自动控制原理习题详解2

1、自动控制原理习题详解（下册）配合自动控制原理夏超英主编，科学出版社。第六章 习题解答6-1证明无源超前校正环节最大超前相角为采用半对数坐标时最大超前相角所对应的频率位于两个转折频率的中间或等于零、极点乘积的平方根，即解：无源超前校正环节的频率特性为相频特性为根据三角函数的基本公式有从推出即得极值的必要条件证毕。6-2某单位反馈控制系统的设计指标为调节时间秒，超调量，斜坡输入下的稳态误差。（a）试问系统开环频率特性的低频段需要满足什么要求？中频段需要满足什么要求？（b）在平面内绘制出能满足设计要求的系统主导极点所在的区域。解：（a）从静态特性考虑，斜坡输入下的稳态误差，要求开环传递函数至少有1个

2、积分环节，速度误差系数，即开环频率特性的低频段的斜率为，在低频段特性或它的延长线上，或者开环传递函数至少有2个积分环节，开环频率特性的低频段的斜率为。从动态特性考虑，系统中频段特性斜率为且占据一定的中频宽度，调节时间秒，超调量，要求， ，取，则，转换成对中频段特性对幅值穿越频率和相角裕度的要求为（b）在平面内绘制出满足设计要求的系统主导极点的区域如下图所示。6-3某系统如图6.53所示。图6.53 习题6-3图（a）要求系统对单位斜坡输入的稳态误差，主导极点的阻尼比，调节时间秒（按误差考虑），请在平面上绘制出满足上述设计要求的闭环极点的可行区域，给出、应满足的条件。（b）设、，绘制三种情况下以

3、为可变参数的根轨迹。（c）设，确定满足（a）中性能指标时的取值。解：（a）系统的开环传递函数为系统的速度误差系数，。主导极点的阻尼比，调节时间秒即，平面上满足上述设计要求的闭环极点的可行区域如下图所示。按题意要求得、应满足的条件为（b）时系统的闭环特征方程为绘制根轨迹的等效开环传递函数为根轨迹在负实轴上，起始于开环极点，1条沿负实轴终止于开环零点，1条沿负实轴终止于，如下图所示。时系统的闭环特征方程为绘制根轨迹的等效开环传递函数为根轨迹起始于开环极点，1条终止于开环零点，1条沿负实轴终止于，整个负实轴都是根轨迹区段，根轨迹的复平面部分为半径等于圆心在原点的圆的一部分。如下图所示。时系统的闭环特

4、征方程为绘制根轨迹的等效开环传递函数为根轨迹起始于开环极点，1条终止于开环零点，1条沿负实轴终止于，整个负实轴都是根轨迹区段，根轨迹的复平面部分为半径等于圆心在原点的圆的一部分。如下图所示。（c）设，代入（a）中得到的条件有得满足（a）中性能指标时的取值范围为。6-4控制系统如图6.54所示，图中为参考输入，为控制电压，电容器上的电压为输出。图6.54 习题6-4图（a）求被控对象到输出之间的传递函数。（b）选取四种调节器（）、（）、（）、（）之一，使成为系统闭环的一对共轭复数极点，画出变化时系统闭环的根轨迹，求出取得上述闭环极点时的取值。解：（a）被控对象到输出之间的传递函数为（b）采用比例

5、调节器时，系统的根轨迹1条从开环极点出发垂直向上，1条从开环极点出发垂直向下，不会通过点，所以不被采用。采用积分调节器或比例积分调节器时，除去负实轴上由原点极点出发的根轨迹外，从和出发的根轨迹都会向右偏，也不会通过点，所以也不被采用。所以，只能采用调节器，这时系统的开环传递函数为令成为闭环根，则有比较系数有将代入前面的方程得到即。6-5图6.55所示为钟摆的角度控制系统，其中被控对象为阻尼为零的二阶系统。图6.55 习题6-5图（a）试问控制器必须满足什么条件，才能使系统为非条件稳定系统？（b）选用常规调节器，使得系统对阶跃扰动输入的稳态误差为零，此时系统还可以做到非条件稳定吗？（c）选用控制

6、器应用根轨迹方法分析、和发生变化时对系统快速性、稳定性的影响。答：（a）校正前系统的根轨迹从开环极点出发，分别沿正虚周轴或负虚轴趋于无穷。因此要使得系统的根轨迹在一开始就偏向左侧，只能使用超前校正装置。（c）要使得系统对阶跃扰动输入的稳态误差为零，必须在校正装置中引入积分作用，可供选择的调节器有积分调节器、比例+积分调节器、以及比例+积分+微分调节器，然而这些调节器在低频段都提供滞后的相角，这将导致系统是条件稳定的，即选用常规调节器无法做到使系统是非条件稳定的。（c）选用比例+积分+微分调节器系统的开环传递函数为系统的速度误差系数所以速度输入下的稳态控制精度由决定。积分时间常数为无穷大时（即没

