高斯信道下单载波数字调制信号自相关函数分析

1、高斯信道下单载波数字调制信号自相关函数分析引言自相关函数作为数字调制信号的一个重要的统计量，以其特有的抑制噪声能力而在通信信号处理及其他相关领域中广泛应用。但是，目前的研究大多是基于复基带信号及高斯白噪声假设的，而通信信号在接收过程中要经过下变频、滤波、重采样等多种处理过程，因此原有的假设条件尤其是高斯白噪声假设就不适用了。为了对接收过程中各个处理环节信号的自相关函数有一个清楚的认识，本文针对单载波数字调制信号的接收解调过程，系统地分析了各个处理阶段信号的自相关函数的表示形式，并通过仿真进行验证。本文工作为进一步深入应用通信信号的自相关函数提供了理论参考。1 数字调制信号接收过程数字接收机的过

2、程可用图1表示。图1 数字接收机接收过程发射机发射的带通信号通过高斯信道时受到高斯白噪声的污染；接收机首先对接收到的信号进行模拟带通滤波，以滤除带外噪声，得到模拟信号；然后经过模数转换得到数字信号到；正交下变频后得到复基带信号；根据需要对复基带信号的采样率进行调整，得到；经过匹配滤波后得到，然后对定时抽取及符号判决后完成解调。本文如下章节，将以图1所示的接收模型为基础，分析、的自相关函数表示形式。在分析过程中，作如下假设：（1） 带通滤波对信号没有影响；（2） 为零均值高斯白噪声；（3） 为单载波数字调制信号即为MPSK、MQAM或MASK信号；（4） 中不存在载波误差；（5） 数据长度L足够

3、大，是的平稳随机信号的统计量可用相应的平均值近似。2 自相关函数分析2.1 的表示形式是经过模数转换后得到的数字信号，可表示为 （1）对于单载波数字调制信号1， （2）式中：为调制幅度；为调制相位；为成形滤波器冲击响应函数；为定时误差；，为载波频率；为载波相位；为采样周期，即采样频率的倒数；为符号周期，即符号速率的倒数。是高斯白噪声经过代通滤波和模数转换后所得到的，因此是带通高斯白噪声信号，可表示为1， （3）其中和为相互独立的零均值就低通高斯白噪声，其方差即平均功率相等，设为N。 2.2 的自相关函数 假设参与运算的数据长度为L，则的自相关函数可用下式估计， （4）其中和分别是与的自相关函数

4、。下面分别分析。（1）分析 （5）其中为和的自相关函数，则 （6）其中N为和的平均功率，因此 （7） （2）分析假设计算过程中为常数，则 （8）将（2）代入（8）式并整理得， （9）其中 （10） （11）其中 （12）令信号平均功率为，则 （13）令，则 （14）显然，0=1l<1 （15）综合2.1和2.2分析可得到， （16）2.3 仿真验证为验证（15）式的正确性，利用matlab进行仿真分析。仿真过程中取Hz，sps，Hz采用开方升余弦滚降成形滤波器，滚降系数取0.35，调制样式取16QAM，符号数为8000。图2和图3分别给出了和自相关函数的估计值和计算值的对比。仿真结果表明

5、，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图2 的自相关函数图3 的自相关函数3 自相关函数分析3.1 的表示形式假设正交下变频过程中低通滤波器的冲击响应为，且忽略滤波后高次谐波的残余项，那么同相分量和正交分量可表示为， （17）首先分析。令 （18）则 （19） （20）因此， （21）同理可得 （22）则 （23）其中 （24） 在上述分析中，忽略了低通滤波后高次谐波的残余项，即认为低通滤波将高次谐波项完全滤除。3.2 的自相关函数 （25）其中和分别是和的自相关函数。下面分别分析。3.2.1分析 （26）其中，（27）则 （28）其中， （29）3.2.2 分析 （30）而， （

6、31）则 （32）其中 （33） 综合3.2.1和3.2.3分析可得， （34）3.3 仿真验证为验证（34）式的正确性，利用matlab进行仿真分析。仿真过程中直接采用复基带信号和复高斯白噪声信号作为输入信号；取Hz，sps采用开方升余弦滚降成形滤波器，滚降系数取0.35，调制样式取16QAM，符号数为8000；低通滤波器采用FIR滤波器，截至频率为1/4，阶数为8。图4和图5分别给出了正交下变频后，信号和噪声自相关函数的估计值和计算值的对比。仿真结果表明，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图4 正交下变频后信号的自相关函数图5 正交下变频后噪声自相关函数4 自相关函数分析4.

