第二章 2.3 第2课时

1、.第2课时圆与圆的位置关系学习目的1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数断定方法与几何断定方法，可以利用上述方法断定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵敏处理问题的方法和它的优越性知识点两圆位置关系的断定考虑圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含可根据圆心距与两圆半径的和差关系断定梳理两圆位置关系的断定两圆C1：xx12yy12r，C2：xx22yy22r，那么圆心距d|C1C2|.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0个d>r1r2两圆内含d

2、<|r1r2|两圆相交2个|r1r2|<d <r1r2两圆内切1个d|r1r2|两圆外切dr1r2特别提醒：1仅从圆与圆的交点个数断定是不科学的，如有1个交点，就不能断定是内切还是外切，应再结合图像断定2断定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的断定3一般情况下，我们尽量选择利用几何法进展判断，以减少运算量，进步解题的速度类型一两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断例1圆M：x2y22ay0a0截直线xy0所得线段的长度是2，那么圆M与圆N：x12y121的位置关系是A内切 B相交C外切 D相离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案B解析由得两交点

3、分别为0,0，a，a圆M截直线所得线段的长度为2，2，又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2y224，圆心为M0,2，半径为r12.又圆N：x12y121，圆心为N1,1，半径为r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|3，两圆相交反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤1将两圆的方程化为标准方程假设圆方程已是标准形式，此步骤不需要2分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.3求两圆的圆心距d.4比较d与|r1r2|，r1r2的大小关系5根据大小关系确定位置关系跟踪训练1圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，那么这两个圆的公切线的条数为A1或3

4、 B4 C0 D2考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案D解析由圆C1：x12y221，圆C2：x22y12，得C11，2，C22，1，|C1C2|.又r11，r2，那么r1r2|C1C2|r1r2，圆C1与圆C2相交故这两个圆的公切线共2条命题角度2两圆的位置关系求参数例2当a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230：1外切；2相交；3相离考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围解将两圆方程写成标准方程，那么C1：xa2y229，C2：x12ya24.两圆的圆心和半径分别为C1a，2，r13，C21，a，r22.设两圆的

5、圆心距为d，那么d2a122a22a26a5.1当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.2当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a2.3当d5，即2a26a525时，两圆相离，此时a2或a5.反思与感悟1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径；计算两圆圆心的间隔 d；通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法断定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单明晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系跟踪训练2假设圆C1：x2y216与圆

6、C2：xa2y21相切，那么a的值为A±3 B±5C3或5 D±3或±5考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d|a|.当两圆外切时，有|a|415，a±5；当两圆内切时，有|a|413，a±3.类型二两圆的公共弦问题例3两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.1判断两圆的位置关系；2求公共弦所在的直线方程；3求公共弦的长度考点圆与圆的位置关系题点两圆公共弦长问题解1将两圆方程配方化为标准方程，那么C1：x12y5250，C2：x12y1210，圆C1的圆心坐标为1，5

7、，半径为r15，圆C2的圆心坐标为1，1，半径为r2.又|C1C2|2，r1r25，|r1r2|5|，|r1r2|<|C1C2|<r1r2，两圆相交2将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x2y40.3方法一由2知圆C1的圆心1，5到直线x2y40的间隔 为d3，公共弦长为l222.方法二设两圆相交于点A，B，那么A，B两点满足方程组解得或|AB|2.即公共弦长为2.反思与感悟1当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法假设圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，那么两圆公共弦所在的直线方程为D1D2xE1E2yF1F20.2公共弦长的求法代数法

8、：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的间隔 公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练31两圆相交于两点A1,3和Bm，1，两圆圆心都在直线xyc0上，那么mc的值为_考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案3解析由题意知直线AB与直线xyc0垂直，kAB×11，即1，得m5，AB的中点坐标为3,1又AB的中点在直线xyc0上，31c0，c2，mc523.2求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：x12y12截得的弦长考点圆与圆的位置关系题点两

9、圆公共弦长问题解由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10.又圆C3的圆心坐标为1,1，其到直线l的间隔 为d，由条件知，r2d2，所以弦长为2×.类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过两圆交点的圆的方程解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6x2y24y601，即x2y2xy60，所以圆心坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.方法二由得两圆公共弦所在直线的方程为yx.由解得所以两圆

10、x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为A1，1，B3,3，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y1x1由得即所求圆的圆心为3，1，半径为4.所以所求圆的方程为x32y1216.反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF201，然后用待定系数法求出即可跟踪训练4求过直线xy40与圆x2y24x2y40的交点且与直线yx相切的圆的方程考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过直线与圆交点的圆的方程解设所求圆的方程为x2y24x2y4xy40.联立得x21x210.因为所求圆与直线yx相切，所以0，即12810，解得3，故所求圆的方程为

11、x2y27xy80.1两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是A内切 B相交C外切 D相离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案B解析圆x2y210的圆心为C10,0，半径为r11，圆x2y24x2y40的圆心为C22，1，半径为r23，两圆的圆心距为d|C1C2|，又r2r12，r1r24，所以r2r1<d<r1r2，故两圆相交2圆C1：x2y21与圆C2：x2y321的内公切线有且仅有A1条 B2条C3条 D4条考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案B解析因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2.3圆x2y24x6y

