三、二重积分的换元法

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 2一、矩形区域上的二重积分的计算一、矩形区域上的二重积分的计算, dcbaD 设设,:RDf, bax 如对如对, ) ,( 上可积上可积在在函数函数dcxf 则则可可得得如如下下函函数数：., ,),()(baxdyyxfxIdc , )( 上可积上可积也在也在如果函数如果函数baxI则得积分则得积分. ),()( badcbadxdyyxfdxx

2、I.此积分称为累次积分此积分称为累次积分.),( badcdyyxfdx记为记为目录 上页 下页 返回 结束 3:类似理解类似理解. ),(),( dcbadcbadydxyxfdxyxfdy:问题问题 Ddyxf ),(,),( badcdyyxfdx.),( dcbadxyxfdy?目录 上页 下页 返回 结束 4, ),(上上可可积积在在矩矩形形区区域域设设dcbaDyxf , bax 且对且对, ),( 都存在都存在积分积分 dcdyyxf则累次则累次积分积分 badcdyyxfdx),(,也存在也存在且且 Ddyxf ),(.),( badcdyyxfdx( )( , )dcA xf

3、 x y dy定理定理2.12.1目录 上页 下页 返回 结束 5,:10bxxxanx ,:10dyyycmy , 1,1nixxIiii 令令., 1,1mjyyJjjj 的分割的分割形成了形成了因此子矩形因此子矩形DjiJI yx DfdA 令令, 0, 0 由定义，由定义，., ,),()(baxdyyxfxIdc 的分割的分割对对,dcba证明证明时，有时，有满足满足当分割当分割 11( ,). (1)nmijijijAfxyA 目录 上页 下页 返回 结束 6 则则现取现取,2,yx）中取）中取在（在（ 1 njjjiyJf1),(inf njjjiyJf1),(sup 上的上和与

4、下和上的上和与下和在在分别是分别是,),(dcfi AxInjiix 10)(lim Ddyxf ),(.),( badcdyyxfdx AxIAniii1)(1inf(,)(, )ndijjicjfJyfy dy njjjiyJf1),(sup 目录 上页 下页 返回 结束 7, ),(上可积上可积在矩形区域在矩形区域设设dcbaDyxf , dcy 且对且对, ),( 都存在都存在积分积分 badxyxf则累次则累次且且 Ddyxf ),(积分积分,也存在也存在 dcbadxyxfdy),(.),( dcbadxyxfdy1.类似于定理类似于定理定理定理2.22.2证明证明目录 上页 下页

5、 返回 结束 8, ),(上上连连续续在在矩矩形形区区域域设设dcbaDyxf Ddyxf ),(.),( dcbadxyxfdy则有则有 badcdyyxfdx),(:分条件分条件累次积分交换顺序的充累次积分交换顺序的充, ),(上可积上可积在在 Dyxf, bax 对对, ),( 都存在都存在积分积分 dcdyyxf, dcy 对对. ),( 都存在都存在积分积分 badxyxf推论推论2.12.1目录 上页 下页 返回 结束 9设设yxyxf 1),(. 1 , 01 , 0 D其中其中,),( Ddyxf 计算计算( , )2.1f x y因为满足推论 1010),(),( dyyxf

6、dxdyxfD x0 xy111xy所以所以的条件的条件 ,例例1 1解解 1010)1(),(dyyxdyyxf 1010)1(ydydyxxx 2121)1(而而所以所以. 0)21(),( 10 dxxdyxfD 目录 上页 下页 返回 结束 10二、一般区域上的二重积分的计算二、一般区域上的二重积分的计算X型区域),()(| ),(21bxaxyyxyyxD baxy)(1xyy )(2xyy 特点特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y轴的直线与区域轴的直线与区域 边界相交不多于两边界相交不多于两 个交点个交点.目录 上页 下页 返回 结束 11Y型区域),()(| ),(21dy

7、cyxxyxyxD 特点特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 轴的直线与区域轴的直线与区域 边界相交不多于两边界相交不多于两 个交点个交点.xxycd目录 上页 下页 返回 结束 123D2D1D一般区域一般区域X型区域或或分解成有限个无公共内点的.Y型区域计算问题归结到计算问题归结到一般区域上的二重积分一般区域上的二重积分因此因此X型区域或或Y型区域.上的二重积分计算问题上的二重积分计算问题目录 上页 下页 返回 结束 13( , ) ,f x yXD设在 型区域上连续)( 1xy其中其中,)( 2上连续上连续在在baxy则则 Ddyxf ),( baxyxydyyxfdx)()(21),

8、(:分析分析baxy)(1xyy )(2xyy cd .),( , 0 ,),(),(),(DyxDyxyxfyxF定理定理2.32.3目录 上页 下页 返回 结束 14, )( 1xy由于由于,)( 2上连续上连续在在baxy故总存在故总存在,Ddcba 矩形区域矩形区域,dcba 作定义在作定义在上的辅助函数上的辅助函数 .),( , 0 ,),(),(),(DyxDyxyxfyxF,),(上可积上可积在在可以验证可以验证dcbayxF 而且而且 Ddyxf ),( ,),(dcbadyxF badcdyyxFdx),( baxyxydyyxFdx)()(21),(.),()()(21 b

