刚体的定轴转动

1、第五章刚体的定轴转动教学根本要求1理解刚体模型及转动惯量的概念，会计算简单规那么匀质刚体对定轴的转动惯量。2掌握刚体定轴转动的转动定律，能熟练应用转动定律分析、计算简单情况下的刚体定 轴转动的问题。3. 理解刚体定轴转动的转动动能；掌握定轴转动的动能定理，会计算力矩的功及刚体定 轴转动的动能。4. 理解刚体角动量守恒定律及其适用条件，能用角动量守恒定律来分析处理有关问题。5. 了解对称性的概念及时-空对称性与力学中三大守恒定律的联系。教学内容提要1. 刚体定轴转动刚体绕定轴做匀速转动和匀变速转动时，用角量表示的运动学方程与质点作匀速直线运动与匀变速直线运动的运动学方程完全相似。刚体绕定轴转动的

2、匀变速转动的运动学方程可用描述圆周运动的变速转动的运动学方程来描述。与转轴垂直距离为r的质元的线速度和刚体的角速度之间的关系为vF：r 4-1其加速度与刚体角加速度和角速度之间的关系为a = ： r 4-22an =：订4-3I表示，单个质点的转2. 刚体定轴转动的转动定律1转动惯量：表征刚体转动惯性大小的物理量，通常用符号动惯量为I2I = mr对于质点系，转动惯量为I =L m2对于质量连续分布的刚体，上述求和以积分代替(4-4)Ir2dm以上各式中的r均为所考察的质点(或质元)至峙专轴的距离。对于给定的转轴而言，刚体的 转动惯量为一常数。转动惯量的大小与三个因素有关，即与质点系的总质量有

3、关；与质量的分布有关；与转动轴的位置有关。转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成假设干个简单局部，那么整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成局部对同一轴转动惯量之和。(2 )对轴的力矩：力矩是敢提转动状态发生变化的原因，即获得角加速度的原因。用M表示，对轴的力矩的定义式为M = r F(4-5)式中r是力的作用点到转轴的距离，力矩对轴的方向只能沿着转轴的方向。(3)转动定律刚体所获得的角加速度 1与作用在刚体上的和外力矩 M成正比，与刚体转动惯量成反比，这一规律叫做转动定律，它是刚体转动的根本定律。数学表到为M(4-6)I转动定律在刚体定轴转动中的地位与牛顿定律在质点力学

4、中的地位相当。在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；或者说，对于描述物理规律而言，所有惯性系都是等价的，没有绝对优越的惯性系。3. 刚体转动的功与能(1 )刚体的转动动能冈U体的定轴转动动能等于所有各质点的动能之和，即1 2 2 1 2 2 1 2Ek = ' (mi r )mi ri ) EkI (4-7)i 222(2) 力矩对定轴转动的刚体所做的功为8A=JdA=£Md 日(4-8)(3) 刚体的定轴转动的动能定理1 2 1V Md= =2I 匕 _2I 1 =Ek2 _Ek1(4-8)4. 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律(1) 刚体的角动量 是所有质点在各自的

5、转动平面内对圆心(即轴与转动平面的交点)的角动量之和：2L= 匚汇也mv=E Am, 3= I 3(4-9)即刚体对某轴的角动量等于该轴的转动惯量与角速度的乘积。角动量的大小与轴的位置有关。(2) 刚体的角动量定理：ttI M dt dL=L'Lo = I 3 I 30(4-10)t0"to即定轴转动的刚体所收到合外力矩的冲量矩等于刚体对该轴角动量的增量。(3) 刚体的角动量守恒定理：假设外力对某轴的力矩之和为零，那么该物体对同一轴的角动量守恒。即假设当 M =0,(4-11)5. 对称性和守恒律经过一定操作或变换后物理规律的形式保持不变，这种性质叫做物理规律的对称性。对称性

6、与守恒定律密切相关，每一种守恒定律都与一定的对称性相联系。时间对称性导致能量守恒；空间平移对称性导致动量守恒；空间转动对称性导致角动量守恒。重点和难点分析本章以角动量概念为线索， 讨论了刚体定轴转动中的假设干问题，最后简要介绍了力学中的对称性与守恒律之间的关系。本章的重点是刚体转动定律、功能关系、角动量及角动量等概念的掌握及相应问题的计算。刚体动力学从牛顿定律出发推出刚体绕定轴转动的转动定 律。转动定律是研究刚体动力学的根底，在这根底上又讨论了反映力矩对空间积累作用的转动动能定律和反映力矩对时间积累作用的角动量定理。由此又可推出机械能守恒定律和角动量守恒定律。这些规律是解决刚体定轴转动的动力学

7、问题的关键。角动量概念，角动量定理和角动量守恒定律是本章的难点。本章的难点在于对既有平动又有转动的综合问题的处理。1关于转动定律的应用在涉及滑轮的力学问题中，如果题中交代了滑轮质量不计，那么是质点力学问题，如果题中交代了滑轮的质量及半径，并说明绳与滑轮间无相对滑动，那么属于刚体力学问题，此时， 滑轮两边绳中的张力是不相等的。在涉及有关“矩的计算时，要特别注意(1)定轴转动定律是合外力矩对刚体的瞬时作用规律，公式中各量均需是同一时刻对同一刚体、同一转体而言，否那么是没有意义的。(2) 量的和。3在定轴转动中，由于合外力矩 Mz和角加速度1的方向均在转轴方位，通常用 代数量表示。2. 关于定轴转动

8、中动能及动能定理的理解冈U体可看成是由许许多多的质点所组成，所以刚体的转动动能即为各质点动能的总和。刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。这与质点的动能，在形式上是完全相似的。由于此时功时用力矩和角位移来表达的，因此又叫做力矩的功。学习时需要明白，力矩的功并不是新概念，本质上仍然是力作功，是力作的功的另一种表达形式，只是讨论刚体转动时，采用这种形式比拟方便。动能定理是在讨论外力所做的总功，刚体所受外力的总功等于所有外力矩做功之和。在推导时将质点系动能定理A外 州=Ek -Eko应用于刚体定轴转动， 就可得刚体定轴转动的动能定理。 值得注意的是作用于刚体的内力所做

9、功之和，由于刚体是不变质点系，其一对内力对转轴的力臂相等，而力的方向相反，故一对内力矩的功的代数和为零。3. 关于定轴转动中角动量定理及角动量守恒定律的理解角动量定理是表述刚体角动量与力矩之间关系的定理。当外力对某轴的力矩之和为零时，该物体对此轴的角动量守恒。要特别注意的是假设几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴转动。那么在刚体系M外z =0的情况下，有 7卜打=常数，这时角动量可在系统内部各刚体间传递，但保持刚体系对转轴的总角动量不变。此时总角动量为 L = 1I?一，守恒时只是总的角动量守恒， 各个刚体的角动量将在内力矩的作用下 进行再分配，如齿轮的啮合过程；假设系统是以相同角速

10、度绕同一轴转动的质点系非刚体角动量守恒，那么此时转动惯量是变量， 角速度将随着转动惯量的改变而改变，质点组转动角速度与转动惯量成反比。比方许多体育运动都用到此性质。4. 以角动量概念为线索，本章主要内容章复习方框图动力学规律的应用【例4-1】一飞轮因摩擦力矩的作用而减速，其角加速度的大小与角速度成正比即kk为一正常量。假设飞轮初始角速度为 o，求任意t时飞轮的角速度。d©一，即頁f，别离变量有匚 一 kdt©积分d t0 -0kdt有In 二kt, t时角速度为 -'0【例4-2】 装置如下图，均质圆柱体质量为半径为 J，重锤质量为"亠，最初静止，后将重锤

11、释放下落带动柱体旋转，求重锤下落.；高度时的速率。不计阻力，不计绳的质量及伸长。解 用两种方法求解。1 .禾U用质点和刚体转动的动能定理求解1 2，根对质点m2，重力作正功mtgh，绳的拉力T作负功Th，质点动能增量为m2v22据动能定理有m2gh _Th = * m2v2假设不计阻力，圆柱体仅受力矩 TR，并作正功TRr，二为下落h时圆柱体的角位移,1 2柱体转动惯量为 一mR2，转动动能增量为2JgR2 ,2,4根据刚体定轴转动的动能定理有TRvJgR2 24因悬线不可伸长代入上式得解出丄并代入1 式，便可求出2 .利用质点系动能定理求解mghv = 2Ym +2m2将转动柱体、下落物体视

12、作质点系。在作用于柱体的外力中,重力和轴的支持力不作功,只有绳的拉力作功。 作用于下落物体外力中， 绳的拉力作负功，重力作正功，因绳不可伸长 且不计绳的质量，作用于柱体和下落物体的拉力大小相等且所作功等值反号，故绳拉力作功 的和为零，仅需考虑重力对下落物体作的功。根据质点系动能定理，得因绳不可伸长，有 I 一介：，最后求得结果4 式。【例4-3】均质杆的质量为 m，长为丨，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动。求杆在铅直位置时，其下端点的线速度V。2求杆在铅垂位置时，杆对支点的作用力。解 以杆和地球为一物体系。在杆下摆过程中，只有作用于杆的内保守力一一重力作功, 系统机械能守恒

13、。选择杆在铅直位置时重心杆的中心位置为势能零点，得2式中见=丄丨；I = - ml22 3又由此可解得方向向左。习题图4-3G(2 )以杆为研究对象，根据质心运动定理2ac 二土 , N = macrcmac = 0，又题2-30图杆在铅直位置时不受力距作用，有转动定理可知角加速度为零，故由以上各式可得3 5N =心二 mg mg mg22【例4-4】一个质量为 M半径为R并以角速度转动着的飞轮(可看作匀质圆盘),在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图.假定碎片脱离飞 轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.(1)问它能升高多少？(2)求余下局部的角速度、角动量和转动动能.解(1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度v0 = R设碎片上升高度h时的速度为v ,那么有v2令v =0，可求出上升最大高度为H =応=1 R2.,22g 2g(2)圆盘的转动惯量1 2 1 2 2IMR，碎片抛出后圆盘的转动惯量IMR- mR ,碎2 2片脱离前