7、有积分项）系统的特征方程为对于任意和系统都是稳定的，所以增大比例系数将提高系统的快速性，增大微分系数将增加系统的阻尼，提高稳定性。有积分作用时，系统的特征方程为对于给定的和，从变化时绘制根轨迹的等价开环传递函数为当时，有两个实根以，为例，从变化时的根轨迹如下图所示，积分作用越强（积分时间常数越小），对系统的稳定性越不利。当时，有一对共轭复根共轭复根的实部为。以，为例，从变化时的根轨迹如下图所示。容易看出，增大时系统的快速性变好，但稳定性变差；相反，增大时系统的稳定性变好，快速性变差；积分作用增强时（积分时间常数变小时），对系统的稳态控制精度有利，对系统的稳定性不利。6-6力、转矩的积分为速度、

8、转速，速度、转速的积分为位置、转角，许多重要的运动控制系统的被控对象可以描述为二重积分器传递函数，即用根轨迹法分析比例控制、比例微分控制和超前校正、几种情况下闭环根轨迹的情况和闭环系统的性能。解：采用比例控制时，系统的开环传递函数为系统的根轨迹从出发，1条沿正虚轴趋向无穷远，1条沿负虚轴趋向无穷远，闭环系统是临界稳定的。 采用比例微分控制时，系统的开环传递函数为系统的根轨迹从出发，1趋于开环零点，1条沿负实轴趋向无穷远，根轨迹的复平面部分为半径为1，以开环零点为圆心的圆。如下图所示。取不同值时，闭环极点为一对稳定的共轭复根，或一对稳定的实根，闭环零点等于开环零点，闭环系统的性能由闭环极点和零点

9、决定。选用超前校正时的根轨迹如下图所示。选用超前校正时的根轨迹如下图所示。选用超前校正时的根轨迹如下图所示。可以看出，随校正装置超前作用的变弱，系统的根轨迹向右移动，实轴上的分离点由2个变为1个，再变为没有分离点，闭环系统的稳定性变差。6-7在运动控制系统中，二重积分的被控对象假设它为刚体且无摩擦，因而是最简单的模型。在要求比较高的场合，例如在卫星的姿态控制系统中，需要考虑太阳能板的柔性，在磁盘的读写机构中，需要考虑支撑臂和读写头的柔性等。在这些情况下，被控对象在二重积分的基础上要增加一对复数极点和距离复数极点很近且自然振荡频率略低于复数极点的一对复数零点，这些复数零、极点的阻尼比一般都很低。

10、下面是某一卫星控制系统被控对象的传递函数设超前校正装置的传递函数为试用根轨迹法对变化时系统的稳定性和动态特性进行分析。解：校正后系统的开环传递函数为从变化时的根轨迹绘制如下。系统共有5条根轨迹，分别起始于开环极点，其中3条终止于开环零点，2条终止于无穷远处。终止于无穷远处的根轨迹的渐近线与正实轴的夹角和交点为实轴上的根轨迹区段为。开环被控对象的共轭极点靠近共轭零点，它们之间有两条根轨迹。从开环极点出发的根轨迹的出射角为同理得从开环极点出发的根轨迹的出射角为即从开环极点出发终止于开环零点的根轨迹位于开环零点和开环极点的左侧，从开环极点出发终止于开环零点的根轨迹位于开环零点和开环极点的左侧。被控对

11、象的共轭极点和共轭零点靠的很近，且远离实轴上的分离点，忽略它们的影响，近似求得实轴上的分离点坐标满足即得分离点坐标。分离点对应的根轨迹增益为分离点对应的根轨迹增益为根轨迹如下图所示。闭环系统的一对共轭复根位于开环共轭零点附件，形成闭环偶极子，对系统闭环性能影响不大。根轨迹增益时，还有一闭环实根位于开环零点附件，形成闭环偶极子，对系统闭环性能影响也不大。根轨迹增益时，系统的闭环性能主要由分离点出来的两条根轨迹上的闭环根决定。6-8某单位反馈系统的开环传递函数为设其动态性能已经满足要求，但速度输入时系统的稳态误差过大。试用根轨迹法和频率特性法设计校正装置，使系统的速度稳态误差系数，并对两种设计方法

12、得到的结果进行比较。解：因系统动态性能已经满足要求，但稳态误差大，故选用滞后校正。用根轨迹法设计滞后校正装置的参数。校正前系统的特征方程为用试探法得到它的一个实根为，用综合除法降阶得到另外两个根为，闭环传递函数没有零点，显然是系统的主导极点。校正前系统的速度误差系数，按设计要求应提高倍。为此，取校正装置传递函数的参数，同时将校正装置的极点配置在原点附近的负实轴上，取，得校正装置的传递函数为校正装置在主导极点处引入的相角为满足设计要求。加入滞后校正装置后系统的开环传递函数为校正后系统的根轨迹增益维持不变，这样有，即。最终得滞后校正装置的传递函数为用频率特性法设计滞后校正装置的参数。为此，绘制校正

