高考数学试题汇编——立体几何

1、高考数学试题汇编高考数学试题汇编立体几何立体几何一、选择题一、选择题1 1、 （20102010 浙江理数）浙江理数） （6）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若lm，m，则l （B）若l，lm/ /，则m（C）若l/ /，m，则lm/ / （D）若l/ /，m/ /，则lm/ /解析：选 B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2 2、 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （11）与正方体1111ABCDABC D的三条棱AB、1CC、11AD所在

2、直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.3 3、 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B）3 （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】

3、本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为 a，则高所以体积，设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或 a=4时，体积最大，此时，故选 C.4 4、 （20102010 陕西文数）陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）1（C）23（D）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为1221215 5、 （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （11）已知, , ,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC ，则球O的表面积等于（A）4 （B）3 （C

4、）2 （D）解析：选 A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为244 .R6 6、 （20102010 辽宁理数）辽宁理数）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0,62） (B)（1,2 2） (C) (62,62） (D) （0,2 2）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。221【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三

5、条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a可以取最大值，可知 AD=3，SD=21a ，则有21a 2+3，即2284 3( 62)a ，即有 a0;综上分析可知 a（0,62）7 7、 （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【解析解析】D】D：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三

6、条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点，8 8、 （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A） 34 (B) 54(C) 74 (D) 34【解析解析】D】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，

7、过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， ABCSEFBCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF=32， 3sin4ABF9 9、 （20102010 江西理数）江西理数）10.过正方体1111ABC

8、DABC D的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱AB,AD,1AA所成的角都相等，这样的直线 L 可以作A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 1010、 （20102010 安徽文数）安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B）360 （C）292 （D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面

9、长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360S .【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。11、 （2010 重庆文数） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有 1 个 （B）恰有 3 个（C）恰有 4 个 （D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段1OO、EF、FG、GH、HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、C，选 D亦可

10、在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等1212、 （20102010 浙江文数）浙江文数） （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）3523cm3 （B）3203cm3（C）2243cm3 （D）1603cm3解析：选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题1414、 （20102010 山东文数）山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案：D1515、 （20102010

11、 北京文数）北京文数） （8）如图，正方体1111ABCD-A B C D的棱长为 2，动点 E、F 在棱11A B上。点 Q 是 CD 的中点，动点P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x，1AE=y(x,y 大于零)，则三棱锥 P-EFQ 的体积：（A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关；（C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关；答案：C1616、 （20102010 北京文数）北京文数） （5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： 答案：CBCDANMO1717、 （201020

12、10 北京理数）北京理数）(8)如图，正方体 ABCD-1111ABC D的棱长为 2，动点 E、F 在棱11AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1，1AE=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四面体 PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关答案：D1818、 （20102010 北京理数）北京理数） （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 答案：C1919、 （20102010 四川理数）四川理数） （11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD

13、:是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R （B）18arccos25R （C）13R （D）415R解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC12 cosBAC2 55连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC4 55R，同理AN4 55R，且MNCD 而AC5R,CDR故MN：CDAN:AC MN45R，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON22217225OMONMNOM ON:所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R 答案：A2020、 （20102010 广东理数）广东理数

14、）6.如图 1， ABC 为三角形，AA/BB /CC , CC 平面ABC 且 3AA=32BB=CC =AB,则多面体ABC -A B C 的正视图（也称主视图）是6D2121、 （20102010 广东文数）广东文数）2222、 （20102010 福建文数）福建文数）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A3 B2 C2 3 D6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为3242 34，侧面积为3 2 16 ，选 D【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。232

15、3、 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 2 33 (B)4 33 (C) 2 3 (D) 8 3312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有ABCD11222323Vhh 四面体,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,22max2 212 3h,故ABC

16、DA1B1C1D1Omax4 33V2424、 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （9）正方体ABCD-1111ABC D中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A） 23 （B）33 （C）23 （D）639.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B1B与平面 AC1D所成角和 DD1与平面AC1D所成角相等,设 DO平面 AC1D，由等体积法得11D ACDDACDVV,即111133A

17、CDACDSDOSDD.设 DD1=a,则12211133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaa:,21122ACDSAD CDa:.所以1312333ACDACDSDDaDOaSa:,记 DD1与平面 AC1D所成角为,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析 2】设上下底面的中心分别为1,OO；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，111136cos1/32OOOODOD2525、 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(6)直三棱柱111ABCA BC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于(A)30

