浙江地区高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导精品学案新人教A版

1、名校名师推荐第三章三角恒等变换【学习目标】1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明U知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(a3)=cosacos)+sinasinrcos(a+3)=cosacos)sinasinrsin(a+3)=sinacos3+cosasin)sin(a3)=sinacos3cosasin3tana+tanBtan(a+3)d,.1tanatan3tan(、tanatanBa3)',.c.1+tanatanB2.二倍角公式sin2a=2sinacosa.cos2a=cos

2、2asin2a=2cos2a1=12sin2a.tan 2 a2tana2-1tana3.升哥缩角公式1+cos2a=2cos2a.1cos2a=2sin2a.4.降哥扩角公式sin 2 x sin xcos x= -2,cos2x=1 + cos 2 x2访21cos2xx2.5 .和差角正切公式变形tana+tan3=tan(a+6)(1tanatan6),tanatan3=tan(a6)(1+tanatan6).6 .辅助角公式y=asinwx+bcoswx=*Ja2+b2sin(wx+0).题型探究类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用19为锐角，cosa=4,tan(a3)=?,

3、求cos3的值.53是锐角,sin35, tan3 a =4tan=tan a ( a 3 )tan a tan( a1 + tan a tan( a3133 r于3是锐角，cos3=50.反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如|JX_、a=2,1,a=(a+3)-3,a11j3(3a),a=2(a+3)+(a3),3=5(a+g(a3)等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角”，3,它们的终边分别与单位圆相交于AB两点，已知 A, B的横坐标分别为斗0”,可3求tan(a3)的值

4、;(2)求a + 3的值.由题可知，cos3 110市-,cos 32,55 .由于a3为锐角，则sin.10.行sin故tan则 tan(tan a tan1 + tan a tan 31 13211+617.1o，tan3311一十一32(2)因为tan(a+3)=一1=1,1-6nr-兀t.z.兀即a+3<,故a+3=.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)=sinx+cosx+sinx,cosx,xCR的最值及取到最值时x的值.解设sinx+cosx=t,贝U t =sin x+ cos x=2 sin x + cos x7t/sin 'x+ .，(s

5、in x+ coscos x=xj-1 t2-1.f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx,t2112rr.g(t)=t+=2(t+1)-1,t-A；2,用.当t=1,即sinx+cosx=1时，f(x)min=1,此时，由sing+!=.,、.Tt._解得x=2k%一兀或x=2kjt,kCZ.当t=J2,即sinx+cosx=，2时，f(x)max=5+2,此时，由42sin3+亍i=恒即sin十：!；=葭,一一兀解得x=2kjt+,kez.f ( x) min= - 1 ；当 x= 2k 兀，、一八兀、一综上，当x=2k%兀或x=2kTt-,kCZ时，”*)取得取小值,+Y，kJ时

6、，f(x)取得最大值，f(x)max=小+1反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2求函数y=sinx+sin2xcosx(xCR»的值域.解令sinx-cosx=t,则由t=/sinjx-4MtC啦，a又sin2x=1(sinxcosx)2=112,y=(sinxcosx)+sin2x=t+1t1 2 52 J + 4.当t=J2时)ymin=21.函数的值域为i-v2-i,4.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)=2，3sin(x3兀)sin1x-2)!+2sin2|x+2

7、L：1,xCR(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间|0,-2上上的最大值和最小值；(2)若 f (x0) = 5, xo 52 I求cos 2 xo的值.解(1)因为f(x)=/3(2sinxcosx)+(2cos2x1)=/sin2x+cos2x=2sin2x+-6-；,所以f(x)的最小正周期为兀.又因为x0,-2,所以2x+-6：-6,-6-,所以f(x)的最大值为2,最小值为一1.(2)由(1)可知，f(x0)=2sin?x0+6j.6又因为f(x0)=-,5所以sin2x0+-6j=55.所以coscos 2 x0= cos2 !得 2x0+ 上 £ 123,兀 i2x

