泰勒展开式在高考题中的应用

1、泰勒展开式在高考题中的应用泰勒展开式在高考题中的应用高中数学中函数导数部分占据了重要的位置，高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题.如果函数f(x)在定义域I上有定义，且有n1阶导数存在，x,x0I,则f(X)f(Xo)f(Xo)1!(xXo)f(x0)2!(xxo)2f(xo)nxxo)3f(n1)()介于x和xo间.上式即为函数 f (x)在xo点处的泰其中Rn1fL2(xxo)。1,其中(n1)!勒展开式.1nn 1 x(1) Rn 1.n23

2、xx令f(x)ln(x1),xoo,有ln(x1)x23x2上式可以进行放缩，比较ln(x1)和x、x一的大小，2可以得到不等式：xyln(x1)x,(x下面证明该不等式.x2证明：设h(x)xln(x1),h(x)o,)单调递减，h(x)h(。)o,即有x1设f(x)ln(x1)x,f(x)1x1xo).(*)1x1xo,(xo),贝Uh(x)在x1x1x2一ln(x1),当xo时取等号.2x-o,(xo),则f(x)在o,)单调递减，f(x)f(o)o,即有ln(x1)x,当xo时取等号综上所述，有不等式:ln(x1)x,(xo),当xo时取等号如图所示:例题展示考题1(2015年福建卷理

3、科20题)(2)证明：当k 1时，存在x0而不等式xln(x 1) x在x 0时恒成立.已知函数f(x)ln(1x),g(x)kx,(kR)(1)证明：当x0时，f(x)x;0,使得对任意的x(O,xo)，恒有f(x)g(x);(3)确定k的所有可能取值，使得存在t0,对任意的x(0,t),恒有f(x)g(x)x2.解析：(1)在对(*)式的证明过程中已经体现.匕1人1k(x.)(2)设h(x)ln(1x)kx,h(x)kk-.x1x1当k0时，h(x)0,则h(x)在(0,)单调递增，则有h(x)h(0)0,即f(x)g(x)，此时x0可以取任意正实数.当0k1时，令h(x)0,解得有1 -

4、1x1,Q0k1,-10kk-1.取x01,则有对任意的x(0,x0),有kf(x)g(x).分析：第(2)问的结论可以从图2中解释.(3)|ln(1x)kxx2可化为.22kxxln(1x)kxx，此不等式要求在某个区间(0,t)成立即可，2kxx2x二因此可以得到2,其中x0,kxx2xk 化简，得k,即有1,因此有k1.1考题2(2015年山东卷理科21题)设函数f(x)ln(x1)a(x2x),其中aR.(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由;(2)若x0,f(x)0成立，求a的取值范围第(1)问利用导数求函数的极值，需要对a进行讨论，这里不再赘述2(2)由f(x)0,得a(

5、xx)ln(x1),利用不等式ln(x 1) x,有a(x2x)ln( x 1) x,对上式进行适当放缩，即利用a(x2 x)x求a的取值范围1在(0,1)上单调递增，有x 11、，在(1,)上单调递增，有x 1,一x1，一当x(0,1)时，a-，由于h(x)xxx1ah(0)1;当x1时，有a01,此时aR;一，x1当x(1,)时，a,h(x)xxx1.1calim0.xx1综上所述，x0,要使f(x)0恒成立，a的取值范围.是0,1考题1的第(3)问，考题2的第(2)问都是恒成立问题，求参数的取值范围.本文这两问的做法，都是先对不等式适当放缩后进行求解，这在平时求解参数范围时是不常见的.之

6、所以这两个题能够利用上述想法进行求解，是因为泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数f(x)近似表示为一个多项式函数，是一种函数逼近的思想.该多项式函数与函数f(x)之间2x的误差是非常小的.本文出现的不等式(*)式中的x与x分别是泰勒展开式的第一项2和前两项.这两个函数与函数ylnx1之间的相差是比较多的，但是在原点附近的较小区间内这两个函数与函数ylnx1误差是很小的.因此本文是利用了这一点，对该类问2X题进行求解.通过放缩将lnx1转化成x或者x这种多项式函数形式，利用多项式函2数求参数范围是相对简单的.应用举例1(2014年陕西卷理科21题)设函数f(x)ln(1x),g(x)xf(x),

7、x0.其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；设nN，比较g(1)g(2).g(n)与nf(n)的大小关系，并加以证明ax分析：第(2)问需ln(x1),x0恒成立，x1ax应用不等式ln(x1)x,有xln(x1)-a,x0,x1对上式进行放缩，利用x-a,x0求a的取值范围.x1当x0时，上式化简为0a0,此日aR；当x0时，上式化简为14一，即ax1,则有a1;x1综上所述，有a的取值范围是(,1.2(2013年全国大纲卷理科22题)已知函数f(x)ln(1x)*1M1x(1)若x0时f(x)0,求的最小值；(2)设数列an的通项an分析：第(1)问需要f(x)1 1 1I 2 3 ln(1 x)1.一，证明：a2n nx(1 x)0 在 x1 xan ln2.4n0时恒成立，x2利用不等式 x 一 ln(x22x1),有 x ln(x 1)x(1 x)、六寸生下,该不等式在 x1 x0时取等x(1 X)-,x 0 求1 x的最小值.X