初二数学--勾股定理讲义

1、初二数学勾股定理【知识点归纳】1、直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理 勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题1、面积问题2、求长度问题4、5、6、3、最短距离问题航海问题网格问题图形问题考点一：勾股定理1 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么一定有a 2 b2 c 2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2结论： 有一个角是 30°的直角三角形,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 有一个角是 45°的直角三角形是等腰直

2、角三角形。 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。3勾股定理的验证baba例题：例1直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。(1) 在 Rt ABC 中，/ C=90° 假设 a=5, b=12，贝U c=； 假设 a=15, c=25，那么 b=; 假设 c=61, b=60,那么 a=; 假设 a : b=3 : 4, c=10 贝U RtAABC 的面积是=。(2) 如果直角三角形的两直角边长分别为n2 1 , 2n (n>1),那么它的斜边长是()A、2nB、n+1C、n2- 1D、n2 1(3) 在Rt ABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中正确的选项是()2 .

3、 2 2 2 2.2A. a b c B.a c b2 2 2C.c b aD.以上都有可能(4) 一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是()A、25B、14C、7D、7 或 25例2:直角三角形的一边以与另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1) 直角三角形两直角边长分别为5和12,那么它斜边上的高为 。(2) Rt ABC 中，/ C=90 °，假设 a+b=14cm , c=10cm，贝U Rt ABC 的面积是()2A、24 cm2B、36 cm2C、48cm2D、60 cm(3) X、y为正数，且|x2-4 | + (y2-3) 2=0，如果以x

4、、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()B、25D、15例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为C、两直角边长为 a,b的全等三角形，拼成如下图的五边形，利用这个 图形证明勾股定理。IVI1 1 C考点二：勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2c2，那么这个三角形是直角三角形。(2) 常见的勾股数：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41 n)(n为正整数)(3) 直角三角形的判定方法： 如果三角形的三边长a,

5、b,c有关系，a2 b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 两内角互余的三角形是直角三角形。 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用(1) 以下各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是()A. 4, 5, 6B. 2 , 3, 4C. 11, 12, 13D.8, 15, 17(2) 假设线段a, b, c组成直角三角形，那么它们的比为()A、2 : 3 : 4 B、3 : 4 : 6C、5 ： 12 ： 13 D、4 : 6 : 7例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1) 下面的三

6、角形中： 厶 ABC中，/ C=Z A-Z B; 厶 ABC 中，/ A:/ B:Z C=1: 2: 3; 厶 ABC中，a： b: c=3: 4： 5; 厶ABC中，三边长分别为 8, 15, 17.其中是直角三角形的个数有()A. 1个2个 C . 3个 D . 4个(2)假设三角形的三边之比为42 1 万：2：1，那么这个三角形A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 不等边三角形(3) a, b, c ABC三边，且满足(a2 b2)(a2+b2 c2) = 0，那么它的形状为()B.等腰三角形A.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4) 将直角三角形

7、的三条边长同时扩XX倍数，得到的三角形是()A.钝角三角形B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D.等腰三角形(5) 假设厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c,试判断 ABC的 形状。(6) ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且 a+b+c是3的倍数，那么c应为，此三角 形为。例3:求最大、最小角的问题(1) 假设三角形三条边的长分别是 7,24,25，那么这个三角形的最大内角是度。(2) 三角形三边的比为1:3 : 2,那么其最小角为。考点三：勾股定理的应用例题：例1:面积问题(1)以下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三

8、角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,那么最大正方形E的面积是()A. 13B. 26C. 47D. 94说明三个半圆的面积关系，可得ACSSS图3为直径向外作半圆，用勾股定理A. Si+ S2> S3B. Si+ S2= S3C. S2+S3< SiD.以上都不是2如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是Si、S2、S3,那么它们之间的关系是A. Si- S2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+S3< SiD. S2- S3=Si例2:求长度问题1米，当他把绳子的1小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子

9、垂到地面还多下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。2在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘 A处；？另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A夕卜，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例3:最短路程问题一 一 2 一1如图1,圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径， AD，BC是母线，假设一只小虫从 A点出发，从侧面爬行到 C点，那么小虫爬行的最短路线的长度是。结果保存根式2如图2,有一个长、宽、高为 3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为。CB图1A例4:航海问题

10、(1) 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里.(2) (XX )如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的 M处，在点A处测得某岛C在北偏东60 °的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东 30°的方向上，在 C岛周围9海里的区域内有暗礁，假设继续向正东 方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，城市 A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风中

11、心 30km的圆形区域内都将有受到 台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 例5:网格问题(1)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是()C. 21,那么厶ABC是 2如图，正方形网格中的 ABC，假设小方格边长为A.直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D.以上答案都不对3如图，小方格都是边长为1的正方形，那么四边形ABCD的面积是A .25C. 9B. 12.5D. 8.5A图1图3C图27%/例6：图形问题(1)如图1,求该四边形的面积(2)(2021XXXX )如图2，在厶ABC中，/ A=4

12、5° AC=,2，AB= ；3+1，那么边BC的长为.(图2)图13某公司的大门如下图，其中四边形AECD是长方形，上部是以AD为直径的半圆其中AE =2.3m, BC =2 m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.5 m，宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由(4) (XX )将一根长24 cm的筷子置于地面直径为 5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷 子露在杯子外面的长为 h cm，贝U h的取值X围。【中考】1. (2021 XXXX 市)如图是一 X直角三角形的纸片，两直角边 AC= 6 cm、BC = 8 cm , 现将 ABC折叠，使点B与点A重合

13、，折痕为 DE,贝U BE的长为(A) 4 cm( B) 5 cm(C) 6 cm( D) 10 cm2. ( 2021 XX荷泽)(此题总分值8分)如下图，在 Rt ABC中，/ C= 90。，/ A = 30°,BD是/ ABC的平分线，CD = 5 cm,求 AB的长.3如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、-、8、5 (在图甲中画一个即可)使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可)4. ( 2021XXXX )以下四组线段中，可以构成直角三角形的是()A.1，2，3B.2，3，

14、4C.3，4，5D.4，5，65. ( 2021 XXXX )在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，那么该三角形为()A 锐角三角形B 直角三角形6. 2021XXXX市 ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边AC为直角 边，画第二个等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第 n个等腰直角三角形的斜边长是.7. 2021XXXX 如图，每个小正方形的边长为1, ABC的三边a,b,c的大小关系式：A a c b B a b c C cab D c b a& 2021 xxxx此题总分值10分问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学