18、(B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABCA BC的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D，使得ADAC，则11ADAC为平行四边形，1DAB就是异面直线1BA与1AC所成的角，又三角形1ADB为等边三角形，0160DAB2626、 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 2 33 (B)4 33 (C) 2 3 (D) 8 332727、 （20102010 全国卷全国卷 1

19、 1 理数）理数） （7）正方体 ABCD-1111ABC D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（A） 23 （B）33 （C）23 （D）632828、 （20102010 四川文数）四川文数）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R （B）18arccos25R（C）13R （D）415R解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC12cosBAC2 55连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC4 55R，同理AN4 55R，

20、且MNCD而AC5R,CDR故MN：CDAN:AC MN45R，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON22217225OMONMNOM ON:所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R答案：A2929、 （20102010 湖北文数）湖北文数）4.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则ab.A. B. C. D.3030、 （20102010 山东理数）山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个

21、平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。31、 （2010 安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280B、292C、360D、3728.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360S .【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得

22、出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。32、 （20102010 福建理数）福建理数）所以EHFG，故EHFG11BC，所以选项 A、C 正确；因为11AD 平面11ABB A，EH11AD，所以EH平面11ABB A，又EF平面11ABB A， 故EHEF，所以选项 B 也正确，故选 D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。二、填空题3333、 （20102010 上海文数）上海文数）6.已知四棱椎的底面是边长为 6 的正方形，侧棱底PABCDPA 面，且，则该四棱椎的体积是

23、96 。ABCD8PA 解析：考查棱锥体积公式9683631V3434、 （20102010 湖南文数）湖南文数）13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图，则 h= 4 cm3535、 （20102010 浙江理数）浙江理数） （12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_.3cm解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为 144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题3636、 （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （16）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上

24、用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，2 3PABCD所以最长的一条棱的长为2 3.PB 3737、 （20102010 辽宁理数）辽宁理数） （15）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】2 3【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为2222222 33838、 （20102

25、010 江西理数）江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，OABCOA，两两垂直，且,分别经过三条棱，OBOCOAOBOCOA，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，OBOC1SPDCBAAB，则，的大小关系为 。2S3S1S2S3S【答案】 321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得。321SSS3939、 （20102010 北京文数）北京文数） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；( )yf x( )

26、f x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴( )yf x所围区域的面积为 。说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。答案：4 14040、 （20102010 北京理数）北京理数） （14）如图放置的边长为 1 的正方形PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是，则的最小( )yf x( )f x正周期为 ；在其两个相邻零点间的图( )yf x像与 x 轴所

27、围区域的面积为 说明：说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。答案：4 14141、 （20102010 四川理数）四川理数）（15）如图，二面角的大小是 60，线段.，l ABBl与 所成的角为 30.则与平面所成的角的正弦值是 .ABlAB解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为 60l 又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平

28、面所成的角AB设AD2，则AC，CD13AB40sin30ADsinABC34ACAB答案：344242、 （20102010 天津文数）天津文数） （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2 （1 2）2 1 3【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为 3，宽为 2，高为

29、 1 的长方体的一半。4343、 （20102010 天津理数）天津理数） （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ABCDAB【答案】103【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为 2，正四棱锥的体积为，144 133 所以该几何体的体积 V=2+ = 43103【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。134444、 （20102010

30、四川文数）四川文数）（15）如图，二面角的大小是 60，线段.，l ABBl与 所成的角为 30.则与平面所成的角的正弦值是 .ABlAB解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为 60l 又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角AB设AD2，则AC，CD13AB40sin30ADsinABC34ACAB答案：344545、 （20102010 湖北文数）湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，

31、则球的半径是_cm.ABCD【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得,解得 r=4.3VVV柱柱柱33224863rrrr4646、 （20102010 湖南理数）湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20的几何体的三视图，3cm则 h cm47、 （2010 湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 cm。13.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得3VVV柱柱柱3,解得 r=4.3224863rrrr4848、 （20102010 福建理数）福建理数）

32、12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】6+2 3【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。3242 343 2 16 6+2 3【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。三、解答题4949、 （20102010 上海文数）上海文数）20.20.（本大题满分（本大题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第2 2 小题满分小题满分 7 7 分分. .如图所示，为了制作一个圆柱形