12、0和圆x2y26x0交于A，B两点，那么AB的垂直平分线的方程是Axy30 B2xy50C3xy90 D4x3y70考点圆与圆的位置关系题点两圆公共弦所在直线的方程答案C解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心2，3代入，即可排除A，B，D.4以C4，3为圆心的圆与圆O：x2y21相切，那么圆C的方程是_考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案x42y3216或x42y3236解析设圆C的半径为r，圆心距为d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4；当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆的方程是x42y3216或x42y3336.5假设圆x2y24与圆x2y22ay60a0的公共弦长为2，那

13、么a_.考点圆与圆的位置关系题点两圆公共弦弦长问题答案1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y，圆心0,0到直线y的间隔 为d1，所以a1.1判断两圆的位置关系的方法1由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用2根据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系判断2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的间隔 求弦心距，再结合勾股定理求弦长.一、选择题1圆x32y221与圆x2y214x2y140的位置关系是A外切 B内切C相交 D相离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置

14、关系答案B解析圆x2y214x2y140变形为x72y1236，圆心坐标为7,1，半径为r16；圆x32y221的圆心坐标为3，2，半径为r21，所以圆心距d561r1r2，所以两圆内切2假设圆C1：x22ym29与圆C2：xm2y124外切，那么m的值为A2 B5C2或5 D不确定考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案C解析两圆的圆心坐标分别为2，m，m，1，两圆的半径分别为3,2，由题意得32，解得m2或5.3设r0，圆x12y32r2与圆x2y216的位置关系不可能是A相切 B相交C内切或内含 D外切或相离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案D解析两圆的

15、圆心距为d，两圆的半径之和为r4，因为r4，所以两圆不可能外切或相离，应选D.4假设圆C1：x2y2r2与圆C2：x2y22x4y40有公共点，那么r满足的条件是Ar1 Br1C|r|1 D|r|1考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案C解析由C2：x2y22x4y40，得x12y221，故圆C2的圆心坐标为C21,2，r21.两圆圆心之间的间隔 |C1C2|.两圆有公共点，|r1| r1，1r1，即1r1，|r|1.5到点A1,2，B3，1的间隔 分别为3和1的直线有A1条 B2条C3条 D4条考点题点答案D解析到点A1,2的间隔 为3的直线是以点A为圆心，3为半径的

16、圆的切线；同理，到点B的间隔 为1的直线是以点B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|5.半径之和为314，因为5>4，所以圆A和圆B相离，因此它们的公切线有4条6点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，那么|PQ|的最小值是A5 B1C35 D35考点题点答案C解析圆C1：x2y28x4y110，即x42y229，圆心为C14,2，r13；圆C2：x2y24x2y10，即x22y124，圆心为C22，1，r22.|C1C2|3>r1r2，故两圆相离，所以|PQ|的最小值为|C1C2|r1r

17、235.7半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2y321内切，那么此圆的方程是Ax42y626Bx42y626或x42y626Cx42y6236Dx42y6236或x42y6236考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案D解析由题意可设圆的方程为xa2y6236，由题意，得5，所以a216，所以a±4.二、填空题8假设圆x2y22axa22和x2y22byb21相离，那么a，b满足的条件是_考点圆与圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案a2b232解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为a,0，和0，b，1.因为两圆相离，所以1，即a2b232.9圆C1：x2y

18、22x80与圆C2：x2y22x4y40的公共弦长为_考点圆与圆的位置关系题点两圆公共弦长问题答案2解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为xy10，又圆C1的圆心C11,0到直线l的间隔 为d，圆C1的半径为r13，所以圆C1与圆C2的公共弦长为222.10集合Ax，y|x2y24，Bx，y|x32y42r2，其中r>0 ，假设AB中有且仅有一个元素，那么r的值是_考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案3或7解析AB中有且仅有一个元素，圆x2y24与圆x32y42r2相切当两圆内切时，由|2r|，解得r7；当两圆外切时，由2r，解得r3.r3或7.11经过直线xy10

19、与圆x2y22的交点，且过点1,2的圆的方程为_考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过直线与圆交点的圆的方程答案x2y2xy0解析由可设所求圆的方程为x2y22xy10，将1,2代入，可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.三、解答题12圆A的方程为x2y22x2y70，圆B的方程为x2y22x2y20，判断圆A和圆B是否相交假设相交，求过两交点的直线的方程；假设不相交，说明理由考点求过圆与圆交点的直线方程题点求过两圆交点的直线的方程解圆A的方程可写为x12y129，圆B的方程可写为x12y124，两圆心之间的间隔 满足32<|AB|2<32，即两圆心之间的间隔 小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值，两圆相交将圆A的方程与圆B的方程左、右两边分别相减，得4x4y50，即4x4y50为过两圆交点的直线的方程13求过两圆C1：x2y24x2y10与C2：x2y26x0的交点且过点2，2的圆的方程考点求过直线与圆或圆