第2章 2.3　平均值不等式(选学)

1、.2.3平均值不等式选学1.理解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，理解定理的推证过程.3.可以灵敏应用定理证明求解一些简单问题.根底·初探教材整理平均值不等式1.平均值不等式设a1，a2，an为n个正数，那么，等号成立a1a2an.推论1设a1，a2，an为n个正数，且a1a2an1，那么a1a2ann，且等号成立a1a2an1.当n3时，这个结论的几何解释是：假如一个长方体的体积为1，那么当它是正方体时，其棱长之和最小.推论2设C为常数，且a1，a2，an为n个正数，那么当a1a2annC时，a1a2anCn，且等号成立a1a2an.当n3时，这个定理的

2、一个几何解释是：所有棱长之和一样的长方体中，正方体有最大的体积.2.任意给定n个正数，先求它们倒数的平均，然后再作这个平均值的倒数，称其为a1，a2，an的调和平均.定理2设a1，a2，an为n个正数，那么，等号成立a1a2an.3.定理3设a1，a2，an为正数，那么，等号成立a1a2an.推论3设a1，a2，an为n个正数，那么a1a2an·n2.1.设x，y，z为正数，且xyz6，那么lg xlg ylg z的取值范围是 【导学号：38000040】A.，lg 6B.，3lg 2C.lg 6，D.3lg 2，【解析】x，y，z为正数，xyz323.lg xlg ylg zlg

3、xyzlg 233lg 2，当且仅当xyz2时，等号成立.【答案】B2.假设a，b，c，d为正数，那么的最小值为_.【解析】由平均值不等式可得，4 4，当且仅当abcd时，等号成立.【答案】4质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用平均值不等式求最值求函数yx217的最大值.【精彩点拨】根据函数的构造，采用平均值不等式求其最值.【自主解答】根据平均值不等式79x23 3，即y2623×.当且仅当79x2，即x2时等号成立.这时ymax.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数构造的

4、配凑，二要注意等号成立的条件.再练一题1.x，y，z且xyz3，求y的最大值.【解】.xyz3，3，3.故ymax3.利用平均值不等式证明不等式假设x>0，求证：>. 【导学号：38000041】【精彩点拨】由于不等式右边为 ，故将左边拆项，利用不等式证明.【自主解答】1>9.即原不等式成立.在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进展分拆、配凑；假设两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立.再练一题2.设a，b，c为正数，求证：abc.【证明】abbcca3，3 ，abbcca3×3 ，即2abc9，abc.探究共研型平

5、均值不等式的类型与应用条件探究试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系.【提示】在课本中已讲过n个正数a1，a2，an的算术平均和几何平均分别是An和Gn.此外，还有调和平均在光学及电路分析中用到Hn.平方平均在统计学及误差分析中用到Qn.这四个平均值有以下关系：HnGnAnQn.其中等号成立的充要条件都是a1a2an.设x1，x2，x3为正数，证明：333.【精彩点拨】不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进展变形.【自主解答】··1，··1，··1，1··

6、.上述不等式中，当且仅当x1x2x3时取“号.得13·33·3，.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如可变为··1.再练一题3.a，b，c为正整数，且bc>a，ca>b，ab>c.求证：··1.【证明】····1.即原不等式成立.构建·体系1.设a1，a2，an为正数，P，Q，那么P，Q间的大小关系为A.P>QB.PQC.P<QD.PQ【解析】a1a2an2n2，即PQ.【答案】B2.正数a，b，c满足abc3，那么的最大值为A.9B.3 C.16D.4【解析】9.当且仅当abc1时取等号.【答案】A3.当x>0时，y3x的最小值为A.B.3C.D.4【解析】y3x3 3 .当且仅当x，即x时，等号成立.【答案】A4.x，y，z为正数，且2x3y5z6，那么xyz的最大值为_. 【导学号：38000042】【解析】x，y，z为正数，xyz×2x×3y×5z×.当且仅当2x3