第六章 万有引力与航天

1、.第六章 万有引力与航天一、多项选择题1如下图，a为地面上的待发射卫星，b为近地圆轨道卫星，c为地球同步卫星三颗卫星质量一样三颗卫星的线速度分别为va，vb，vc，角速度分别为a，b，c，周期分别为Ta，Tb，Tc，向心力分别为Fa，Fb，Fc，那么A acb B FaFcFbC vavcTb【答案】AD【解析】ACD：同步卫星与地球自转同步，那么TaTc、ac；据v=r得：vcva。地球同步卫星和近地卫星同是卫星，据GMmr2=mv2r=mr2=mr42T2可得，vbvc、bc、TbTc。故AD两项正确，C项错误。B：万有引力F=GMmr2，三卫星质量相等，轨道半径ra=rbFc。故B项错误

2、。点睛：区分在地面上的物体和近地圆轨道卫星，两者只有转动半径相等；受力不同，线速度、角速度、周期均不同。2美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行设每个星体的质量均为M，忽略其它星体对它们的引力作用，那么A 环绕星运动的角速度为=5GM4R3B 环绕星运动的线速度为5GM4RC 环绕星运动的周期为T=4R35GMD 环绕星运动的周期为T=2R3GM【答案】AC【解析】【分析】对于某一个环绕星而言，受到两个星的万有引力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力【详

3、解】对某一个环绕星：GM2R2+GM24R2=Mv2R=MR2=M42T2R，解得：解得：v=5GM4R，=5GM4R3，T=4R35GM，应选AC。【点睛】解决此题的关键掌握万有引力提供向心力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力，并且列出相应的方程进展求解即可。3如下图，A是地球的同步卫星，B是位于赤道平面内的近地卫星，C为地面赤道上的物体，地球半径为R，同步卫星离地面的高度为h，那么A A、C加速度的大小之比为1+hRB A、B加速度的大小之比为(R+hR)2C A、B、C线速度的大小关系为vBvAvCD A、B、C加速度的大小关系为aAaBaC【答案】AC【解析】1同步卫星A

4、和赤道上的物体C，它们转动的角速度和地球一样，故根据向心加速度的计算公式，aA=2R+h，aC=2R，故aA:aC=1+hR，A正确；2根据卫星环绕模型，万有引力提供向心力，那么GMmAR+h2=mAaA，得GMR+h2=aB，同理：GMR2=aB，故aA:aB=RR+h2，B错误；3对于A和C，根据v=r可知，vA=(R+h)，vC=R,那么vAvC；对于A和B，它们受到的地球万有引力提供向心力，即GMmAR+h2=mAvA2R+h，得vA=GMR+h，同理，vB=GMR，那么它们线速度的大小关系为vAvB，故vCvAvB，所以选项C正确；4由1和2可知，aCaAaB，选项D错误。故此题选A

5、C【点睛】同步卫星A和赤道上物体C具有一样的角速度，故它们得线速度可以用v=r比较，向心加速度可以用a=2r比较；同步卫星A和近地卫星B运行时，可利用万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律来比较它们的线速度大小关系，向心加速度大小关系。4地球半径为R，静置于赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a，地球同步卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r ，向心加速度大小为a0，万有引力常量为G，那么 A 向心加速度之比aa0=r2R2B 向心加速度之比aa0=RrC 地球质量M=a0r2GD 地球质量M=aR2G【答案】BC【解析】AB、地球赤道上的物体与同步卫星具有一样的角速度，根据a=2r 可知向心加速

6、度之比aa0=Rr，故A错;B正确CD、地球赤道上的物体随地球自转时有GMmR2-mg=ma 地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，那么由GMmr2=ma0 结合两个公式可解得地球质量M=a0r2G，故C正确；D错误；应选BC点睛：解决此题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵敏运用，注意赤道上的物体不是靠万有引力提供向心力 5太空中在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种根本的构成形式：一种是直线三星系统A三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，某直线

7、三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的间隔 都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等，引力常量为G，那么 A 三星系统B的运动周期为T=2RR5GmB 三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为=12R5GmRC 三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v=5Gm4RD 三星系统B任意两颗星体中心间的间隔 为L=R【答案】BC【解析】BC、对三星系统A:三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力

8、：Gm2R2+Gm2(2R)2=m2R=mv2R解之得：=12R5GmR，v=5Gm4R故周期为T=2Rv=4RR5Gm，故B正确，C正确；A. 三星系统A外侧的两颗星作匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星作匀速圆周运动的周期相等，故：T=T=4RR5Gm，故A错误；D. 三星系统B是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm2L2cos300=mLcos300(2T)2 由于两种系统的运动周期一样,即T=4RR5Gm故解得：L=3125R，故D错误；应选：BC62019年1月11日，中国正式立项首次火星探测任务，并将于2020