13、前系统开环传递函数的伯德图如下图中的、所示。从伯德图看出校正前幅值交接频率，相角裕度，它已经满足系统动态特性的要求。为将系统的速度误差系数提高倍，取滞后校正装置中的，后一个转折频率，于是前一个转折频率。这样，加入滞后校正装置后，系统中频段以及高频段特性和校正前基本一样，维持原动态特性基本不变。容易看出，根轨迹法和频率特性法设计的结果是相似的。6-9设单位反馈系统的开环传递函数为试设计串联超前校正装置的参数，使系统在单位斜坡输入的稳态误差，相角裕度，幅值交接频率。解：取，绘制系统校正前的伯德图如下图所示。采用超前校正装置预选校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参

14、数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为满足设计要求。6-10某单位反馈火炮指挥仪伺服系统的开环传递函数为若要求系统最大输出转速为转/分，输出位置的容许误差小于。（a）确定满足上述系统指标的最小值，计算值下系统的相角裕度和幅值裕度。（b）在前向通路中串接超前校正装置计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。解：（a）最大输出转速为转/分，即，即得斜坡输入为，校正前系统的速度误差系数为按题意要求，所以静态指标要求的最小值为。取，绘制系统校正前的伯德图如下图所示。从伯德图看出，系统的幅值穿越频率，相角裕度，幅值裕度。（b）加入串接超前校正装置后系统的开环传

15、递函数为绘制系统校正后的伯德图如下图所示。从伯德图看出，校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，幅值裕度，与校正前相比快速性和稳定性都得到了明显改善。6-11某温度控制系统被控对象的传递函数为（a）试决定的取值和滞后校正装置的参数，使系统的位置误差系数，相角裕度。（b）试决定的取值和超前校正装置的参数满足与（a）中同样的性能指标。（c）比较（a）、（b）所得系统的闭环动特性和静特性。解：（a）根据题意，取，绘制系统的伯德图如下图所示。考虑的设计裕量，从校正前系统的伯德图有时，。设校正后系统的幅值穿越频率，滞后校正装置的后一个转折频率，得滞后校正装置的参数，滞后校正装置的传递函数为校正后系统的伯德图

16、如下图所示。从校正后系统的伯德图看出校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，满足设计要求。（b）同样取，设计超前校正装置的参数。预选校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为不满足设计要求。进一步取，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为满足设计要求。（c）两种校正方案系统的静态特性相同，稳定性相近，但滞后校正系统的快速性较校正前降低，超前校正后系统的快速性较校正前提高。6-12某伺服系统被控对象的传递函数为（a）试决定的取值和无源滞后校正装置的参数，使

17、系统的速度误差系数，相角裕度。（b）试问选用一阶无源超前校正网络是否可以达到与（a）同样的设计指标？解：（a）根据题意，取，绘制系统的伯德图如下图所示。考虑的设计裕量，从校正前系统的伯德图有时，。设校正后系统的幅值穿越频率，滞后校正装置的后一个转折频率，得滞后校正装置的参数，滞后校正装置的传递函数为校正后系统的伯德图如下图所示。从校正后系统的伯德图看出校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，满足设计要求。（b）同样取，设计超前校正装置的参数。预选校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为不满足设计要求。进一步取，从

18、校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为仍不满足设计要求。因为此时已经很大，故使用超前校正无法满足设计要求。6-13设单位反馈系统的开环传递函数为（a）若要求校正后系统的相角裕度，幅值裕度为，速度误差系数，试设计串联超前校正装置；（b）若要求校正后系统的相角裕度为，幅值裕度，速度误差系数，试设计串联滞后校正装置。解：（a）取，绘制校正前系统的伯德图如下图所示。从伯德图得，。选取校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为不满足设计要求。进一步取，从校正前系

19、统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为验算校正后系统的幅值裕度，为此绘制系统校正后的伯德图如下图所示。从伯德图得相角穿越频率，故满足设计要求。（b）取，绘制校正前系统的伯德图如下图所示。考虑的设计裕量，从校正前系统的伯德图有时，。设校正后系统的幅值穿越频率，滞后校正装置的后一个转折频率，得滞后校正装置的参数，滞后校正装置的传递函数为校正后系统的伯德图如下图所示。从校正后系统的伯德图看出校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，相角穿越频率，幅值裕度，满足设计要求。6-14某单位反馈系统的开环传递函数为（a）试设计串联滞后校正装置的参数和系统的可调增