33、灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0r0,所以“32( )3af xxbxcxd在（-，+）内无极值点”等价于“2( )20fxaxbxc在（-，+）内恒成立” 。由（*）式得295 ,4ba ca。又2(2 )49(1)(9)bacaa 解09

34、(1)(9)0aaa 得 1,9a即a的取值范围 1,96565、 （20102010 北京理数）北京理数） （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF/AG，且 EF=1，AG=12AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF/平面 EG， 因为EG 平面 BDE，AF平面 BDE， 所以 AF/平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD

35、和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CEAC， 所以 CE平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 C（0，0，0） ，A（2，2，0） ，B（0，2，0）. 所以22(,1)22CF ，(0,2,1)BE ，(2,0,1)DE . 所以0 1 10CF BE :,1 0 10CF DE : 所以CFBE,CFDE. 所以CF BDE.(III) 由（II）知，22(,1)22CF 是平面 BDE 的一个法向量. 设平面 ABE 的法向量( , , )nx y z,则0n BA :，0n BE :. 即( , , ) ( 2,0,0) 0( , ,

36、 ) (0,2,1) 0 x y zx y z:所以0,x 且2 ,zy 令1,y 则2z . 所以(0,1,2)n . 从而3cos,2|n CFn CFn CF : 。 因为二面角ABED为锐角， 所以二面角ABED的大小为6.6666、 （20102010 四川理数）四川理数） （18） （本小题满分 12 分）已知正方体ABCDABCD的棱长为 1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能

37、力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM1/2DDOK所以MO/AK由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB ，所以AK平面BDDBDABCDMOABC所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=122224:在RtMNH中，tanMHN=12 2

38、24MNNH故二面角M-BC-B的大小为arctan22(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离h12VM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=13SMADh=124解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, 12),O(12,12,12)11( ,0)22OM ,AA=(0,0,1),BD =(-1,-1,1) OM AA :=0, 1122OM BD :+0

39、=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4 分(2)设平面BMC的一个法向量为1n=(x,y,z)BM =(0,-1,12), BC (1,0,1)1100n BMn BC : : 即1020yzxz 取z2,则x2,y1，从而1n=(2,1,2) 取平面BCB的一个法向量为2n (0,1,0)cos12121211,3| |9 1n nn nnn : :由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos139 分(3)易知，SOBC14SBCDA121244:设平面OBC的一个法向量为3n (x1,y1

40、,z1) BD (1,1,1), BC (1,0,0)3100n BDn BC : : 即111100 xyzx取z11,得y11，从而3n (0,1,1)点M到平面OBC的距离d31|224|2BMn : VMOBC11221334424OBCSd:12 分6767、 （20102010 天津文数）天津文数） （19） （本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=2 2，BADCDA45.（）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； （）证明 CD平面 ABF；（）求二面角 B-EF-A 的正切值。【解

41、析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12 分.(I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故CED为异面直线 CE 与 AF 所成的角.因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 EDCD.在 RtCDE 中，CD=1，ED=2 2，CE=22CDED=3,故 cosCED=EDCE=2 23.所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为2 23.()证明：过点 B 作 BG/CD,交 AD 于点 G，则45BGACDA .由45BAD,可得 BGAB,从而 CDAB,又 CDFA,FAAB=

42、A,所以 CD平面 ABF.()解：由（）及已知，可得 AG=2，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于 M，则GNM为二面角 B-EF-A 的平面角。连接 GM，可得 AD平面 GNM,故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM=22.由NG/FA,FAGM,得 NGGM.在 RtNGM 中，tanGM1NG4GNM,所以二面角 B-EF-A 的正切值为14.6868、 （20102010 天津理数）天津理数） （19） （本小题满分 12 分）如图，在长方体1111ABCDAB

43、C D中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1:2:4AB AD AA （1）求异面直线EF与1AD所成角的余弦值；（2）证明AF 平面1AED（3）求二面角1AEDF的正弦值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设1AB ,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,02E（1）解：易得10,12EF ,1(0,2, 4)AD 于是1113cos,5EF AD

44、EF ADEF AD : 所以异面直线EF与1AD所成角的余弦值为35（2）证明：已知(1,2,1)AF ,131,42EA ,11,02ED 于是AF 1EA=0，AF ED =0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF 平面1AED(3)解：设平面EFD的法向量( , , )ux y z，则00u EFu ED : :,即102102yzxy 不妨令 X=1,可得(1,2 1u ）。由（2）可知，AF为平面1A ED的一个法向量。于是2cos,=3| |AFAF|AF|uuu，从而5sin,=3AFu所以二面角1A -ED-F的正弦值为53方法二：（1）解：设 AB=1，可得