9、年左右发射一颗火星探测卫星。假定颗探测卫星绕火星做匀速圆周运动的速度大小为v，这颗卫星在地球外表的发射速度为v0，那么以下关系正确的选项是A v跟地球的质量与半径均无关 B v=7.9km/sC 7.9km/sv011.2km/s D 11.2km/sv01，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为L，质量均为m，据此推测，暗物质的质量为A B C D 【答案】C【解析】设星球的质量均为m，轨道半径为，周期为T，双星运动过程中万有引力提供向心力： ，解得： ；令暗物质的质量为，对星球由万有引力提供向心力： ，解得： 。根据，联立以上可得： 。故C

10、正确，ABD错误。11我国首枚探月卫星“嫦娥一号在绕地球轨道上第三次近地点加速变轨后飞向月球，在到达月球附近时必须经刹车减速才能被月球俘获而成为月球卫星，关于“嫦娥一号的以下说法正确的选项是A最后一次在近地点加速后的卫星的速度必须等于或大于第二宇宙速度B卫星在到达月球附近时需刹车减速是因为卫星到达月球时的速度大于月球卫星的第一宇宙速度C卫星在到达月球附近时需刹车减速是因为卫星到达月球时的速度大于月球卫星的第二宇宙速度D假设绕月卫星要返回地球，那么其速度必须加速到大于或等于月球卫星的第三宇宙速度【答案】C【解析】当卫星速度大于或等于第二宇宙速度时，卫星将脱离地球而成为太阳系的人造行星，“嫦娥一号

11、飞向月球时没有挣脱地球的引力，A错；卫星到达月球附近时需刹车减速才能被月球俘获，说明其到达月球附近时速度一定大于或等于月球卫星的第二宇宙速度，假设不减速就会脱离月球，B错C对；卫星要从月球返回地球，那么其速度应加速到大于或等于月球卫星的第二宇宙速度，D错试题以“嫦娥一号为背景，考察考生对宇宙速度的理解、逆向思维才能和知识迁移类比才能，从卫星的“脱离去分析被“俘获，分析判断时一定要分清天体的层次：脱离地球成为太阳的人造行星；脱离月球那么成为地球的卫星对以“嫦娥一号为背景的试题，还可以以变轨、刹车方法等考察圆周运动的条件、向心加速度、动量守恒等知识点，同时考察?考试大纲?要求的理解才能12据报道，

12、美国天文学家斯科特高迪发现了第二个“太阳系。新发现的“太阳系拥有缩小版本的“太阳，该恒星大小只有太阳的一半。而其两个行星中，较小的行星运行轨道与其恒星的间隔 大概是较大行星与恒星间隔 的两倍，就像土星轨道到太阳的间隔 是木星的两倍一样。据测算，“小木星的质量是木星的70%，“小土星是土星质量的90。根据以上信息判断 A土星运动周期是木星的倍B“小土星运动周期是“小木星的倍C的比值，太阳系是新“太阳系的2倍D的比值，太阳系是新“太阳系的【答案】ABC【解析】 根据万有弓警力定律得由于土星轨道到太阳的间隔 是木星的两倍，所以土星运动周期是木星的倍，A正确。同理对于“小上星运动周期也是“小木星的倍，

13、B正确。在同一天体系统中的比值只与中心大体的质量有关，故C也正确。13我国首颗量子科学实验卫星“墨子已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星高度约为36000千米，它将使北斗系统的可靠性进一步进步。关于卫星以下说法中正确的选项是A 这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/sB 通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方C 量子科学实验卫星“墨子的周期比北斗G7小D 量子科学实验卫星“墨子的向心加速度比北斗G7小【答案】C【解析】根据G

14、mMr2=mv2r，知道轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以静止轨道卫星和中轨卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度。故A错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道正上方。故B错误；根据GmMr2=m42T2r，得T=2r3GM，所以量子科学实验卫星“墨子的周期小。故C正确；根据GmMr2=ma，得a=GMr2，半径小的量子科学实验卫星“墨子的向心加速度比北斗G7大。故D错误。应选C。【点睛】解决此题的关键掌握万有引力提供向心力GmMr2=mv2r=ma=m42T2r，会根据轨道半径的关系比较向心加速度、线