20、益，使系统的速度误差系数，相角裕度。（b）试设计串联超前校正装置的参数和系统的可调增益，满足与（a）中相同的性能指标。（c）比较校正后两系统的性能。解：（a）根据静态设计要求取，绘制校正前系统的伯德图如下图所示。考虑的设计裕量，从校正前系统的伯德图有时，。设校正后系统的幅值穿越频率，滞后校正装置的后一个转折频率，得滞后校正装置的参数，滞后校正装置的传递函数为校正后系统的伯德图如下图所示。从校正后系统的伯德图看出校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，满足设计要求。（b）仍取，设计超前校正装置的参数。预选校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函

21、数为验算校正后系统的相角裕度为不满足设计要求。进一步取，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为满足设计要求。（c）两种校正方案系统的静态特性相同，稳定性相近，但滞后校正系统的快速性较校正前降低，超前校正后系统的快速性较校正前提高。6-15已知单位反馈系统的开环传递函数为试用频率特性法决定校正装置，保持系统的稳态控制精度不变，相角裕度，幅值交接频率。解：绘制校正前系统的伯德图如下图所示。从伯德图看出，校正前系统的幅值穿越频率，相角裕度，属于快速性和稳定性都不足的情况，故应选取超前校正。预选校正后系统的幅值穿越频率，从校正前系统的伯德图

22、中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为不满足设计要求。进一步取，从校正前系统的伯德图中得到，得超前校正装置的参数为超前校正装置的传递函数为验算校正后系统的相角裕度为满足设计要求。6-16已知单位反馈控制系统的对象和校正装置都是最小相位环节，对数幅频特性曲线分别如图6.56中的和所示。（a）写出校正后各系统的开环传递函数。（b）分析各校正装置对系统的校正作用，并比较其优缺点。（a） （b）（c）图6.56 习题6-16图解：（a）图（a）所示系统校正后的开环传递函数为图（b）所示系统校正后的开环传递函数为图（c）所示系统校正后的开环传递函数为（b）图（a

23、）所示校正装置是滞后校正，校正后系统的静态特性不变，稳定性提高，快速性降低，抗干扰性能提高。图（b）所示校正装置是超前校正，校正后系统的静态特性不变，稳定性和快速性都有所提高，抗干扰性能降低。图（c）所示校正装置是滞后-超前校正，校正后系统的静态特性、稳定性和快速性都有所提高，抗干扰性能降低。6-17某控制系统如图6.57所示。图6.57 习题6-17图（a）取调节器设计其中的参数、和，使系统阶跃响应的超调量，调节时间秒（按误差计算）。（b）现要求系统对斜坡输入无静差，加速度误差系数，同时保持（a）中对系统动特性的要求基本不变（频率特性曲线的中频段和（a）中的重合），设计调节器的参数、和，与（

24、a）中的设计相比较，系统对高频干扰噪声的抑制能力是增强了还是减弱了？解：（a）按题意要求，闭环传递函数为无零点的二阶系统，故取，则系统的开环传递函数为令，得，。（b）（a）中校正后系统的开环传递函数为其对数幅频特性如下图曲线所示。同样，取调节器的参数，则系统的开环传递函数为根据题意中的静特性要求取，得校正后系统的低频段特性为令得为调节器校正后幅频特性低频段特性与（a）中特性曲线相交点的频率值，故取调节器参数。这样得到调节器为校正后系统的幅频特性如上图中曲线所示。从幅频特性曲线看出，与（a）相比较，系统对高频干扰噪声的抑制能力减弱了。6-18设某随动系统的开环传递函数为要求在最大指令速度/秒时系

25、统的跟踪位置滞后不超过，校正后系统主导极点的阻尼比，无阻尼自然振荡频率。（a）试问应用无源超前校正所能达到的最大速度误差系数等于多少？（b）应用根轨迹法设计滞后-超前校正调节器的参数。（c）根据时域和频域性能指标间的转换关系得到频域设计指标，试用频率特性法设计滞后-超前校正装置，并与（b）中的结果相比较。解：（a）系统希望的主导极点为，绘制系统校正前的根轨迹如下图。希望的主导极也绘制在图中，显然应该采取超前校正以使根轨迹向左移动。在超前校正中，PD（比例+微分）调节器能使速度误差系数达到最大，校正后系统闭环特征方程为令希望的主导极点为闭环的一对共轭复根，有比较两边各项系数有得，。所以采用超前校

26、正所能达到的最大速度误差系数等于，此时闭环系统的3个极点为，1个闭环零点为。显然是闭环系统的主导极点。超前校正不能满足的静态特性设计要求，故应采用滞后-超前校正。（b）应用根轨迹法设计滞后-超前校正调节器的参数。根据静态误差要求，确定系统开环可调增益。系统希望的闭环共轭主导极点为，由此确定校正网络需要产生的超前相角为确定校正装置超前部分的参数，由于校正装置滞后部分的零极点在原点附件，远离闭环主导极点，固有做如下图所示，图中调整使边与实轴平行，延长和与实轴相交得到两点和。根据余弦定理有再应用正弦定理有因此得到从 解出和。校正装置滞后部分的参数应使得选取，验算有满足要求。故得滞后-超前校正调节器的