9、axyxydyyxfdx证证目录 上页 下页 返回 结束 15( , ) ,f x yYD若在 型区域上连续则则 Ddyxf ),( dcyxyxdxyxfdy)()(21),(类似可证类似可证)( 1yx,)( 2上连续上连续在在dcyx: 意意注注积分限的问题积分限的问题 :务必保证务必保证同一定积分同一定积分 先定后积先定后积累次积分累次积分 上限上限下限下限 目录 上页 下页 返回 结束 16解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx

10、例例2 2 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域.7215250211175410 xxxx目录 上页 下页 返回 结束 172xy 2yx Ddxdyyx)(2.14033 yydxyxdy2)(210dyyyyy)3131(61032323 10742114115825 yyy目录 上页 下页 返回 结束 18 dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 22,y

11、Dx ed计算1, 0 yxD是由是由其中其中. 围成的区域围成的区域及及xy 例例3 3目录 上页 下页 返回 结束 192例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y - 型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 20解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序. 121)(dxeex

12、x.2183ee 2xy xy 例例5 计算积分计算积分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. xxxydyedxI2211目录 上页 下页 返回 结束 xyO设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422D

13、yxyx0D对称性对称性目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 222222 .xyRxzR 求求两两圆圆柱柱面面与与所所围围立立体体的的体体积积例例7 7解解: 利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRy

14、xxRRd)(80223316R22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 ,),(22项项中含有中含有当当yxyxf 的的边边界界或或者者D,22项项时时表表达达式式中中有有yx 变变换换将将积积分分化化为为,极极坐坐标标下下的的二二重重积积分分 ,sin,cos: ryrxT,20 ,0 r.的的累累次次积积分分去去求求解解和和关关于于 r通常利用极坐标通常利用极坐标然后化为然后化为目录 上页 下页 返回 结束 Oxkkkrrkkkkkkrrsin,c

15、os对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为kkrkrkrkO目录 上页 下页 返回 结束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目录 上页 下页 返回 结束 .)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd xDo)(1 rr )(2 rr 如何化为累次积分如何化为累次积分?. :可表示成可

16、表示成 )(ixoD)(2 rr )(1 rr . ,的边界至多交于两点的边界至多交于两点常数与常数与DDo :特点特点 Ddxdyyxf),(),()( 21 rrr 目录 上页 下页 返回 结束 xoD)( rr .)sin,cos()(0 rrdrrrfd. , )(0 rr )(ii的边界上的边界上在在原点原点 Do Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特点特点目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 (问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO目录 上页 下页 返回 结束

17、 .)sin,cos()(020 rrdrrrfd),(0 rr Dox)( rr .2 0 )(iii的内点的内点为为原点原点 Do Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特点特点此时若 f 1 则可求得D 的面积2201( )d2rDd目录 上页 下页 返回 结束 .)sin,cos()()(2121 rrrrdrrfrdr .21rrr ),()(21rr )(iv.的的边边界界至至多多交交于于两两点点常常数数与与Dr Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特点特点Dox1r2r)(1r )(2r 目录 上页 下页 返回 结束 xyO3261sin4 ryxyxDdd)(

18、22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例8. 计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 r2436dD目录 上页 下页 返回 结束 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 计算,dde22Dyx

19、yx其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2de02xx解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye22xySedxdy222.xyDedxdy1D2DSS1D2DRR2设设在在第第一一象象限限内内 ,目录 上页 下页

20、 返回 结束 又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 10由例当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .);1(4)()1(4222220RRxRedxee 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d

21、4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目录 上页 下页 返回 结束 cosar xaO例例12. 交换积分顺序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分换元法三、二重积分换元法 baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶偏导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),

22、(),(vuyxvuJ(3) 变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,vuvuJdd),(OvuDTyxDO目录 上页 下页 返回 结束 yxDOuOvD证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆(见P90). 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vOu 直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(, ),(21vhuMvuMuhu 1M4M3M2Mvkv通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为1M4M3M2M).,(, ),(43kvuMkvhuM111222(,), (,),Mx y

23、Mxy333444(,), (,).MxyMxy目录 上页 下页 返回 结束 22.hk这里同理当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为1214M MM M122121M Mxx iyyj ,x uh vx u viy uh vy u vj ,uux h iy h jo144141M Mxx iyyj ,x u vkx u viy u vky u vj ,vvx k iy k jo目录 上页 下页 返回 结束 vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),

24、(1214M MM M00uuvvijkx hy hx ky kuvuvxxhkyy( , )J u vhk进而uuvvx hy hx ky k vuvuyxvuyvuxffkkkkkkk ),(),(),(),(),( 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, 直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos( , )D( , )x yJu v若在区域内个别点上或在一条曲线上为零,而在其他点上不为零,则换元公式仍成立.注记：目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 计算其中D 是 x 轴

25、y 轴和直线2 yx所围成的闭域. 解解: 令,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxDxyxyddevuvuDdde2120d21vvvd)ee(211201ee2121212121vvvuudexyxye,ddyx)(DD D2 yxDxyOD2vvu vuuvO目录 上页 下页 返回 结束 uvOybx 2yax 2DOyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例13. 计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令Dpqab则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddb

26、aqpvudd31vuJDdd)(31abpq目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D 的原象为:01 , 02Dr),(),(ryxJcossinsincosrbbraa2DVcrrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.0.JDr由于 在内仅当时为零，故换元公式仍成立目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()

27、(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddrr在变换下D)(1r)(2rOx目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式目录 上页 下页 返回 结束 yx1xy 1O思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yy