高数-无穷级数

1、高等数学同济六版讲义 第十二章 无穷级数§12. 1 常数项级数的概念和性质教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件教学重点：级数的基本性质及收敛的必要条件；教学难点：级数收敛的必要条件。教学内容：一、常数项级数的概念定义1： 设是一个数列，则称表达式 为一个数项级数，简称级数，其中第项称为级数的通项或一般项，称为级数的部分和定:2： 若数项级数的部分和数列有极限，则称级数收敛，极限值称为此级数的和，并写成当不存在时，则称级数发散 例1、讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中, 叫做级数的

2、公比. 解：如果, 则部分和. 当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当时, 因为, 所以此时级数发散. 如果，则当时, 因此级数发散；当时, 级数成为此时因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 如果, 则级数收敛, 其和为; 如果 则级数发散. 仅当|q|<1时, 几何级数a¹0)收敛, 其和为. 例2、 证明级数是发散的. 证 此级数的部分和为. 显然, , 因此所给级数是发散的. 例3、 判别无穷级数 的收敛性. 解： 由于, 因此 从而, 所以这级数收敛, 它的和是1. 例4、证明调和级数发散。证明：因为，从而，从

3、而。 二、收敛级数的基本性质性质1 设都收敛，和分别为，则必收敛，且；评注：若收敛，发散，则必发散；若都发散，则可能发散也可能收敛性质2 设为非零常数，则级数与有相同的敛散性；性质3 改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；性质4 级数收敛的必要条件：如果收敛，则；性质5 收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散§12. 2 常数项级数的审敛法教学目的：掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收

4、敛的关系。教学重点 ：正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和交错级数的莱布尼茨判别法。教学难点：莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。教学内容：一、正项级数及其审敛法各项为非负（）的级数称为正项级数1、正项级数收敛的基本定理定理1 设是正项级数的部分和数列，则正项级数收敛的充要条件是数列有界2、正项级数的比较判别法定理2（正项级数比较判别法的非极限形式）设都是正项级数，并设，则 若收敛，则收敛； 若发散，则发散例1 讨论级数的收敛性. 解：设. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当时级数发散. 设. 此时有 对于级数, 其部分和 . 因为. 所以级数收敛. 从而根据比较审

5、敛法可知, 级数当时收敛. 综上所述, 级数当时收敛, 当时发散。例2、 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 （正项级数比较判别法的极限形式）设都是正项级数，并设或为，则 当为非零常数时，级数有相同的敛散性； 当时，若收敛，则必有收敛； 当时，若发散，则必有发散例3、 判别级数的收敛性. 解： 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4、 判别级数的收敛性. 解： 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 3、正项级数的比值判别法定理4 设是正项级数，若或为，则级数有 当时，收敛； 当或时

6、，发散； 当时，敛散性不确定评注： 若，则级数必发散； 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性； 当1或不存在（但不为），则比值判别法失效例5 证明级数是收敛的. 解： 因为, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数的收敛性. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数的收敛性. 解 . 这时, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 4、正项级数的根值判别法将比值判别法中的改成，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法例8、 证明级数是收敛的. 解： 因为, 所以根据

7、根值审敛法可知所给级数收敛. 例9、判定级数的收敛性. 解： 因为, 所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法1.交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如、或的级数，称为交错级数例如, 是交错级数, 但不是交错级数.2.交错级数的莱布尼兹判别法定理5 ：若交错级数满足条件 ； ，则交错级数收敛，其和其余项满足例10、 证明级数收敛。证 这是一个交错级数. 因为此级数满足：(1)(n=1, 2,× × ×), (2)。由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s<u1=1, 余项. 三、绝对收敛与条件收敛: 1、绝对收敛与

8、条件收敛的定义定义：若级数收敛, 则称级数绝对收敛；若级数收敛, 而级数发散, 则称级条件收敛. 例如：级数是绝对收敛的, 而级数是条件收敛的. 2、绝对收敛与收敛的关系:定理6：如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛. 说明：如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 例11、判别级数的收敛性.若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛解： 因为|, 而级数是收敛的, 所以级数也收敛, 从而级数绝对收敛. 例12、判别级数的收敛性.若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛解：由于，而发散，所以发散。又该级数是交错级数，显然令，则，所以单调减少由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛原级数收敛且绝对收敛。例13、讨论下列

9、级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1）； （2） 解：（1） 由于，由于，所以利用比较判别法的极限形式可得，级数发散，又因为总是单减的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数收敛，且为条件收敛（2）由于所以原级数为交错级数 先判定级数的敛散性由于当时， ，所以 -（1）由于级数发散，所以级数发散 因为原级数为交错级数，由（1）利用夹逼定理可知，又因为当时，所以，从而数列单减由莱布尼兹判别法知原级数收敛，因此级数收敛且为条件收敛 § 12. 3 幂级数教学目的：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念、理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛

10、区间及收敛域的求法、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。教学重点：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；教学难点：函数项级数的收敛域及和函数；教学内容：一、函数项级数的概念1函数项级数的定义定义：设函数都在上有定义，则称表达式 为定义在上的一个函数项级数，称为通项，称为部分和函数2收敛域定义：设是定义在上的一个函数项级数，若数项级数收敛，则称是的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域3和函数 定义：设函数项级数的收敛域为，则任给，存在唯一的实数，使得成立定义域为的函数称为级数的和

11、函数评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法二、幂级数1幂级数的定义定义：设是一实数列，则称形如的函数项级数为处的幂级数时的幂级数为2阿贝尔定理定理：对幂级数有如下的结论： 如果该幂级数在点收敛，则对满足的一切的对应的级数都绝对收敛； 如果该幂级数在点发散，则对满足的一切的对应的级数都发散例1：若幂级数在处收敛，问此级数在处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数在处收敛，则对一切适合不等式（即）的该级数都绝对收敛故所给级数在处收敛且绝对收敛三、幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正

12、数，它具有下述性质： 当时，绝对收敛； 当时，发散如果幂级数仅在处收敛，定义；如果幂级数在内收敛，则定义则称上述为幂级数的收敛半径称开区间为幂级数的收敛区间四、幂级数收敛半径的求法求幂级数的收敛半径法一： 求极限 令则收敛半径为；法二：若满足，则；法三； 求极限 令则收敛半径为例2： 求下列幂级数的收敛域 解： 收敛半径，所以收敛域为； 收敛半径当时，对应级数为这是收敛的交错级数，当时，对应级数为这是发散的级数，于是该幂级数收敛域为； 由于令，可得，所以收敛半径为当时，对应的级数为，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为五、幂级数的性质设幂级数收敛半径为；收敛半径为，则1，收敛半径；2，收敛半径；

13、3幂级数的和函数在其收敛域上连续；4幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 5幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 解： 令，则 所以； 令，则 所以 ，例4：求幂级数的收敛域，并求其和函数。 解：易求得收敛域为因为=+=，。所以和函数为。例5：:求幂级数的和函数. 解： 求得幂级数的收敛域为. 设和函数为, 即, 显然. 在的两边求导得. 对上式从到积分, 得. 于是, 当时, 有. 从而. 例7：求级数的和. 解：考虑幂级数, 此级数在上收敛, 设其和函数

14、为, 则. 在例6中已得到于是, , 即. §12. 4 函数展开成幂级数教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点：常用函数的麦克劳林展开式；教学难点：泰勒级数；教学内容一、函数展开成幂级数的定义定义：设函数在区间上有定义，若存在幂级数，使得 则称在区间上能展开成处的幂级数二、展开形式的唯一性定理：若函数在区间上能展开成处的幂级数 则其展开式是唯一的，且 三、泰勒级数与麦克劳林级数1泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果在的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为函数在点的泰勒级数当时，称幂级数为函数的麦

15、克劳林级数2函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数在处的泰勒级数在上收敛到的充分必要条件是：在处的泰勒公式 的余项在上收敛到零，即对任意的，都有四、函数展开成幂级数的方法1直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法2间接法 通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式幂级数常用的七个展开式例1将展开成的幂级数。解：由于，而 所以。例2将函数展开成的幂级数。并指出其收敛域。解：

16、因为而 所以收敛域为。例3将展开成的幂级数。解：对求导，得再求导得：积分得：由得：再积分得：。§12.5 傅里叶级数 教学目的：了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式；教学重点：傅里叶级数；教学难点：傅里叶级数的狄利克雷定理。一、傅里叶级数定义1：设函数在区间上可积，令 则三角级数叫以为周期的傅里叶级数，其中叫的傅里叶系数定义2：设函数在区间上可积，令 则三角级数叫以为周期的傅里叶级数，其中叫的傅里叶系数例1： 设的傅里叶级数为，则其中的系数的值为解： ， 其中于是 二、傅里叶级数的收敛定理定理（狄里赫莱定理）如果在区间上满足：（1）只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点则的以为周期的傅里叶级数的收敛域为，其和函数是以为周期的周期函数，在其一个周期上的表达式为 例2：设是周期为2的函数，它在区间上的定义为，则的傅里叶级数在处收敛于。解：根据狄里赫莱定理知，的傅里叶级数在处收敛于。例3：设，则其以为周期的傅里叶级数在收敛于，在收敛于。解：根据狄里赫莱定理知，以为周期的傅里叶级数在收敛于=，以为周期的傅里叶级数在收敛于三、对称区间上奇