利用空间向量求二面角的平面角

1、利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二 14班时间： 2021-01-14【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关 的简单问题。2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和 空间想象能力。3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的 情感体验。【教学重点】 利用法向量计算二面角的大小。 【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关 系。【课时安排】 1 课时【教学过程】一、内容回忆求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。 前两种方法是空间立体的方法，难度

2、较大，都涉及到要在两半平面内找棱 的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算 夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推 理。而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能 通过空间向量的方法来解决， 那么这些逻辑推理过程， 我们能通过利用空间向量 的程式化计算来转化。 因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示， 所以 二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决， 那么向量的夹角与二面角的 平面角有着一种什么样的联系呢？、新课讲授如图，二面角为:-1 -1、记

3、 h _ ： ,12 -，且li与 J相交于 C , hH-'二A,川-=B.2、过B作B0 _ 1,连AO下面说明 AOB即是二面角的平面角：h _ I, BO _ I,.丨 _ 面BOC.I _OC,I.丨面AOC.I _ AO.AOB是二面角的平面角一找、二证、三计算3、丨_面AOC禾口面BOC,又；过空间一点有且只有一个平面和直线垂直。.面AOC和面BOC重合。即AOBC四点共面，即有平面四边形AOBC内角和=360°.T T4、在Ii，I2上分别取直线的方向向量口,门2,，事实上，由于线面垂直，两方向向量即是两平面的法向量。0 0 ACB=：q ,n2 , ACB

4、AOB = 180°= AOB ：q,n2 =180°. ACB ： q,n2 =18O0, ACB AOB =18O0= AOB = ： q,n2 .由分别可得COS 匕 AOB - -COS :COS AOB = COS ；： R,门25 、总结。计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。即计算法向量的数量积。可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值注释：这里不能像解决线线角或线面角那样， 对向量夹角的余弦值套上绝对值。 因为前两种角都是在0°一90°之间，所以前两种角的正余弦值一定是 一个正数。而二面角的平面角在00 -1800，所以余弦

5、值有可能会是负值。 正负的选取要通过对图形的观察得到。无论法向量的夹角余弦值求出来 是正还是负，如果观察得到的二面角的平面角是个锐角，那么平面角的余 弦值取正的。例题例1、ABC是以.B为直角的直角三角形。SA_平面ABC,SA二BC =2,AB =4,M、N分别是AB、BC的中点。求二面角S-NM 一 A的余弦值。解：如图，以B为原点，BA,BC为x、y轴建系，那么 A4, 0, 0，S4, 0, 2，M2，0, 0，N0，1, 0 ；SA 面AMNT AS可作为平面AMN的一个法向量。T 4平面AMN 一个法向量为 口 = AS =0,0, 2设平面SMN的一个法向量为n2x, y, zn

6、SM =0= (x, y, z)(一2,0, -2) =0= -2x2z=0n2 *SN =0= (x,y,z) (_4,1, -2) =0二 _4x y _2z = 0COS :： n，n?0,0, 21,2匚1 _二2_ _2晶2晶6:可观察二面角的平面角是锐角，COS 66注释：弓I导学生总结用法向量求解二面角的平面角问题的一般步骤Stepl建系Step2表示相应点的坐标；、T TStep3设平面的法向量分别为Step4列方程求出法向量Step5用数量积公式求法向量的余弦值Step6根据图形判断锐角或钝角 例 2、在直三棱柱 ABC-ABCi中，AB=1, AC = AA=/3,NABC

7、 = 6O0.(1) 证明 AB _ AC(2) 求二面角A-AC -B的平面角的余弦值解：如图(1)ABC 中，空AC,即孝,si nC1, C =30°sinC sin B sinC sin 602.BAC =90° 二 AB _ AC.如图建系，A(0,0,0), B(1,0,0),C(°p.3,0), a(o,o, .3)AB是平面AA,C的一个法向量。.n； =(1,0,0) 设平面ABC的法向量为 二(x, y, z)n2 AB = (x, y,z)(1,0, -、3) = x -、3z = 0n2 * AC = (x, y, z) * (0, 3, - 3) = 3 y - 3z = 0LT令z=1,可得 nO, 3,1,1)COS<>=(1,0,0) *3,1,1)3、15 COS<1, n2>f= f=1J55:观察可知二面角