九年级培优二次函数与一元二次方程综合、线段最值专题辅导

1、多一点细心，少一点后悔。多一份勤奋，少一份后悔。 二次函数与一元二次方程综合、线段最值专题例1、若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A0B0或2C2或2D0，2或2例2、二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bxt=0（t为实数）在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（） At1B1t3C1t8D3t8 例2图 例3图 例4图例3、如图，一次函数y1=kx+n（k0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的图象相交于A（1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+nax2+bx+c的解集为（） A

2、1x9B1x9C1x9Dx1或x9例4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：ab0；方程ax2+bx+c=0的根为x1=1，x2=3；a+b+c0；当x1时，y随x值的增大而增大；当y0时，1x3其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）例5、 已知关于x的一元二次方程 .（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值例6、如图，抛物线y=x2+bxc与x轴交A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求抛物线及直线AC的函数表

3、达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值例7图例7、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数.（1）求a的值.（2）将二次函数y=（a1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当 2x1时，二次函数有最小值3，求实数m的值.反馈练习：1、二次函数y=kx26x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）Ak3Bk3且k0Ck3Dk3且k02、已知二次函数y=x2+2x，当1xa时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（） 第2题 第3题 3、如图是二次函数y=ax

4、2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x54、关于x的函数y=（m21）x2（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值5、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，若点P使四边形ABPC的面积最大，求点P的坐标6如图，已知抛物线y=x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的

5、坐标7某班“数学兴趣小组”对函数y=x22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x3210123y3m10103其中，m=（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分（3）观察函数图象，写出两条函数的性质（4）进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x22|x|=0有个实数根；方程x22|x|=2有个实数根；关于x的方程x22|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是8.自主学习，请阅读下列解题过程解一元二次不等式：x25x0解：设x

6、25x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x25x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）画出二次函数y=x25x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x0，或x5时函数图象位于x轴上方，此时y0，即x25x0，所以，一元二次不等式x25x0的解集为：x0，或x5通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号）转化思想 分类讨论思想 数形结合思想（2） 一元二次不等式x25x0的解集为 （3） （3）用类似的方法解一元二次不等式：x22x309（2016牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经

7、过点（1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求CPB的面积参考答案：例1、解答：解：分为两种情况：当函数是二次函数时，函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，=（m+2）24m（m+1）=0且m0，解得：m=±2，当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选：D点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错例2解答：解：对称轴为直线x=1，解得b=2，所以，二次函数解析式为y=x22x，

8、y=（x1）21，x=1时，y=1+2=3，x=4时，y=162×4=8，x2+bxt=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，当1t8时，在1x4的范围内有解故选：C点评：本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观例3、解答：解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a0）和一次函数y1=kx+n（k0）的交点的横坐标分别为1，9，当y1y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即1x9故选A点评：本题考查了二次函数与不等式（组），此类题可采用“数形结合”的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法例4、解答：

9、解：抛物线开口方向朝上，a0，又对称轴为x=1，b0，ab0，故正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（1，0）、（3，0），方程ax2+bx+c=0的根为x1=1，x2=3，故正确；当x=1时，y=a+b+c，从图象知道当x=1时，y0，a+b+c0，故错误；抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，当x1时，y随x值的增大而增大，故正确；当y0时，图象在x轴的上方，而抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），当y0时，x1，x3，故错误故正确的结论有例5、解：（1）由题意 m 0， 1分 方程有两个不相等的实数根， >0 2分即 得 m3 3分 m的取值范围为m0和m

10、3； （2）设y=0，则 ， ， 5分当 是整数时，可得m=1或m=1或m=3 6分 ， m的值为1或3 7分例6、解答：解：（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，得，解得 ，所以抛物线解析式为y=x22x3将点C的横坐标代入抛物线解析式，得y=3，即C（2，3），设直线AC为y=kx+m（k0），将点A和点C坐标代入，得，解得 ，即直线AC解析式为 y=x1；（2）如图，不妨设点F（x，x22x3），因为点F在直线AC上，因此则点P（x，x1）所以有 PF=x1（x22x3）=x2+x+2则当时，PF最大值=例7解：（1）二次函数y=（a1）x2+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a1

11、）x2+2x+1=0，解得a2. 1分. a为正整数. a=1、2又y=（a1）x2+2x+1是二次函数，a10，a1，a的值为2. 2分（2）a=2，二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位后的表达式为y=（x+1m）2（m2+1）.此时函数的顶点坐标为（m1, m21）. 4分当m12，即m1时， x=2时，二次函数有最小值3，3=（1m）2（m2+1），解得且符合题目要求. 5分当 2m11,即1m2,时，当 x= m1时，二次函数有最小值m21=3，解得.不符合1m2的条件，舍去.6分

12、当m11，即m2时，当 x=1时，二次函数有最小值3，3=（2m）2（m2+1），解得,不符合m2的条件舍去.综上所述，m的值为或 7分反馈练习答案：1、解答：解：二次函数y=kx26x+3的图象与x轴有交点，方程kx26x+3=0（k0）有实数根，即=3612k0，k3，由于是二次函数，故k0，则k的取值范围是k3且k0故选D2、解答：解：二次函数y=x2+2x的对称轴为直线x=1，1xa时，y随x的增大而增大，a1，1a1故选：B点评：本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键3解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与x轴的另一个交点坐标为

13、（1，0）利用图象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，x1或x5故选：D、4、解：当m21=0，且2m+20，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；当m210，即m±1时，该函数是二次函数，则=（2m+2）28（m21）=0，解得 m=3，m=1（舍去）综上所述，m的值是1或35、解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点，解得：a=1，b=1，c=2，这条抛物线的解析式为y=x2+x+2（2）连接PO，过点P分别作PMy轴于点M，PNx轴于点N；设点P坐标为（m，n），则n=m2+m+2；点P是第一象限内抛物

14、线上的一个动点，0m2，n0；由题意得：PM=m，PN=n；，S四边形ABPC=1+m+n=1+mm2+m+2=m2+2m+3，二次项系数a=10，当m=时，四边形ABPC的面积取得最大值，此时，n=1+1+2=2；当四边形ABPC的面积最大时，点P坐标为（1，2）6、解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+mx+3得：0=32+3m+3，解得：m=2，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为：（1，4）（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，点C（0，3），点B（3，0），解得：，直线BC的解析式为：y=x+3，

15、当x=1时，y=1+3=2，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）7.解：（1）把x=2代入y=x22|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：函数y=x22|x|的图象关于y轴对称；当x1时，y随x的增大而增大；（4）由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x22|x|=0有3个实数根；如图，y=x22|x|的图象与直线y=2有两个交点，x22|x|=2有2个实数根；由函数图象知：关于x的方程x22|x|=a有4个实数根，a的取值范围是1a0，故答案为：3，3，2，1a08.解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和；故答案为：，；（2）由图象可知：当0x5时函数图象位于x轴下方，此时y0，即x25x0，一元二次不等式x25x0的解集为：0x5；故答案为：0x5（3）设x22x3=0，解得：x1=3，x2=1，抛物线y=x22x3与x轴的交点坐标为（3，0）和（1，0）画出二次函数y=x22x3的大致图象（如图所示），由图象可知：当x1，或x3时函