勾股定理的逆定理

1、勾股定理的逆定理学习目标1. 掌握勾股定理的逆定理与其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念与它们之间的 关系.2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理与逆定理的区别与联系，掌握它们的应用围.要点梳理高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b, c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：1勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.2勾股定理的逆定理是把“数转为“形，是通过计算来判定一个三角形是否为直 角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

2、1首先确定最大边如c.2 验证c2与a2 b2是否具有相等关系.假设c2 a2 b2，那么 ABC是/ C=90°的直角三角形；假设c2 a2 b2，那么 ABC不是直角三角形.要点诠释：当a2 b2 c2时，此三角形为钝角三角形；当 a2 b2 c2时，此三角形为锐角三角形， 其中c为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，那么称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我 们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程X2 y

3、2 z2的三个正整数，称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数，显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形熟悉以下勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角 形.3m22n ,2mn mn,m n是自然数是直角三角形的三条边长;要点诠释：11n2 1，2n, n2 1 n 1,n是自然数是直角三角形的三条边长;22n2 2n, 2n 1,2n2 2n 1 n是自然数是直角三角形的三条边长;典型例题类型一、原命题与逆命题1、写出以下命题的逆

4、命题，并判断其真假:1同位角相等，两直角平行；2如果x 2，那么x2 4 ;3等腰三角形两底角相等；4全等三角形的对应角相等.5对顶角相等.6线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.思路点拨写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真 命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可.答案与解析解：1逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题.2逆命题是：如果x24，那么x 2，它是假命题.3逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题.4逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题.5逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是

5、假命题.6逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.总结升华写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的 逆命题，可以借助“如果那么分清题设和结论.每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假 命题.举一反三：变式以下定理中，有逆定理的个数是有两边相等的三角形是等腰三角形； 假设三角形三边a, b, c满足a2 b2 c2，那么该三角形是直角三角形；全等三角形对应角相等；假设 a b，那么a2 b2.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 答案B;提示：的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；的逆命题是：假设三

6、角形是直角三角形，那么三边满足a2 b2 c2 c为斜边；但对应角相等的两个三角形不一定全等；假设 a2 b2，a与 b不一定相等，所以、的逆命题是假命题，不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如下列图，四边形 ABCD中 AB丄AD, A吐2, AD= 2. 3，CD= 3，BO5,求/ ADC的度数. (答案与解析)解： AB 丄AD, / A= 90°,在 Rt ABD中, BD2 AB2 AD222(2 3)216 .1 BD = 4,A AB -BD，可知/ ADB= 30°,2在厶 BDC中, BD2 CD216 3225 , BC25225 , BD2

7、 CD2 BC2 ,/ BDC= 90°,/ ADC=Z ADBy BDC= 30° +90°= 120°.总结升华利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到 角的结论，所以在几何题中需要进展边角的转换时要联想勾股定理的逆定理.举一反三：变式 1 ABC三边 a, b, c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c，那么 ABC是:A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形2 2 2答案D;提示：由题意 a 5 b 12 c 130，a 5, b 12, c 13，因为a2 b2 c

8、2，所以 ABC为直角三角形.变式 2如下列图，在 ABC中，/ ACB= 90°, AOBC, P是厶ABC一点，且 P心3，P吐 1，POCD= 2, CDL CP 求/ BPC的度数.答案解：连接 BD T CD 丄CP 且 CD= CP= 2, CPD为等腰直角三角形，即/ CPD= 45°. vZ ACP# BCP=Z BCP£ BCD= 90°,/ ACP=Z BCD V CA = CB CAPA CBDSAS / DB = P心 3.在 Rt CPD中, DP2 CP2 CD222 228 .又v PB = 1,那么 PB21.v DB29

9、，二 DB2 DP2 PB 8 19 , DPB为直角三角形，且Z DPB= 90°,Z CPB=Z CPDZ DPB= 45° +90°= 135°.3、如下列图，在平面直角坐标系中，直线 y 3x 3与x轴交于点B,与y轴交于点A,直线y3与3x轴交于点C,同时也过点A.请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由.思路点拨判断两直线的位置关系，可转化为判断厶 ABC的形状.要判断厶ABC的形状，需先求出其 三边的长，而由直线的解析式易求出线段 AO , BO, CO的长，再根据勾股定理可求得 AB , AC的长. 答案与解析解：V 直线y 3x3与x轴