27、传递函数为（c）解：将闭环主导极点振荡频率和阻尼比的设计要求，转换成对开环频率特性幅值交接频率和相角裕度的设计要求，得按的设计要求，绘制校正前系统的伯德图如下图所示。图6.36 例6.12系统的伯德图从对数幅频特性的渐近曲线看出幅值交接频率，得，属于快速性有余量，不稳定性的情况，应使用滞后超前校正。选择未校正系统幅频特性曲线由变为的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率，这样得到从校正前幅频特性曲线上读取过，的点，做的斜线，交线于，于是有得。将上述结果代入校正装置的传递函数有校正后系统的开环传递函数为令考虑到，故有得。最终得到滞后-超前校正网络的传递函数为校正网络和校正后系统的伯德图如上图中的

28、曲线、所示，经校验，满足设计要求。（c）所得结果与（b）中的相接近。6-19某单位反馈系统的开环传递函数为（a）设计滞后校正环节的参数，使闭环系统的速度误差系数，相角裕度。（b）校验（a）中的设计结果，是否能够做到对于频率小于幅值为的正弦指令信号，稳态误差小于，对于频率大于的测量噪声信号，至少衰减到？解：（a）根据题意取，绘制校正前系统的伯德图如下图所示。考虑的设计裕量，从伯德图看出时，。设计滞后校正装置的参数，得。即得滞后校正装置的传递函校正后系统的伯德图如下图所示。从伯德图看出校正后系统的幅值穿越频率，相角裕度，满足设计要求。（b）从校正后系统的伯德图可以看出，从输入到误差的闭环传递函数满

29、足即对于频率小于幅值为的正弦指令信号，正弦稳态误差的幅值小于，满足稳态误差的设计要求。从校正后系统的伯德图还有，时，从测量噪声到系统输出的闭环传递函数满足即大于的测量噪声对系统输出的影响可以衰减到，满足衰减到的设计要求。6-20某单位反馈系统被控制对象的是最小相位的，对数幅频特性如图6.58所示。图6.58 习题6-20图（a）设，设计调节器及参数，使校正后系统的稳态误差，开环对数幅频特性中频段的斜率为倍频程，幅值交接频率，高频段为倍频程，绘制校正后系统开环对数幅频特性和调节器的对数幅频特性。（b）若测量噪声的频率大于，试问校正后它对系统输出的影响被衰减了多少倍？（c）校正后系统的稳定性有何变

30、化？快速性有何变化？静特性有何变化？解：（a）根据设计要求，校正后系统开环传递函数应有2个积分环节，加速度误差系数，即低频段的对数幅频特性曲线的斜率为倍频程，对数幅频特性曲线高度为。中频段的对数幅频特性曲线的斜率为倍频程，和低频段对数幅频特性曲线交于处。高频段与原对数幅频特性曲线平行，为倍频程。校正后系统开环对数幅频特性和调节器的对数幅频特性如下图中和所示。调节器的传递函数为是PI调节器。（b）测量噪声作用下系统的方框图如下图所示。因为在高频段，故有时，于是得到，即测量噪声对系统输出的影响至少被衰减到了倍。（c）从频率特性看出，与校正前相比较，校正后系统的相角裕度减小，幅值穿越频率提高，所以系

31、统的稳定性变差，超调量增加，快速性提高。在静特性方面，校正前无法跟踪抛物线输入，校正后可以跟踪抛物线输入，稳态性能提高。6-21某单位反馈系统对象的传递函数为式中为可调增益。设计要求系统的超调量，上升时间秒。（a）若取，串联调节器应用根轨迹法分析系统的闭环零、极点，判断是否可以达到设计要求。（b）取，串联超前校正同样用根轨迹法分析系统的闭环零、极点，判断是否可以达到设计要求。（c）取，将（b）中的串联超前校正改为反馈校正，取分析系统的闭环零、极点，估算系统的动态性能。（d）三种设计都可以做到阶跃输入下无静差吗？系统的速度误差系数各是多少？解：按设计要求，超调量，上升时间秒，系统闭环主导极点应满

32、足如下图所示。（a）使用串联调节器系统的开环传递函数为从变化时系统的根轨迹如下图所示。时，用试凑的方法得到一个闭环实根，应用综合除法得到另外两个闭环极点。闭环零点和闭环极点组成闭环偶极子，对闭环性能的影响忽略不计，闭环极点的阻尼比阻尼振荡频率故能够达到设计要求。（b）使用串联调节器系统的开环传递函数为从变化时系统的根轨迹如下图所示。时，用试凑的方法得到一个闭环实根，应用综合除法得到另外两个闭环极点。闭环极点的阻尼比阻尼振荡频率虽能满足对闭环共轭极点的要求，但闭环零点和闭环极点不能组成闭环偶极子，闭环零点对闭环性能的影响不能忽略，超调量达，不能达到设计要求。（c）将（b）中的串联超前校正改为反馈

