医学统计学. 正态分布及其应用

1、.频数分布表、图频数分布表、图分组划计分组划计原始资料原始资料分布分布类型类型算术均数与标准差算术均数与标准差几何均数与对数值几何均数与对数值标准差的反对数标准差的反对数中位数与四分位数间距中位数与四分位数间距不对称不对称对称对称1. 流行病与卫生统计学系流行病与卫生统计学系何保昌何保昌.3.4此图的纵坐标为频率，横坐标为肺活量，称此图为频率直方图此图的纵坐标为频率，横坐标为肺活量，称此图为频率直方图每一个直方条的面积每一个直方条的面积=频率，各组段的频率之和频率，各组段的频率之和=1，所以这个直方，所以这个直方图的面积为图的面积为1如果样本量越大，每个组段的频率就越稳定，也就趋向概率。如果样

2、本量越大，每个组段的频率就越稳定，也就趋向概率。由此我们可得到由此我们可得到:随机抽一个随机抽一个9岁男孩岁男孩,其肺活量落在各个组段的概率其肺活量落在各个组段的概率.5假定各组段的概率如下假定各组段的概率如下15.005.010.0)L15.2L89.1(0666.00333.00333.0)L15.2(0417.0)L11.1L98.0(肺活量肺活量肺活量PPP由此可知由此可知: :如果一个区间由若干组段构成如果一个区间由若干组段构成, ,计算肺活量落在计算肺活量落在某个区间的概率等于计算这个区间的中各个直方条图的面某个区间的概率等于计算这个区间的中各个直方条图的面积之和积之和. .只能计

3、算给定区间概率只能计算给定区间概率, ,不能计算任意区间概率不能计算任意区间概率. .对于上述直方图对于上述直方图, ,组距越小组距越小, ,组段越多组段越多, ,能够计算的概率区能够计算的概率区间就越多间就越多, ,当组距逐渐减小当组距逐渐减小, ,上述计算方法仍然成立上述计算方法仍然成立. .7 随人数逐渐增多，组段不断分随人数逐渐增多，组段不断分细，则频数分布图中的直条逐渐变细，则频数分布图中的直条逐渐变窄，就会逐渐形成一条高峰位于中窄，就会逐渐形成一条高峰位于中央央(均数所在处均数所在处)、两侧逐渐降低且左、两侧逐渐降低且左右对称、不与横轴相交的光滑曲线右对称、不与横轴相交的光滑曲线,

4、 ,近似于数学上的正态分布曲线。近似于数学上的正态分布曲线。 .8 在医学卫生领域中，许多变量的频在医学卫生领域中，许多变量的频数分布是中间数分布是中间( (靠近均数处靠近均数处) )频数多，两边频数多，两边频数少，且左右对称。如频数少，且左右对称。如这种变量的频数分布这种变量的频数分布规律可用概率论中的一种重要的随机变规律可用概率论中的一种重要的随机变量分布量分布正态分布正态分布(Normal distribution)(Normal distribution)加加以描述。以描述。 .9.10 正态分布曲线呈对称的钟形，正态分布曲线呈对称的钟形，在均数处最高，两侧逐渐低下，两在均数处最高，两

5、侧逐渐低下，两端在无穷远处与横轴无限接近。端在无穷远处与横轴无限接近。 若变量若变量 x 的频率曲线对应于数的频率曲线对应于数学上的正态分布曲线，则称该变量学上的正态分布曲线，则称该变量服从正态分布。服从正态分布。 .11正态分布曲线的密度函数为：正态分布曲线的密度函数为： -X X+ 与与X范围内曲线下的面积相等，各占范围内曲线下的面积相等，各占50%；.16曲线下在区间曲线下在区间(，)的面积为的面积为68.27%，曲线下在区间曲线下在区间(1.64，1.64)的面积为的面积为90%，曲线下在区间曲线下在区间(1.96，1.96)的面积为的面积为95%，曲线下在区间曲线下在区间(2.58，

6、2.58)的面积为的面积为99%。.1768.27%士士范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的68.2768.27，也，也就是说有就是说有68.2768.27的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。.18士士1.641.64范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9090，也就是，也就是说有说有9090的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。5%5%90%.192.5%2.5%95%士士1.961.96范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9595，也就是说有也就是说有9595的变量值分布在此范围内。的变量值分布在

7、此范围内。.200.5%0.5%99%士士2.582.58范围内的面积占正态曲线下面积的范围内的面积占正态曲线下面积的9999，也就是说有也就是说有9999的变量值分布在此范围内。的变量值分布在此范围内。.21曲线下的面积的计算曲线下的面积的计算 对于任意一个区间的曲线下面积，在知道变对于任意一个区间的曲线下面积，在知道变量值量值x对应的概率密度函数对应的概率密度函数f (x)后，都可以后，都可以根据微积分的方法求出其面积的大小根据微积分的方法求出其面积的大小 ()( )d?baF xP axbf xx ()( )d?baF xP axbf xx.22实际工作中，常需要了解正态曲实际工作中，常

8、需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概分布）或观察值落在该区间的概率。对于不同的参数率。对于不同的参数和和会产会产生不同位置、不同形状正态分布，生不同位置、不同形状正态分布，（x1，x2）范围内的面积也不同，）范围内的面积也不同，计算起来很麻烦。计算起来很麻烦。.23为了计算方便，对于正态或近似正态为了计算方便，对于正态或近似正态分布的资料，只要得出均数和标准分布的资料，只要得出均数和标准差，可通过标准转化，转化成求标差，可