15、速度和周期。14嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回三步走。我国发射的“嫦娥三号卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球外表高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。那么以下说法正确的选项是A 物体在月球外表自由下落的加速度大小为42(R+h)3T2R2B “嫦娥三号绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为2RTC 月球的平均密度为(R+h)3GT2R3D 在月球上发射月球卫星的最小发射速度为2RTR+hR【答案】A【解析】在月球外表，重力等于万有引力，那么得：GMmR2=mg，对于“嫦娥三号卫星绕月

16、球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得：GMm(R+h)2=m42T2R+h，联立解得：g=42R+h3T2R2，故A正确；“嫦娥三号卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r=R+h，那么它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为v=2rT=2R+rT，故B错误；由GMm(R+h)2=m42T2（R+h），得：M=42(R+h)3GT2，月球的平均密度为=M43R3，解得：=3R+h3GT2R3，故C错误；设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，那么有：GMmR2=mv2R，解得：v=gR=2R+hTR+hR，故D错误；应选A。【点睛】根据重力等于万有引力可求得物体在月球外表自由下落的加速度大小；“

17、嫦娥三号卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r=R+h，由公式v=2rT求解线速度的大小，根据万有引力等于向心力列式，可求得月球的质量，根据密度公式求解月球的平均密度；由重力等于向心力，可求得在月球上发射卫星的最小发射速度。15由两颗恒星组成的双星系统，各恒星以一定的速率绕垂直于两星连线的轴转动，两星与轴的间隔 分别为r1和r2，转动的周期为T，那么。A 这两颗恒星的质量一定相等 B 这两颗恒星的质量之和为42(r1+r2)3GT2C 这两颗恒星的质量之比为m1m2=r1r2 D 其中有一颗恒星的质量为42r1(r1+r2)3GT2【答案】B【解析】对恒星m1有：Gm1m2(r1+r2)2=m

18、142T2r1，解得：m2=42r1(r1+r2)2GT2，同理可得：m1=42r2(r1+r2)2GT2，因为r1和r2不一定相等，故两者质量不一定相等；两者质量相加得：m1+m2=42(r1+r2)3GT2；两者质量之比为m1m2=r2r1，故ACD错误，B正确；应选B。【点睛】双星系统中两个恒星由互相间的万有引力提供向心力，由此列式，可以求得各自的质量表达式，以及质量之比16对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如下图图像，那么可求得地球质量为引力常量为GA 42aGb B 42

19、bGaC Ga42b D Gb42a【答案】A【解析】由万有引力提供向心力有：GMmr2m42rT2，得：r3GM42T2，由图可知：r3T2=GM42=ab，所以地球的质量为：M42aGb，故A正确、BCD错误。应选A。三、解答题17在某个半径为R=2106m的行星外表，对于一个质量m0=1kg的砝码，用弹簧称量，其重力大小G0=8N。那么：1证明：GM=g0R2其中，M为该行星的质量，g0为该行星外表的重力加速度。2求该行星的第一宇宙速度。3假设一卫星绕该行星做匀速圆周运动，且测得该卫星绕行N圈所用时间为t，那么该卫星离行星外表的高度是多少？最终结果用R、G0、m0、N、t等字母表述，不必

20、用详细数字代算。【答案】1见解析23【解析】11分1设一质量m0的物体静止的放置于该行星外表上，行星的引力提供其重力，即：2分2由万有引力定律和向心力公式得：2分又1分2分3设该卫星距行星外表高度为h，由题意得：1分2分联立各式得1分18我国已实验探月方案，同学们也对月球有了更多的关注1假设地球半径为R，地球外表的重力加速度为g，月球绕地球运动的轨道半径r,月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的周期为T2假设宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球外表某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月【答案】1T42

21、r3gR22M月=2V0R月2/Gt【解析】试题分析：1根据月球受到的引力等于向心力，在地球外表重力等于万有引力列式求解；2先根据竖直上抛运动的知识求出月球外表的重力加速度，再根据月球外表重力等于万有引力列式求解1设地球的质量为M，设由月球绕地球运动的周期为T万有引力提供向心力，那么有GMmr2=m42T2r在地球外表有：mg=GMmR2联立解得：T=42r3gR22设月球外表的重力加速度为g月，由竖直上抛运动规律得：t=2v0g月解得：g月=2v0t在月球外表有：mg月=GMmR2联立解得：M月=2v0R2Gt【点睛】此题关键是要抓住星球外表处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，运用竖直

22、上抛运动的知识求出重力加速度，以及卫星所受的万有引力提供向心力进展列式求解192019年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。中国载人航天工程已经顺利完成“三步走开展战略的前两步，中国航天空间站预计2022年建成。建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。地球质量为M，空间站的质量为m0，轨道半径为r0，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。1求空间站线速度v0的大小；2规定距地球无穷远处引力势能为零，质量为m的物体与地心间隔 为r时引力势能。由于太空中宇宙尘埃的阻力