33、校正，并取反馈通路的传递函数为则系统的开环传递函数以及从变化时系统的根轨迹同（b）。时，闭环根，同（b）。闭环根的阻尼比阻尼振荡频率满足对闭环共轭极点的要求，因为闭环零点和闭环极点离虚轴的距离较闭环极点远倍以上，对系统性能的影响不大，是系统的主导极点，故系统能够达到设计要求。（d）三种设计都可以做到阶跃输入下无静差，速度误差系数分别为，。6-22某控制系统如图6.59所示，图中，若要求校正后系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差，阶跃输入下的超调量，调节时间秒，试确定反馈校正装置的形式与参数。图6.59 习题6-22图解：系统为局部反馈校正方案，按静态特性的要求取，校正前系统的开环传递函数为反馈内

34、环的开环传递函数为绘制校正前系统的对数幅频特性曲线如下图中曲线所示。从得。于是有从得幅值交接频率。中频宽幅值交接频率前后的两个转折频率分别为据此，绘制希望的频率特性如下图中曲线所示，图中，。时，希望的幅频特性曲线和校正前的开环幅频特性曲线不重合，故有，。和时，校正后开环传递函数的幅频特性曲线和校正前的重合，有，幅频特性曲线由其在时的特性曲线向低频和高频两边自然延伸得到，如下图所示。根据上面得到的幅频特性曲线，有得6-23对图6.60（a）所示的串联校正系统和（b）所示的局部反馈校正系统，校正前系统开环传递函数的对数幅频特性如（c）中的曲线所示，校正后系统开环对数幅频特性曲线如（c）中的曲线所示

35、。 （a） （b）（c）图6.60 习题6-23图（a）求校正前系统的开环传递函数。（b）求串联校正装置的传递函数和局部反馈校正装置的传递函数。（c）计算校正前后系统的相角裕度，说明校正后系统静特性、快速性、稳定性的变化。解：（a）校正前系统的开环传递函数为（b）校正后系统的开环传递函数为于是得串联校正装置的传递函数为对于局部反馈校正，从所给频率特性曲线有，时，校正后开环传递函数的幅频特性曲线和校正前的不重合，有局部反馈环开环传递函数的幅频特性，。和时，校正后开环传递函数的幅频特性曲线和校正前的重合，有， ，局部反馈环开环传递函数的幅频特性由上面得到的在时的特性向低频和高频两边自然延伸得到，如

36、下图所示。由上面得到的特性，得局部反馈环的开环传递函数为于是有6-24某复合校正控制系统如图6.61所示，要求闭环回路过阻尼，系统在斜坡输入作用下的稳态误差为零，试确定的取值和前馈补偿装置的传递函数。图6.61 习题6-24图解：系统的闭环传递函数为系统的特征方程为绘制根轨迹的等效开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，其中区段上有分离点，分离点坐标满足，即有解（不在根轨迹上，舍去）。根据根轨迹的模值条件，分离点对应的根轨迹增益为即，得系统过阻尼的取值范围为。要使系统斜坡输入下无无静差，要求闭环传递函数分子、分母多项式的两个常数项和和两个的1次幂的系数相等，于是有，即6-25某复合控制系统如图6.

37、62所示。图中为补偿装置的传递函数，为测速发电机及分压电位器的传递函数，为可测量扰动。如果，试确定和的取值以及，使系统输出量完全不受扰动的影响，且阶跃响应的超调量、峰值时间秒。图6.62 习题6-25图解：系统的闭环传递函数为即根据设计要求，指令阶跃响应的超调量、峰值时间秒，有，得，。要使系统的输出量完全不受扰动的影响，须令即6-26纸机系统的传递函数为当系统比例调节的增益时，系统处于临界稳定状态，出现持续振荡，振荡周期为秒，试用Zeigler-Nichols整定方法确定调节器的参数。解：由题意知，临界增益，振荡响应周期秒，故用Zeigler-Nichols方法确定的调节器参数为，第七章 习题

38、解答7-1已知下列时间函数，设采样周期为秒，求它们的变换。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）根据域微分定理有（b）因为所以（c）根据时域位移定理有（d）根据复域位移定理有（e）根据复域位移定理有（f）根据复域位移定理有7-2已知的拉氏变换为下列函数，设采样周期为秒，求它们的变换。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）（b）（c）（d）（e）（f）7-3求下列函数的反变换。（a）（b）（c）解：(a) （b）(c)7-4已知时，为如下所示的有理分式则有以及式中时，。（a）试证明上面的结果。（b）设应用（a）的结论求、。解：（a）设显然有以及式中时，。上式即时，。证毕。（b）设

39、应用关系式有7-5试用部分分式法、幂级数法和留数法，求下列函数的反变换。（a）（b）（c）（d）解：（a）部分分式法幂级数法留数法（b）部分分式法幂级数法留数法（c）部分分式法幂级数法留数法（d）部分分式法幂级数法留数法7-6用变换法求下面的差分方程并与用迭代法得到的结果、相比较。解：差分方程两边变换得到即迭代法得到结果是相同的。7-7求传递函数为（a）（b）的部件的脉冲传递函数。解：（a）查表得于是得到（b）查表得于是得到7-8试应用终值定理确定下列函数的终值。（a）（b）解：（a）在单位圆外和单位圆上除点外没有极点，故可以应用终值定理，有（b）在单位圆外和单位圆上没有极点，故可以应用终值定

40、理，有7-9图7.48中为零阶保持器的传递函数，即试证明图7.48 习题7-9图解：证明证毕。7-10一阶保持器的输入输出波形如图7.49所示。在一阶保持器中，当时，输出是前两个采样时刻采样值和外推得到的直线，即图7.49 习题7-10图假设输入是时的单位脉冲函数，绘制一阶保持器的输出波形，求一阶保持器的传递函数。解：假设输入是时的单位脉冲函数，一阶保持器的输出波形如下根据上面给出的单位脉冲输入下一阶保持器的输出波形，得到脉冲响应的表达式为传递函数等于脉冲响应的拉氏变换，即7-11设开环离散系统如图7.50所示，试求开环脉冲传递函数。（a）（b）图7.50 习题7-11图解：对图（a）所示系统

41、，环节间有采样开关，有对图（b）所示系统，环节间没有采样开关，有7-12试求图7.51闭环离散系统的脉冲传递函数或。（a）（b）（c）图7.51 习题7-12图解：对图（a）所示系统有即有两边变换有即化简得到即对图（b）所示系统有即有两边采样有两边变换有化简得到对图（c）所示系统有即有化简得到7-13设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分的传递函数为输入，采样周期秒。试求：（a）输出变换。（b）采样瞬时的输出响应。（c）输出响应的终值。解：（a）查表求得开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统输入，输出变换为（b）用综合除法得到（c）从系统响应看出系统不稳定，故无法得到终值。7-14试

42、判断下列系统的稳定性。（a）已知闭环离散系统的特征方程为（b）已知闭环离散系统的特征方程为（c）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期，开环传递函数解：（a）特征方程有单位圆外的根，所以系统不稳定。（b）构造行列的朱利表有，但，故系统临界稳定。（c）系统的开环脉冲函数为系统的特征方程为做变换有出现负的系数，系统不稳定。7-15采样系统如图7.52所示，采样周期秒。图7.52 习题7-15图（a）绘制时系统的闭环根轨迹图，求分离点坐标。（b）根据闭环根轨迹图，求系统稳定时的取值范围。解：（a）采样周期秒，系统的开环脉冲传递函数为实轴上的根轨迹区段为，复平面上的根轨迹为圆，圆心在开环零点，半径为

43、。因此得到分离点坐标为。用MATLAB命令绘制的根轨迹图如下图所示。（b）系统的闭环特征方程为做变换有系统稳定的条件为得到。7-16离散时间系统如图7.53所示，采样周期s。（a）求系统的开环脉冲传递函数（b）求系统稳定时的取值范围。（c）当，时，求系统的稳态误差。图7.53 习题7-16图解：（a）因为故控制算法的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为（b）系统的闭环特征方程为做变换得到得系统稳定的条件为（C）时，系统的速度误差系数为所以时稳态误差为7-17采样系统如图7.54所示，采样周期秒。图7.54 习题7-17图（a）求闭环脉冲传递函数。（b）设，求使闭环特征根在平面原点时和的取值。

44、（c）求此时系统阶跃响应和稳态误差。解：（a）被控对象的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为（b）时有令闭环特征方程得，。（c）此时闭环脉冲传递函数为单位阶跃下的响应为故得系统的单位阶跃响应为、，稳态误差。7-18采样系统如图7.55所示，采样周期秒（），求使闭环脉冲传递函数图7.55 习题7-18图解：被控对象的脉冲传递函数为被控对象脉冲传递函数的零点和极点都在单位圆内，所以可以用控制器的极点和零点和它们对消。要使得闭环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数应为令得到7-19离散时间控制系统如图7.56所示，其中采样周期，。图7.56 习题7-19图（a）求系统的开环脉冲传

45、递函数和闭环脉冲传递函数。（b）确定闭环系统为稳定时的取值范围。（c）求系统的稳态误差。解：（a）系统的开环脉冲传递函数为将代入整理得系统的闭环脉冲传递函数（b）特征方程做变换有要使系统稳定应满足得。（c）根据系统的开环传递函数，有以及于是有7-20已知离散系统如图7.57所示，采样周期秒。当时，要使稳态误差小于，求的值。图7.57 习题7-20图解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为特征方程做变换得到系统稳定的条件为即得系统稳定时的取值范围为。系统速度误差系数要使系统的稳态误差应使。综合上述条件得的取值范围为。7-21某离散时间系统如图7.58所示，采样周期秒，控制算法的差分方