10、交于点B, 当y 0时，x1 ,点B的坐标为-1, 0.v 直线y3x 3与y轴交于点A, , 当x 0时，y3 , 点A的坐标为0 , 3. AO = 3, B8 1.在Rt ABC中，由勾股定理，得 AB2AO2BO232 1210 .1V 直线yx 3与x轴交于点C,3当y = 0时，x=9,二 点C的坐标为9 , 0在Rt ACC中，由勾股定理，得 AC2AO2CO2329290 .又v BC = BO+C=10,. AB2 AC210290 100 , BC210 100 . AB2 AC2 BC2 . ABC为直角三角形，二 AB 丄 AC总结升华在平面直角坐标系判断一个三角形的形

11、状，可考虑勾股定理的逆定理.另外，在平面直角坐 标系中，只要知道两点的坐标，便可求出线段的长度.类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如下列图，MN以左为我国领海，以右为公海，上午 9时50分我国缉私艇A发现在其正向有一走私艇 C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，假设走私艇C的 速度不变，最早在什么时间进入我国海域？答案与解析解：AB2 BC2 52 122 169 132 AC2，二 ABC为直角三角形./ ABG90解得x14413凹 13131441

12、44 0.85(h) = 51(分).169所以走私艇最早在10时41分进入我国领海.总结升华1此题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,2用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件.稳固练习 一.选择题1.2021?三组数据：2，3，4;3,4, 5; 1, 3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有2.以下三角形中，不是直角三角形的是A.B .C .D .A.三个角之比为5 : 6 : 1B.一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、293.列命题中，不正确的选项是A. 三个角的度数之比为B. 三边之比为1:、3:21:3:4D.三边之

13、比为1.5 : 2 : 3的三角形是直角三角形;的三角形是直角三角形;C.三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;D.三边之比为 2 ： .2 :2的三角形是直角三角形.L-又 BDL AC，可设 CD= x，/2 xBD2122,(13x)2BD252,得 x2 169 26x x2119，4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是A. CD EF、GH B . AB EF、GH C . AB CF EF D . GH AB CD5五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三

14、角形，其中正确的选项是 A-E.-U*6. a,b,c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，以下说法:a2,b2,c2能组成一个三角形a, . b, c能组成三角形7.8.c h,a b,h能组成直角三角形其中正确结论的个数是.填空题假设 ABC中，babaA.1 1 1-，匚，匚能组成直角三角形 a b h1 B . 2c2，那么/ B=如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,那么网格上的 ABC是三角形.9.假设一个三角形的三边长分别为 1、a、8其中a为正整数，那么以a 2、a、a 2为边的三角形 的面积为.,此10. AABC的两边a, b分别为5, 12,另一边c为奇数

15、，且a b c是3的倍数，那么c应为_三角形为.11. 有两根木条，长分别为60 cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，那么第三根木条x钝角所对的边长度的取值围.12. 如果线段a, b, c能组成一个直角三角形，那么a,-,c组成直角三角形.“能或“不2 2 2能三.解答题13. a、b、c是厶ABC的三边，且a2c2 b2c2 a4 b4，试判断三角形的形状.14. 观察以下各式：334252,8262102,15282172,242102262，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15. 在等边 ABC有一点P, PA=3 PB

16、=4 PC=5现将 APB绕A点逆时针旋转60°,使P点到达Q点, 连PQ猜想 PQC的形状，并论证你的猜想.答案与解析一.选择题1. 答案D;解析根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2. 答案D;解析D选项不满足勾股定理的逆定理.3. 答案C；解析度数之比为1:2:2，那么三角形角分别为36°: 72°: 72°4. 答案B ；解析AB2 8, CD220, EF25, GH 213, AB2 EF2 GH 2，所以这三条线段能构成直角三角形5. 答案C；解析

17、72 242 252,152 202 252.2 2 2 22 26. 答案C；解析因为a b c，两边之和等于第三边，故a ,b ,c不能组成一个三角形，错误;因:为心 .bc，所以.a, . b, c能组成三角形，正确；因:为ab ch，所以2 a2ab b2 h2c22chh2，即2 2a b h2c h 2正确；因为121 2a2b22 cc21 2aba2b22-2 a bc2h2h所以正确.二.填空题7. 答案90 ° ；解析由题意b2 a2 c2，所以/ B=90°8.答案直角；解析AB2=13,BC2=52，AC2 =65,所以 AB2BC2AC2.9. 答案24 ；解析t 7v a v 9，a a = 8.10. 答案13 ;直角三角形；解析7 v c v 17.11. 答案100 cm v x v 140cm ；解析因为60, 80,100构成直角三角形，那么钝角三角形的最长边应该大于100cm，再根据两边之和大于第三边，所以12.答案能；解析设c为斜边，那么a2 b2c2，两边同乘以13.解: