高考数学-表面及体积选择题专练30题

1、表面及体积选择题专练30题一选择题（共30小题）1有一个各条棱长均为的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（）A（1+）aBaCaD（+）a2将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（）A7B6C3D93一个正四棱台的上、下底面边长分别为a、b，高为h，且侧面及等于两底面积之和，则下列关系正确的是（）ABCD4正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为，则该四棱台的表面积为（）A92B52+20C40D50+205三棱锥的中截面面积与该三棱锥底面面积的比为（）A1：2B1：3C1：

2、4D1：56将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A6a2B12a2C18a2D24a27已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）AB2C4D88已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）AB2a2CD9（2008四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）ABCD10各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）ABCD11棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD12（2004贵州）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（）A

3、BCD13（2004陕西）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）ABCD14（2004山东）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）ABCD15（2007陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）ABCD16以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（）A3：1BCD17一个圆台的上、下底面面积分别是1cm2和49cm2，一个平行底面的截面面积为25cm2，m则这个截面与上、下底面的距离之比是（）A2

4、：1B3：1C：1D：118（2011辽宁）己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点AB=2，ASC=BSC=45°，则棱锥SABC的体积为（）ABCD19圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，侧面积为2，则过两条母线的截面的最大面积为（）A2B3CD20圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（）A81B100C14D16921中心角为，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A：B等于（）A11：8B3：8C8：3D13：822（2011辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，ASC=BSC=30°，则棱

5、锥SABC的体积为（）A3B2CD123（2011湖北）设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（）AV1比V2大约多一半BV1比V2大约多两倍半CV1比V2大约多一倍DV1比V2大约多一倍半24（2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1：B1：3C1：3D1：925（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD26（2009陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）ABCD27（2008湖北）用与球心距离为1的平面去截

6、球，所得的截面面积为，则球的体积为（）ABCD28（2005安徽）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）AB8CD429（2004湖北）四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（）ABCD30（2000北京）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（）A1：3B2：3C1：2D2：92012年12月必修二第一章表面及体积选择题专练30题参考答案与试题解析一选择题（共30小题）1有一个各条棱长均为的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小

7、边长为（）A（1+）aBaCaD（+）a分析：根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回 因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答解答：解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以PP为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小设此时的正方形边长为x则：（PP）2=2x2， 又因为 ，解得：故选C点评：本题体现了空间问题平面化的处理问题方法，考查分析解决问题能力以及问题转化的思想强调的是所需的最小纸张是以PP为对角线的正方形，而非PP为中位线的正方形2

8、将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（）A7B6C3D9分析：先计算出原正四面体的表面积，再计算每截去一个小正四面体时，减少的表面积，然后求得结果解答：解：原正四面体的表面积为4×=9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×=2，故所得几何体的表面积为7故选A3一个正四棱台的上、下底面边长分别为a、b，高为h，且侧面及等于两底面积之和，则下列关系正确的是（）ABCD专题：计算题；转化思想分析：利用勾股定理求出斜高，求出侧面积，利用题中的条件建立等式，化简变

9、形等式解答：解：正四棱台的斜高m=，由题意得 4×=a2+b2，（a+b）=a2+b2，（a+b）24h2+（a+b）2（ba）2=（a2+b2）2，（a+b）24h2=4a2b2，=，=+， 故选A点评：本题考查棱台的结构特征，求棱台的侧面积的方法，体现了转化的数学思想4正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为，则该四棱台的表面积为（）A92B52+20C40D50+20分析：求出正四棱台的斜高，直接利用棱台的表面积公式求解即可解答：解：因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为，则该四棱台的斜高为：=2S表=S侧+S上+S下=故选A点评：本题考查正四棱台的表面积的求

10、法，求出斜高是解题的关键，考查计算能力5三棱锥的中截面面积与该三棱锥底面面积的比为（）A1：2B1：3C1：4D1：5分析：利用几何体中，面积之比是相似比的平方，求出结果得到选项解答：解：因为三棱锥的中截面与该三棱锥底面是相似三角形，所以，故选C6将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A6a2B12a2C18a2D24a2分析：求出正方体的表面积，然后求出一个小正方体的表面积，即可得到结论解答：解：由题意可知正方体的表面积为：6a2；小正方体的棱长为：，小正方体的表面积为：6×=；27个全等的小正方体的表面积为：18a2，表面积增加了：12a2故选B点评

11、：本题是基础题，考查正方体的表面积，的求法，考查计算能力，送分题7已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）AB2C4D8分析：由题意知，三棱锥的各个面都是边长为2的等边三角形，求出一个面的面积，乘以4可得它的表面积解答：解：三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形，三棱锥的一个侧面的面积为 ×2×2×=，故它的表面积为4，故选 C点评：本题考查三棱锥的表面积的求法，等边三角形的面积的计算方法8已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）AB2a2CD分析：先求正方体的棱长，然后求全面积解答：解：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所

12、以正方体的表面积是6x2=2a2故选B点评：本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目9（2008四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）ABCD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题分析：先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积解答：解：如图在三棱柱ABCA1B1C1中，设AA1B1=AA1C1=60°，由条件有C1A1B1=60°，作AO面A1B1C1于点O，则故选B点评：此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强

13、的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键10各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）ABCD分析：判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题解答：解：由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即：4×=故选D点评：本题考查棱锥的侧面积表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题11棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果解答：解：因为四个面是全等的正三角形，则故选A点评：本题考