46、程描述为。图7.58 习题7-21图（a）求使系统为稳定的的取值范围。（b）求当，时系统的稳态误差。（c）为使系统的阶跃响应是单调无振荡的，的取值范围等于多少？解：（a）因为故控制算法的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为做变换得到得系统稳定的条件为（b）时，系统的速度误差系数为所以时稳态误差为（c） 从变化时，闭环系统的根轨迹的在平面上的部分是一个圆，圆心位于平面的原点，半径为因此，在处是根轨迹的分离点，分离点对应的根增益为得。时，闭环的根在正实轴上单位圆内，这时系统的阶跃响应是单调无振荡的。7-22采样控制系统如图7.59所示，采样周期秒，数字调节器为调节器，即图7.

47、59 习题7-22图（a）试写出被控对象的脉冲传递函数和系统的开环脉冲传递函数。（b）为使成为系统闭环的一对共轭极点，给出应满足的条件。（c）应用（b）中给出的条件求出和的取值。解：（a）被控对象的脉冲传递函数为调节器的脉冲传递函数为系统的开环传递函数为（b）得到期望的闭环极点，应满足的相角条件和幅值条件分别为（c）从相角条件有得，故。将结果代入到幅值条件有得，于是有，。7-23脉冲传递函数分母多项式的阶次与分子多项式的阶次之差称为它的相对阶次。一个离散环节如果它当前拍的输出只是当前拍和过去拍输入，以及过去拍输出的函数，这个环节就称为是因果的。显然，当脉冲传递函数的相对阶数，它代表的环节就是因

48、果的。实际中被控对象的脉冲传递函数都是因果的。在图7.60所示的采样控制系统中，设串联调节器和反馈调节器都是因果的，试证明系统闭环脉冲传递函数的相对阶数总大于等于被控对象的相对阶数。图7.60 习题7-23图解：将脉冲传递函数改写成如下形式式中，和表示的多项式，表示传递函数的相对阶数。将控制器、被控对象、反馈通路的脉冲传递函数都表示成上面的形式，有则闭环脉冲传递函数为显然，闭环脉冲传递函数的相对阶数等于，。7-24采样控制系统如图7.61所示，采样周期秒，试设计数字调节器，实现（a）阶跃输入下的最小拍控制。（b）斜坡输入下的最小拍控制。（c）抛物线输入下的最小拍控制。（d）最小拍设计只适用于被

49、控对象的脉冲传递函数为最小相位的情况，用根轨迹方法解释其原因。图7.61 习题7-24图解：被控对象的脉冲传递函数为它是最小相位脉冲传递函数。（a）阶跃输入下的最小拍控制器为（b）斜坡输入下的最小拍控制器为（c）抛物线输入下的最小拍控制器为（d）如果有不稳定的零、极点之间的对消，对消的零、极点对应退化为一点的闭环根轨迹，即闭环必然有不稳定的特征根，这将导致系统的不稳定。7-25 被控对象环节如图7.62所示。图7.62 习题7-25图（a）试求它的脉冲传递函数。（b）给定采样周期、几组参数值，验证（a）中得到的脉冲传递函数的零点都是在单位圆内的。（c）证明对于任意的、，（b）中的结论总是对的。

50、解：（a）开环脉冲传递函数为查表得（b）略。（c）脉冲传递函数的零点为令则有当时，为型的极限，易得。当时，。此外，还有时即，单调升。所以即零点都在单位圆内。证毕。7-26采样控制系统如图7.63所示，采样周期秒。（a）试设计数字调节器使闭环脉冲传递函数。（b）对（a）中得到的设计，求脉冲传递函数，说明系统响应阶跃输入是有纹波的。（c）重新设计，使系统响应阶跃输入是无纹波的。图7.63 习题7-26图解：对象的脉冲传递函数令系统的闭环脉冲传递函数有（b）到的闭环脉冲传递函数为不是的多项式的形式，响应无法在有限拍内进入稳态，是有纹波系统（c）要实现无纹波设计，因为要使得是的多项式的形式，要求将的所

51、有零点作为它的因子。被控对象有一拍滞后，因此也必以作为它的因子，故设另外，到的闭环脉冲传递函数为首项为的的阶多项式，它必须包含的分母作为因子，故设因此得到即比较系数得到，。最后得到第八章 习题解答8-1考虑并回答下面的问题：（a）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？（b）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？（c）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？（d）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能产生稳定的自激振荡吗？解：（a）描述函数法只能用来研究非线性定常系统的特性，这要求非线性元件的特性不随时间发生变化。在用描述函数法研究非线性系统的自振特性时，要求在正弦输入下非线性特性的输出没有直流分量，这要求非线性元件的特性是斜对称的。（b）一般情况下用代数方程描述的非线性特性是无记忆的，根据非线性环节当前的输入就