8、0+3 厂45,号X。+次；-in=cos12x0+寺cos7-+sin12x0+66.3-4410（余弦型）减少角的反思与感悟（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型函数，这是解决问题的前提.（2）解答此类题目要充分运用两角和（差）、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3已知cos3 5'17%7%-sin2x+2sin2X-N<X<T，求1tanx的彳sin2x+2sin2x2sinxcosx+2sin2x1tanxsinx1-cosx2sinxco

9、sx(cosx+sinx)cosxsinxsin2x(1+tanx)1tanx.c,i兀，一=sin2x,tan'-4-+x17兀 7兀<x<,12 x 4 '5兀7t3"<x+Z<2 兀,卜x工；sin5兀+ x 1=445.7t tan N+x厂3.7tcosx=cos=cos 4 4+ x cos7t7t十 sin i-+ x sin3 3-42 * * 5厂N10.sinx= sin7t=sin7t7t7t-4+ x cos sin _7_i2cos 0 +x 厂10，7tsin 2x= 25.,7 sin 2 x+ 2sin 2x28

10、1tan x75,类型四构建方程（组）的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sinx+2cosy=2,求2sinx+cosy的取值范围.解设2sinx+cosy=a.sin x+2cos y=2,由52sin x+cos y=a,sin解得cos2a2x =,34- ay= 3，从而2a-23<15解得1waw/.,-51故2sinx+cosy的取值范围是|1,l反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决跟踪训练4已知关于0的方程43cos0+sin0+a=0在区间(0,27t)上有两个不相等的实数

11、解“，3,求cos(a+3)的值.x2+y2=1,解设x=cos0,y=sin0,则有、3x+y+a=0,消去y,并整理得4x2+2，3ax+a21=0.由已知得cosa,cos3是的两个实数解，cos由根与系数的关系，得cos-a2 1a cos 3 = -4-sin a sin 3=( cos a+ a)( /3cos 3 + a)=3cosacos3+#(cosa+cos3)a+a2a2-34cos(a+3)=cosacos3sinasin3a21a2-31442.当堂训练1.若a是第三象限角，且sin(a+3)cos3sin3cos(a+3)=卷，则tan彳等于132A.5B.-C.1

12、2D.513答案解析sin(a3)cos3一sin3cos(=sin(3=sin513?是第三象限角，cos1213tana1cosa1一12一百2sina513=-5.2.已知0是第三象限角，且sin40+cos5则sin29。等于（）2C.32D.-3答案解析由-=sin4o+cos409=(sin0+cos20)2-2sin20cos0=12sin220,得sin220=即sin2922e=9.又=2k%+%<0<2k兀+3f-(kZ),.UkTt+2%<20<4kTt+3兀(kZ),故sin20=232.故选A.3.已知sina+cossin331cosa=2,

13、则sin(答案5972解析由(sina+cos3)2+(sin3cosa)2=36,59信2sin("3)=一覆一59即sin(a_3)=72.4.设答案为锐角，若cos口+看+5,则加(12"十711217.250兀+ 6兀、24十豆厂2545'解析sinIe兀'sin2a+3-e2sinIe，兀iC2cos'2a+12cos兀)70c+-6厂1=25,I兀isin2a+f(兀兀i2a)sin12a+3i(u2LCos十§-50-.5.已知函数f(x)=cosx-sin(x+5)一点cos(2sin x + cos x) ,/3cos x

14、+x+乎,xCR求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-兀7上的最大值和最小值.由已知，有f(x)=cosx-1=2sinx.cosx乎cos2x+乎1=Tsin24x-g+cos2x)+1=一sin24x-cos2xsin(242兀xF2兀所以f(x)的最小正周期为T=兀.(2)因为f(x)在区间十，一12上是减函数，在区间j亍上是增函数,f(-t)=-4'"弋)=-2,f(：)=1，一,、冗底，一1一，1所以，函数f(x)在闭区间：,j上的最大值为4,最小值为一2.L规律与方法本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数