14、查棱锥的面积，是基础题12（2004贵州）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（）ABCD分析：先求正三棱柱的底面棱长，求出高，然后求底面面积，求出体积解答：解：因为正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，所以底面棱长为，高为所以此三棱柱的体积为：故选A点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是基础题13（2004陕西）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）ABCD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题分析：先求正三棱锥的侧棱长，然后求出体积解答：解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均

15、为直角三角形，可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为故选C点评：本题考查棱锥的体积，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题14（2004山东）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）ABCD分析：因为正四面体四个面都是正，其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半，通过作出辅助线，可得两四面体的边长比，由面积比是边长比的平方，可得出答案解答：解：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，四面体EFGH也是正四面体连接AE并延长与CD交于点M，连接AG并延长与BC交于点NE、G分别为面的中心

16、，=又MN=BD，=面积比是相似比的平方，两四面体的面积比为；=故答案为：A点评：本题考查了多面体的面积比是边长比的平方，本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方，三角形的高，中线，角平分线的比等于边长的比15（2007陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）ABCD分析：由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积解答：解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1底面是正三角形且球半径为1底面边长为，底面积为，V=××1=故选C点评：本题考查球

17、的内接体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题16以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（）A3：1BCD分析：设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可解答：解：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是 6a2，以正方体的顶点为顶点作正四面体，棱长为，它的表面积是正方体的表面积与正四面体的表面积之比为故选B点评：本题考查棱柱、棱锥的表面积，是基础题17一个圆台的上、下底面面积分别是1cm2和49cm2，一个平行底面的截面面积为25cm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是（）A2：1B3：1C：1D：1分析：根据圆台数学底

18、面面积比，求出上下底面半径的比，推出截面与上下底面半径的比，求出圆台扩展为圆锥的高的比，然后求出截面分圆台上下部分的距离之比解答：解：圆台上下两底面的半径比为1：7，截面与底面半径比为5：7，圆台扩展为圆锥，轴截面如图：所以h2+h3=6h1，h2=4h1；所以h3=2h1这个截面与上、下底面的距离之比s：2：1故选A点评：本题是基础题，考查圆台有关面积的计算问题，注意面积之比与相似比的平方的关系，轴面积的应用，常考题型、18（2011辽宁）己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点AB=2，ASC=BSC=45°，则棱锥SABC的体积为（）ABCD分析：由题意求出SA=AC=S

19、B=BC=2，SAC=SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥SABC的体积解答：解：如图：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，SAC=SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：VSABC=VCAOB+VSAOB，所以棱锥SABC的体积为：=故选C点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型19圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，侧面积为2，则过两条母线的截面的最大面积为（）A2B3CD分析：根据圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，侧面积为2

20、，我们易计算出圆锥母线长及底面半径，进而得到圆锥轴截面的夹角（即过两条件母线的截面的最大顶角）代入三角形面积公式S=l2sin（0），即可得到答案解答：解：圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，侧面积为2，则圆锥的母线长l=2，圆锥轴截面的顶角为过两条母线的截面的S=l2sin（0）故当=时，S取最大值2故选A点评：本题考查的知识点是圆锥的侧面积，截面面积，其中在计算过圆锥的两条母线的截面的最大面积时，要分两种情况，一是圆锥轴截面的夹角是锐角，此时轴轴截面面积最大，二是圆锥轴截面的夹角不是锐角，此时顶角为直角的轴截面面积最大20圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积

21、为（）A81B100C14D169分析：利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的面积公式进行运算解答：解：圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，设圆台上底面的半径为 r，则下底面半径和高分别为4r 和4r，由 100=（4r）2+（4rr）2 得，r=2，故圆台的侧面积等于（r+4r）l=（2+8）×10=100，故选 B点评：本题考查圆台的侧面积的求法，利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形21中心角为，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A：B等于（）A11：8B3：8C8：3D

22、13：8分析：设扇形半径为R，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可解答：解：设扇形半径为R，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长则S侧=lR=|R2=R2，设圆锥底面圆半径为r， 2r=|R=R， r=RS圆=r2=R2，故S表=S侧+S底=R2+R2=R2 S表：S侧=R2：R2=11：8故选A点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题22（2011辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，ASC=BSC=3

23、0°，则棱锥SABC的体积为（）A3B2CD1分析：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出SSCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积解答：解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：SAC=SBC=90° 所以在RtSAC中，SC=4，ASC=30° 得：AC=2，SA=2又在RtSBC中，SC=4，BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SDAB且SD=在等腰三角

24、形CAB中，CDAB且CD=又SD交CD于点D 所以：AB平面SCD 即：棱锥SABC的体积：V=ABSSCD，因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cosSDC=（SD2+CD2SC2）=（+16）= 则：sinSDC=由三角形面积公式得SCD的面积S=SDCDsinSDC=3 所以：棱锥SABC的体积：V=ABSSCD= 故选C点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型23（2011湖北）设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（）AV1比V2大约多一半BV1比V2大约多两倍半CV1比V2大约多

25、一倍DV1比V2大约多一倍半分析：设出球的半径，求出球的体积，内接正方体的体积，然后比较即可得到正确选项解答：解：设球的半径为r，所以球的体积为：；球的内接正方体的对角线就是球的直径，所以正方体的棱长为：，正方体的体积为：=； 所以= 故选D点评：本题是基础题，考查球的体积，球的内接正方体的体积，考查计算能力，常考题型24（2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1：B1：3C1：3D1：9分析：设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比解答：解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C点评：本题考查正

26、方体的内切球和外接球的体积，是基础题25（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了解答：解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=×（）3= 故选C点评：本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题26（2009陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）ABCD分析：由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积解答：解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=×1×=，故八面体体积V=2V1=故选B点评：本题是基础题，开心棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常