7、1 升采样后自相关函数分析 假设对进行q倍升采样后得到信号。下面对的表示形式及自相关函数进行分析。4.1.1 的表示形式q倍升采样升采样过程包括内插和低通滤波两个过程。q倍内插的过程是在原序列相邻采样值之间插入q-1个0 。内插具有如下性质：如果原序列是两个序列的卷积，则原序列的q倍内插等效为分别对两个序列进行q倍内插后再进行卷积。 令q倍升采样过程中的低通滤波器的冲击响应为，则可得到q倍升采样后的序列为， （35） 利用上述所述的内插性质及式（18）可得， （36）其中、和分别是、和的q倍内插后的结果，即 （37）从而可得到， （38）式中 （39）令，则 （40）需注意的是卷积运算是在采样

8、率下进行的。4.1.2 的自相关函数由（34）式可知， （41）其中和分别是和的自相关函数，下面分别分析。（1）分析利用与相同的分析方法可得 （42）其中是的自相关函数，有 （43）则 （44）式中 （45）（2）分析 采用类似的分析方法，可得到 （46）其中是的自相关函数。类似于的推导过程，可得到 （47）其中是对进行q倍内插后得到的结果。将（41）式代入（40）式，可得 （48）其中， （49） 综合（1）、（2）所述， （50）4.1.3 仿真验证为验证（50）式的正确性，利用matlab进行仿真分析。仿真过程中q取3，其他同2.3。图7和图8分别给出了升采样后，信号和噪声自相关函数的估

9、计值和计算值的对比。仿真结果表明，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图7 升采样后信号的自相关函数图8升采样后噪声的自相关函数4.2 降采样后自相关函数分析 假设对进行p倍降采样后得到信号。下面对的表示形式及自相关函数进行分析。4.2.1 的表示形式 假设p倍降采样过程中低通滤波的冲击响应为，则 （51）即， （52）其中 （53） （54） （55）需要注意的是，卷积运算是在采样率下进行的，而抽取后的采样率为。另外，如果抽样前的数据长度为L，则抽样后的数据长度为L/p。4.2.2 的自相关函数分析由（45）得，的自相关函数表示为， （56）其中和分别是和的自相关函数，下面分别分

10、析。（1）的自相关函数 （57）其中， （58）为的p倍抽取。 （2）的自相关函数同理，可得到， （59）其中， （60） （61）综合（1）、（2）可知， （62）4.2.3 仿真验证为验证（62）式的正确性，利用matlab进行仿真分析。仿真过程中p取3，其他同2.3。图9和图10分别给出了降采样后，信号和噪声自相关函数的估计值和计算值的对比。仿真结果表明，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图9 降采样后信号的自相关函数图10 降采样后噪声的自相关函数4.3 分数倍重采样后自相关函数分析 假设对进行q/p倍降采样后得到信号，其中p、q互为质数。下面对的表示形式及自相关函数进行

11、分析。4.3.1 的表示形式可以看作是先对进行q倍升采样，然后在进行p倍降采样得到。由2.3.1和2.3.2可知， （63）即， （64）其中， （65） （66） （67）4.3.2 的自相关函数由（56）式可以得到，的自相关函数表示为， （68）其中和分别是和的自相关函数，下面分别分析。（1）分析可以直接利用（58）式估计，但是比较复杂，下面利用前面讨论的结果对进行分析。可以看成是对进行q倍升采样后，再进行p被升采样得到的。令进行q被升采样，并进行p降采样之前的抗混叠滤波后所得到的噪声信号为，则 （69） （70）则，类似于（50）式的推导过程，可得到 （71）其中 （72）（2）分析同（

12、1），令经过q被升采样，并进行p降采样之前的抗混叠滤波后所得到的信号为，则 （73） （74）则， （75）其中 （76） 综合（1）、（2）所述得， （77）4.3.3 仿真验证为验证（86）式的正确性，利用matlab进行仿真分析。仿真过程中q取3，p取2，其他同2.3。图11和图12分别给出了重采样后，信号和噪声自相关函数的估计值和计算值的对比。仿真结果表明，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图11 重采样后信号的自相关函数图12 重采样后噪声的自相关函数5 自相关函数分析5.1 的表示形式设拼配滤波器的冲击响应为，则可得到， （78）下面对的表示形式进行进一步的分析。首先

13、分析。由（56）式得， （79）即与卷积等效于，首先将进行p被内插，与抽取前的信号进行卷积，然后在进行p被抽取。令 （80）则 （81）同理， （82）5.2 的自相关函数利用前面的分析方法及结论，可得 （83）其中 （84）5.3 仿真验证为验证（84）式的正确性，利用matlab进行仿真分析，仿真参数同4.3。图13和图14分别给出了匹配滤波后，信号和噪声自相关函数的估计值和计算值的对比。仿真结果表明，信号及噪声自相关函数的估计值和计算值符合的很好。图13 匹配滤波后信号的自相关函数图14 匹配滤波后噪声的自相关函数总结 为了便于对比，特将各个阶段信号自相关函数的表达形式列于表1。表1 自相关函数表示形式参考文献1 樊昌信，曹丽娜，通信原理（第6版）M，北京，国防工业出版社