中考专题三最短路线问题(有答案)20150407

1、最短路线问题1、考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。2、原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。3、解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。以下主要对中考中“饮马问题”试题进行汇编，希望能对即将中考的同学们有所帮助。1、在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值）.ADEPBC2、如图所示，正方形的面积为1

2、2，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D3、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3（动点，作A关于BC的对称点A，连AD交BC于P，涉及勾股定理，相似）4、已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上关于y轴对称的抛物线yax2bxc经过A、D(3，2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线yax2bxc的解析式及点

3、P的坐标；ABO(第4题图)DxyABO(第28题图)Dxy(3)设M是y轴上的一个动点，求PMCM的取值范围5、如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点设点是平分线上的一个动点（不与点重合）（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标yOxPDB 6、一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式； 第6题（2）O为坐标

4、原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标7、已知：抛物线的对称轴为x=1,与轴交于两点，与轴交于点其中、。（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxyBOACxyBO8、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出

5、点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；4x22A8-2O-2-4y6BCD-44当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由提示：第（2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。 方法一，A关于x轴对称点A，要使AC+CB最短，点C应在直线AB上； 方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=145，即抛物线左移14

6、5单位；设抛物线左移b个单位，则A（-4-b,8）、B（2-b,2）。CD=2,B左移2个单位得到B（-b,2）位置，要使AD+C B最短，只要AD+DB最短。则只有点D在直线AB上。(2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44A (2)图)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB9、如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D,使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从

7、直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，“确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短”转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用；发现（）中直线与轴夹角为°很关键.10、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为

8、和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。 第（3）问是“三折线”转“直”问题 。 再思考-设计路线要根据需要设计，是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到

9、A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考虑一个方案路线，PAB。BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）11、 如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_12、定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则的值等于_；四边形为（ ）A平行四边形 B矩形C菱形 D正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后

10、，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为轴，OC所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处。（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在轴、轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。24. 如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O

11、（0，0），B（0，4），把AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到COD。 （1）求C、D两点的坐标； （2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。24.（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点顶点为，点为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范围；（3）若当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点、平移后对应的点分别记为，是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说

12、明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.答案如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为轴，OC所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处。（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在轴、轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。· 解：（1）E（3，1）；F（1，2）。（2）在RtEBF中，B=90º，

13、设点P的坐标为（0，），其中>0，顶点F（1，2），设抛物线解析式为     如图，当EF=PF时，EF2=PF2，解得（舍去）；。P（0，4），解得，抛物线解析式为。     如图，当EP=FP时，EP2=FP2，解得（舍去）。当EF=EP时，EP=，这种情况不存在。综上所述，符合条件的抛物线解析式是。（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小。如图，作点E关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点M、N，则点M、N就是所求点。，。，。又EF=，此时四边形MNFE的周长最小值是。解

14、：（1）E（3，1）；F（1，2）；（2）在RtEBF中，B=90°，所以EF=，设点P的坐标为（0，n），其中n0，因为顶点F（1，2），所以设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2（a0），如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，所以12+（n-2）2=5，解得n1=0（舍去），n2=4，所以P（0，4），所以4=a（0-1）2+2，解得a=2，所以抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2；如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，所以（2-n）2+1=（1-n）2+9，解得n=-（舍去）；当EF=EP时，EP=3，这种情况不存在。综上所述，符合条件的抛物线为y=2（x-1）2+2。

15、 （3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小。如图3，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求，所以E（3，-1）、F（-1，2），NF=NF，ME=ME，所以BF=4，BE=3，所以FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=5，又因为EF=，所以FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+。 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到COD。 （1）求C、D两点的坐标； （2）求

16、经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。24. 解：（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4 C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0）2分 （2）设所求抛物线的解析式为 由题意，得 解得，b=1，c=4 所求抛物线的解析式为4分 （3）只需求AF+CE最短 抛物线的对称轴为x=1 将点A向上平移至，则AF=A1E 作A1关于对称轴x=1的对称点 联结A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求 可求得A2C的解析式为6分 当x=1时， 点E的坐标为，点F

17、的坐标为8分24.（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点顶点为，点为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范围；（3）若当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点、平移后对应的点分别记为，是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【答案】：解:(1)代入,二次函数:得:, 解得:抛物线解析式为:. 对称轴为直线,代入则顶点.(2)如图所示，设抛物线与y轴交点，连接AD,BD由勾股定理得:, ,为直角三角形,.由图可得：当时，为钝角.抛物线关于轴对称对称，的对称点的坐标为：由图可得：当时，为钝角.综上所述：当或时，为钝角.（3）线段和的长是定值，要使四边形的周长最短，只要最短。如果将向右平移，显然有，不存在某个位置，使四边形的周长最短，应将线段向左平移。由题知