa3aiQua 社舌q Latina Lietuxuq LatvieSu MaKeOHCKM源起刪根据高徳纳(Donald Ervin Knuth)的计算机稗序设计为术(The Art Of ComputerProgramming) , 1150年

5、印度数学家GopHa和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为1和2的町行方法 数目时，凶先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多(又名费波那 西)，他描述兔子生长的数目时用上了这数列。第一个月初有一对刚诞生的兔子第二个月之后(第三个月初)它们町以生育每月毎对可生育的兔了会诞生下一对新兔了兔子永不死去假设在n月有可生育的兔子总共:>对，n+1月就总共有b对。在n+2月必定总共有j+b对：因为在n+2)1的 时候，前一月(n+1月)的b对兔子町以存留至第n+2月(在当月属于新诞生的兔子尚不能生育)。而MoHronBahasa Melayu Nederla nds Norsk n

6、ynorsk Norsk bokmal Polski Piemontdis Portugues Romana PyccKWW Sicilianu新生育出的兔子对数等于所有在n月就已存在的a对表达式编删为求得斐波那契数列的一般表达式，町以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。 初等代数解法编料已知 Q = 1 «2 = 1=Gn-1 + 4i_2Simple English Slovendma Slovenscina ShqipCpncxM srpski Svenska首先构建等比数列【编純设兀 + aan_! = (an_i + aa-2) 化简得= (0 Q)5_l 十

7、a0CLn_2比较系数可得：(0 - Q = 1luuTagalogTurkleYkpaiHCbKa O'zbckcha TijngViet West-VlamsWinaray/编辑链接筒=1不妨设0 >0,a >0解得:(庐_1J Q _ 2-所以有尙 + aan_i =+ aa_2)> wan + aa为等比数列。求出数列s+aai【编紺】由以上可得：如+1 + aa.n = 2 + QQjb"=0n变形得：也吐1 + 2.巴=丄。令bn =字0n+l 十 000护求数列仇进而得到仏【编辑际+1 +許=b设，解得。故数列为等比数列http:zh.wiki

8、pedia.or"wiki/斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书Q九+1 + 入=（ + 入） A =PQ + 0bn + 入=1.故有http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书构建一个矩阵方程编辑设为第n个月有生育能力的兔f数最，A.为这一月份的兔子数啟。0 11 1上式表达了两个月之间，兔

9、了数目之间的关系。而耍求的是，A”的表达式。求矩阵的持征值：入编啊行列式：-A*U-A)1*1-A2-A-1当行列式的值为0,解得入广1(1 + %)或入2丄(1 一 V5)2 2特征向量编辑将两个持征值代入(;)一入)"()求特征向虽云得http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书分解首向量编辑第一个月的情况是兔了一对，新生0对。http:

10、zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科全书http: zhA/wiki/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:20斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书将它分解为用特征向用数学归纳法证明编输httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科

11、命书httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书化简矩阵方程醐用httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书求A的表达式编粕现在在6的基础上，可以很快求出的表达式，将两个特征值代入6中1Ar1±1/z丄V/5兀+1_（;（1_虫）严1htt

12、py//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科.自由的百科命书近似值编幼百（1 + %）" Q 0.4472135955 1.618033988745"用计算机求解赭用可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序 数，求该项的值。可通过递归递推的算法解决此两个问题。事实上当n相当巨大的时候，O (n)的递推/递

13、归非常 慢这时候要用到矩阵加速这一技巧。和黄金分割的关系编输开普勒发现数列前、后两项之比1/2 ,2/3,3/5 ,5/8 ,8/13 ,13/21 ,21/34 ,.，也组成了一个数列,会趋 近黃金分割：q a = - (1 H- =卩 u 1,618.Jn/斐波那契数亦可以用连分数來表示：?=岸？=1+丄1 1 2 1+|Fn =而黄金分割数亦町以用无限连分数表示:和自然的关系编辑许多的生物构成都和斐波那契数列有正相关。例如人体从脚底至头顶之距离和从肚脐至脚底之距趟 近于上畏,向H葵的种了螺旋排列99%是凡。flTOO r(n-l)恒等式编相证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证

14、明。以表示成用多个1和多个2相加令其 和等于mat不失一般也 我们假设"1。凡+1是讣算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加 数是1,有凡种方法来完成对nl的计算；若第一个被加数是2,冇F (n-1)来完成对n2的计算。丙 此，共有几+凡“种方法来计算n的值。凡+尽 +尺十 A + +凡=耳+2 - 1计算用多个1和多个2相加令艮和等于n+1的方法的数目，同时最后一个加数是2的情卅如前所述，当n口0,有耳乜种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2,就即1 + 1 + . + 1(n+1项)，于是我们从几+2滅去1。1. 若第1个被加数是2,有个方法来计算加至"1的

15、方法的数目；2. 若第2个被加数是2、第1个被加数是1,宵个方法來计算加至n-2的方法的数目。3. 重复以上动作。4. 若第n4_l个被加数为2,它之前的被加数均为1,就有F (0)个方法来计算加至0的数目。 若该数式包含2为被加数，2的首次出现位氏必然在第1和n+1的被加数之间。2在不同位置的情况都考 虑到后，得出尸门+凡+尺为要求的数目。 -F1 + 2局 + 3/3 + - + 允几=允 £i+2 Fn+3 + 2 Fl + E + 尽 + . + F271-I = F2nE + 兄 +尺 + + 尺 Ji = 2n+l 1 + + 凡 2 = FnFn+l相关的数列型费波那两

16、数列是费波那两n步数列步数为2的特殊情况，也和卢卡斯数列有关。和卢卡斯数列的关系编料反费波那西数列编卅反费波那西数列的递归公式如下：Gn+2 = Gn Gn+1如果它以11,之后的数是：1-12-3,5,-8,. 即是用n+1 = 2+1, F2n = 一。反费波那两数列两项之间的比会趋近一丄=-0 618。9httpy//wBci/ 斐波那契数列2013/10/25 15:46:201斐波那契數列维慕百科，自由的百科全书巴都万数列m费波那西数列可以用一个接一个的正方形來表现，巴郁万数列则是用一个接一个的等边三角形來表 现，它启几=几一2+E-3的关系。循环数列

17、编辑Cn+2=Cn+1-Cn设首项为0,第项为X,则形成数列0XX,0,X<XAX»X»0,X,X。呈现六个为一组的 循环。应用编鞫1970年，尤里马季亚谢维奇指出了個角标的斐波那契函数y = F2x正是满足Julia Robison假设的丢番图函数，因而证明了希尔伯特第卜问题是不可解的。相关猜想编辑斐波那契数列中是否存在无穷多个索数？在斐波那契数列中，有素数:2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,28657, 514229, 433494437, 2971215073,99194853094755497, 1066340417491710595814

18、572169, 19134702400093278081449423917目前已知最大索数是第81839个斐波那契数，一共有17103位数。程序参考編料function fib(n)(var fib_n - function(curr, next z n)( if (n = 0) return curr; else return fib_n(nextz curr-next, n 1); return fib_n(Q, 1, n);alert(fib(40);参考文献编辑 KNUTH. D. E 1997. The Art of Computer ProgrammmgArt of Computer Programming Volume 1: Fundamental Algorithms. Third Edition AddisonWesley Chapter 1.2.8克里福德A皮科夫.数学之恋.湖南科技出版社.参见编删齐肯多夫定