45、AD=2,AA1=4,CF=1.CE=12链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB1C，由1CECF1=CBCC4,可知 EFBC1.故BMC是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM=11B C= 52,所以2223cos25BMCMBCBMCBM CM: ,所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为35（2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为12CDECBCAB，所以Rt DCERt CBA:，从而CDEBCA ，又由于90CDECED,所以90BCACED，故 ACDE,又因为 CC1DE 且1CCACC，所以 DE平面

46、ACF，从而 AFDE.连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB1C,所以 AFA1D 因为1DEADD，所以 AF平面 A1ED(3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF平面 ACF, A1N平面 ACF，所以DENF,DEA1N,故1ANF为二面角 A1-ED-F 的平面角易知Rt CNERt CBA:，所以CNECBCAC，又5AC 所以55CN ，在221305Rt NCFNFCFCNRt A AN:中，在中22114 305NAA AAN连接 A1C1,A1F 在2211111114Rt AC FAFACC F中，222111112cos23

47、ANFNAFRt ANFANFANFN在中，。所以15sin3A NF所以二面角 A1-DE-F 正弦值为536969、 （20102010 广东理数）广东理数）18.（本小题满分 14 分）如图 5，ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点 E 为AC的中点，点 B 和点 C 为线段AD 的三等分点平面 AEC 外一点 F 满足5FBDFa，FE=6a 图 5 （1）证明：EBFD；（2）已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点，使得22,33BQFE FRFB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值（2）设平面BED与平面 RQD 的交线为DG.由 BQ=23FE,FR=23FB

48、知, |QREB.而EB 平面BDF，|QR平面BDF，而平面BDF平面RQD= DG，|QRDGEB.由（1）知，BE平面BDF，DG平面BDF，而DR 平面BDF， BD 平面BDF，,DGDR DGDQ，RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角在Rt BCF中，2222( 5 )2CFBFBCaaa，22sin55FCaRBDBFa，21cos1 sin5RBDRBD522 2935sin29293aRDBa故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是2 2929 70、 （20102010 广东文数）广东文数）18.（本小题满分 14 分）如图 4，弧 AEC 是半径为a的半圆

49、，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB=a5（1）证明：EBFD（2）求点 B 到平面 FED 的距离. （1）证明：点 E 为弧 AC 的中点7171、 （20102010 福建文数）福建文数）20 （本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EH/A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别为 F，G。 （I）证明：AD/平面 EFGH； （II）设 AB=2AA1=2a。

50、在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。7272、 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （19） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 .7373、 （20102010 四川文数）四川文数） （18） （本小题

51、满分 12 分）在正方体ABCDABCD中，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；DABCDMOABC7474、 （20102010 湖北文数）湖北文数）18.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体 ABOC 中，OCOA。OCOB，AOB=120，且 OA=OB=OC=1（）设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上且 AB=3AQ，证明：PQOA；（）求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值。7575、 （20102010 山东理数）山东理数）（19） （本小题满分 12 分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA

52、平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC；（）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积【解析】 （）证明：因为ABC=45，AB=22，BC=4，所以在ABC中，由余弦定理得：222AC =(2 2) +4 -2 2 24cos45 =8，解得AC=2 2，所以222AB +AC =8+8=16=BC，即ABAC，又PA平面ABCDE，所以PAAB，又 PAACA，所以ABAC 平面P，又ABCD，所以ACCD 平面P，又因为CDCD 平面P，所以平面PCD平面PA

53、C；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点 A 作AHC P于 H，则AHCD 平面P，又ABCD，AB平面CDP内，所以AB平行于平面CDP，所以点 A 到平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离，过点 B 作 BO平面CDP于点 O，则PBO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，所以1sinPBO=2，即PBO=30，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30；（）由（）知ACCD 平面P，所以ACCD ，又ACED，所以四边形 ACDE 是直角梯形，又容易求得DE2，AC=2 2，所以四边形 ACDE 的面积为122 2232（），所以四棱锥PACDE的体积为12 233=2 2。7676、 （20102010 湖南理数）湖南理数）77、 （2010 湖北理数）18 (本小题满分 12 分)如图， 在四面体 ABOC 中, ,120OCOA OCOBAOB