23、以及地磁场的电磁阻尼作用，长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径渐渐减小到r1仍可看作匀速圆周运动，为了修正轨道使轨道半径恢复到r0，需要短时间开动发动机对空间站做功，求发动机至少做多少功。【答案】1 GMr0 2 GMm02r1-GMm02r0【解析】1万有引力提供向心力，GMm0r02=m0v02r0v0=GMr0 2设宇航员质量为m，受到支持力为N，由牛顿第二定律GMmr02-N=mv02r0v0=GMr0 解得 N=0由牛顿第三定律可知，宇航员对座椅的压力大小等于零；3轨道半径为r0 ，GMm0r02=m0v02r0 时动能 Ek=12m0v02=GMm02r0 引力势能Ep=-GMm0

24、r0 机械能E=EP+Ek=-GMm02r0轨道半径为r1时，机械能E1=-GMm02r1由功能关系，发动机做功的最小值W=E-E1=GMm02r1-GMm02r020某未知天体的半径是地球半径的4倍，将一小球从距未知天体外表h高度处由静止释放做自由落体运动，经时间t后落回未知天体外表，地球外表的重力加速度为g，地球的第一宇宙速度为v0，求：1未知天体质量与地球质量之比；2未知天体的第一宇宙速度【答案】1未知天体质量与地球质量之比为32hgt2 ；2未知天体的第一字宙速度2v0t2hg 【解析】1根据自由落体求得星球外表的重力加速度，再根据重力与万有引力相等求得天体质量与地球质量之比；2根据万

25、有引力提供圆周运动向心力求得第一宇宙速度1在未知天体外表h高度处自由落体经时间t落回地面，由h=12gt2得该天体外表的重力加速度g=2ht2再根据万有引力与重力相等，那么对于地球有：mg=GM地mR地2，对于天体有：mg=GM天m(4R地)2由此可得：G天G地=16gg=32hgt22以第一宇宙速度运动的物体恰好可以绕天体做匀速圆周运动，有：GmMR2=mv2R，那么天体外表的第一宇宙速度v=GMr因此天体与地球外表的第一宇宙速度之比为：v天v地=GM天R天GM地R地=M天M地R地R天=2t2hg，因为地球的第一宇宙速度为v0，所以天体的第一宇宙速度为2v0t2hg【点睛】解决此题的关键是在

26、星球外表不考虑自转的情况下，万有引力与重力大小相等，第一宇宙速度是绕星球外表圆周运动的速度，即此时满足重力等于万有引力，并恰好提供圆周运动的向心力21假设月球半径为R，月球外表的重力加速度为g0,如下图，“嫦娥三号飞船沿距月球外表高度为3R的圆形轨道运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动1飞船在A点点火前的动能是，点火变轨进入椭圆轨道在A点的动能是，试比较和的大小；2求飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比；3求飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间。【答案】1 22：1 3【解析】试题分析1飞船在A点处由圆轨道进入椭圆轨道，做近心运动，故需要

27、的向心力要小于万有引力，所以点火减速，故变轨后的动能更小；2根据万有引力提供向心力求出线速度的表达式，再根据表达式进展比较；3根据万有引力提供向心力和黄金代换公式联立即可求出周期。1飞船在A点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故；2飞船在轨道、轨道都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得： 解得： 故飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比为3飞船在轨道绕月球运动，根据万有引力提供向心力得： 解得： 在月球外表有： ，解得： 故周期为【点睛】卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定，在月球外表，万有引力等于重力，

28、在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量。22宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：1求星体做匀速圆周运动的轨道半径；2假设实验观测得到星体的半径为R，求星体外表的重力加速度；3求星体做匀速圆周运动的周期【答案】123【解析】1星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，故四颗星的轨道半径为： ；2根据万有引力等于重力有，

29、那么；3根据万有引力提供向心力解得。点睛：解决此题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力。23发射宇宙飞船的过程要抑制引力做功，将质量为m的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r处的过程中，引力做功为W，飞船在距地球中心为r处的引力势能公式为Ep，式中G为引力常量，M为地球质量.假设在地球的外表发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处即地球引力作用范围之外，这个速度称为第二宇宙速度也称逃逸速度.1试推导地球第二宇宙速度的表达式地球的半径为R.2逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M1.981030 kg，求它可能的最大半径？光在真空的速度C=3.0108 m/s，G