9、通过标准转化，转化成求标准正态曲线下横轴自准正态曲线下横轴自-到到z的面积。的面积。为了便于应用，统计学家按为了便于应用，统计学家按(z)编编制了标准正态分布曲线下的面积表，制了标准正态分布曲线下的面积表，由此表可查出曲线下某区间的面积，由此表可查出曲线下某区间的面积，这样就可对符合正态分布资料的频这样就可对符合正态分布资料的频数分布作出估计。数分布作出估计。 三、标准正态分布三、标准正态分布.241. 标准化变换标准化变换 若若 x 服从正态分布服从正态分布 N ( ， 2) ，则，则 z就就服从均数为服从均数为0、标准差为、标准差为1的正态分布，的正态分布，这种正态分布称为标准正态分布或这

10、种正态分布称为标准正态分布或 z 分分布，记为布，记为 N (0，12)，这一变换也称为标这一变换也称为标准化变换准化变换。xZ.25N(,2)N（0，1）从一般的正态分布转变为标准的正态分布从一般的正态分布转变为标准的正态分布.26 标准正态分布的密度函数为标准正态分布的密度函数为221()2ZXe .27对上式求积分可得到标准正态变量对上式求积分可得到标准正态变量Z的分布函的分布函数。数。由于积分计算繁琐，统计学家按标准正态分布由于积分计算繁琐，统计学家按标准正态分布的累积概率分布函数的累积概率分布函数 (-Z)编制了附表编制了附表2（P315），标准正态分布曲线下的面积，由表），标准正态

11、分布曲线下的面积，由表可查出曲线下某区间的面积。可查出曲线下某区间的面积。.280Z.29标准正态分布查表标准正态分布查表-2.62Z=-2.62z0.00 0.01 0.02-3.00.00130.00130.0013-2.90.00190.00180.0018-2.80.00260.00250.0024-2.70.00350.00340.0033-2.60.00470.00450.0044-2.50.00620.00600.0059Standardized Normal Probability Table(p261)P=0.0044概率概率.30查附表查附表2时注意事项：时注意事项：曲线下

12、横轴上的总面积为曲线下横轴上的总面积为100%或或1；表中曲线下面积为表中曲线下面积为-到到Z的面积；的面积；对于服从正态分布的变量对于服从正态分布的变量x，先进行标准，先进行标准化变换（化变换（ ），然后借助标准正态分），然后借助标准正态分布表可得到任意布表可得到任意(x1, x2)范围内的面积或范围内的面积或频数比例。频数比例。XZ.31图4.7 查表法求标准正态曲线下面积示意图Z1 Z2.计算正态曲线下面积实例计算正态曲线下面积实例例例 4.21 已知已知z1=-1.76，z2=-0.25，欲求标准正态下，欲求标准正态下（-1.76 ， -0.25)范围的面积。范围的面积。 查表查表(-

13、1.76)=0.0392 ；(-0.25)=0.4013 则则D=(-0.25)- (-1.76)=0.3621(-z)-1z)(0z0z2性，即，可利用正态分布对称对于查；范围内面积，可以直接中，对于在附表.例例4.22已知已知z1=-1.20，z2=1.60，欲求标准正，欲求标准正态下（态下（-1.20 ， 1.60)范围的面积。范围的面积。 查表查表(-1.20)=0.1151 ；(1.60)=1-0.0548=0.9452则则 D=(1.60)-(-1.20)=0.8301.曲线下面积分布规律曲线下面积分布规律标准正态分布标准正态分布 正态分布正态分布 面积或概率面积或概率 -11 -

14、1.64-1.64 1.64 68.27% 90% -1.961.96 1.96 95% -2.582.58 2.58 99% .35.36.37.3811.2001.6721.580.298z 21.5001.6720.580.298z 21()( )0.28100.05710.223922.39%zzD .39.40.41.42 .43 单侧下限单侧下限-过低异常过低异常 单侧上限单侧上限-过高异常过高异常 双侧双侧-过高、过低均异常过高、过低均异常 单侧下限单侧下限异常异常正常正常单侧上限单侧上限异常异常正常正常 异常异常正常正常双侧下限双侧下限双侧上限双侧上限异常异常.44 XZSXZ

15、SXZS1lglglg()xxXZS.45表表4.6 参考值范围的制定参考值范围的制定 .46 X.47XX.48正常人病人假阳性率假阴性率病人.49X.501.641.6721.640.2981.183(L)XS.51.52.536 .43)263%95282(110 .80 .40)%95(L959595fnfiLP.54正常人病人假阳性率假阴性率 .55.56XX样本编号、取样时间XXX.57.5.如何判断一组数据是否符合正态分布：如何判断一组数据是否符合正态分布：1. 根据文献报道根据文献报道 例如：文献报道中学生的体重、肺活量服从正态例如：文献报道中学生的体重、肺活量服从正态分布，则可沿用文献的作法对数据进行处理。分布，则可沿用文献的作法对数据进行处理。2. 根据经验或专业知识判断：根据经验或专业知识判断： 例如：根据专业知识，同性别健康成人的红细胞例如：根据专业知识，同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数都近似正态分布，而正数、血红蛋白含量、