预习导航 1.4.1曲边梯形面积与定积分

1、.预习导航课程目的学习脉络1.理解曲边梯形及其面积的含义；理解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限的根本过程；2掌握定积分的概念，会用定义求定积分；3理解定积分的几何意义与性质.1定积分的概念1定积分的定义设函数yfx定义在区间a，b上，用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作和式Inixi.当0时，假如和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数fx在区间a，b上的定积分，记作fxdx，即fxdxfixi.其中fx叫做

2、被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，fxdx叫做被积式此时称函数fx在区间a，b上可积考虑1 1在定义中，对区间a，b的分法是否是任意的？i的取法是否是任意的？2在定义中，和式的极限是一个准确值还是近似值？定积分fxdx是一个常数还是一个函数？3在定积分fxdx中，定积分的值与积分变量有关吗？与积分区间有关吗？提示：1定积分定义中，对于区间a，b的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和另外，关于i的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把i都取为每个小区间的左或右端点2和式的极限是一个准确值，定积分是一个常数3定

3、积分是一个数值极限值，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即fxdxfuduftdt称为积分形式的不变性，另外定积分fxdx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上限与下限不同，所得的值也就不同点拨 用定积分的定义求函数定积分的一般步骤：分割：n等分区间a，b；近似代替：在每个小区间任取i；求和：fi·；取极限：fxdx fi·.2定积分的性质定积分有三条主要的性质：kfxdxkfxdxk为常数；fx±gxdxfxdx±gxdx；fxdxfxdxfxdxacb点拨 对定积分性质的理解要注意以下几点：1

4、性质称为定积分的线性性质，性质称为定积分对积分区间的可加性2性质对于有限个函数两个以上也成立；性质在把区间分成有限个两个以上区间时也成立；3在定积分的定义中，fxdx的下限小于上限，即ab.为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：fxdxfxdx，fxdx0.2定积分的几何意义1曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形2定积分的几何意义：曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数yfx在区间a，b上的定积分，即Sfxdx.考虑2能否认为曲边梯形的面积就是定积分的值，定积分的值就是曲边梯形的面积？提示：不能曲边梯形的面积是正数，而定积分的值可正、可负、也可以为零，因此在利用定积分求曲边梯形面积时一定要注意定积分的取值点拨 用定积分表示曲边梯形面积的几种情形：1由三条直线xa，xbab，x轴，一条曲线yfxfx0围成的曲边梯形的面积Sfxdx如图2由三条直线xa，xbab，x轴，一条曲线yfxfx0围成的曲边梯形的面积Sfxdx如图3由三条直线xa，xbab，x轴，一条曲线yfx