15、的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确,快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1 .C0S2017°cos1583°sin2017°sin1583°等于()A.0B.1C.-2D.122答案D解析原式=cos(2017°+1583°)=cos3600°=1.，12一一2 .函数y=2sin2x+sinx(xCR)的值域是()A.312'1B.口|，C.D.卜A1答案C解析11cos2x2sin2x+222=2 ( 2 sin 2 x-(cos 21x) +221-

16、sin(2兀 1x-Z)+|.兀一.xCR,.2x-R,兀sin(2x-y)-1,1,二.函数的值域是乎+2,9+23.函数f（x）=sinxcosx+乎cos2x的最小正周期和振幅分别是（）B.兀，2C.2兀D.2兀，2答案解析-f(x)1= 2sin 2x+x=sin 2x + -3 j，最小正周期振幅A= 1.4.已知tan(兀、+力一12,2L , sin 2 a 2cos a 兀，则sin7t4等于（BB.一5C. 一3、55答案解析sin 22a 2cos a2cos asinRin(sin a cos a )2 2costan1 tan a tan102sin 2 a 2cos

17、a则=2 2cossin f a7t42,5105 .5.已知向量 a=(sin a , 1),b=(2 , 兀2cos a y2)( < a <兀-兀),右 a±b,则 sin( a -)A.11C.2等于（）1B.-23D.方答案D解析a±b,a b= 2sina + 2cos a J2= 212sin( a + -4-) - ,2=0,.兀sin( a + -)12.3兀4<+兀5兀，cos(,3 3 V3+ T)=- 2 .sin(兀-y) =-sin(7t4(X )=兀cos( a + -)6.tan 0=3,则 cos2 01十 ,sin 2的

18、值是（4B.-5C.5答案D解析由题意知，tan0 cos 0 - sin 2 9 + cos2 0tan 2 Q + 1 5.cos120+sin0cos01+tan063的图象的一个对称中心为（7 .函数y=sinxcosx+小cos2x一A.B.5716，C.2兀3，兀D.百，答案解析y=；sin2x+乎(1+cos2x)-/3x=k2L弋（2），当k=2时，x=5f,=sin7t,32入 _兀.,令 2x + w=kTt (kC Z), 3函数图象的一个对称中心为、填空题8 .若点P(cosa,sina)在直线y=2x上，则sin2a+2cos2a=答案2解析由题意知，tana=-2,

19、sin2a+2cos2a=2sinacosa+2cos2a2sin2a2sinacosa+2cosa-2sinasina+cosa22tana+22tan民一4+22X4-tan2a+1-5-2.9.函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值1,则实数a=,b=.答案1±2-722解析y=acosx+bsinxcosxbaa=2sin2x+2cos2x+2a+ba2sin(2x+()+-,a=1,b=±2p.10.若(4tana+1)(1-4tan3)=17,则tan(a-3)=.答案4解析由已知得4(tanatan3)=16(1+tanatan3),.t

20、anatanB即-=4.I +tanatan3tan(a-3)=4.三、解答题II .已知函数f(x)=(1+tanx)sin2x2sinJx+_4；sinx-4.若tana=2,求f(a);(2)右xC|方1求f(x)的取值氾围.解(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x=1-c°s2x+1sin2x+cos2x2211=2(sin2x+cos2x)+2,2.2sinacosa由tana=2,得sin2a=-i2-22tana_4tan2a+1=5,2cosa2sin a2+ cos acos2a=2sina1tan2atan2a+13S'1所以f(a)=&

21、#39;X431355户2=5.,11(2)由(1)得f(x)=2(sin2x+cos2x)+2i兀11sin(2x+了广万,所以.1c.一兀 sin ?x +了 r-从而f(x)=乎sin 12x +兀 1了广 2cb所以f（x）的取值范围为I。，匕虚.若 BC= a, CA= b,且 a, b满足:B+ 0 ).12.已知ABC勺内角B满足2cos2B-8cosB+5=0,=9,|a|=3,|b|=5,。为a,b的夹角.求sin(解2(2cos2B1)-8cosB+5=0,4cos2B-8cosB+3=0,解得1cosB=2，sinb=i3cos35, sina-b0=；-|a|b|sin(B+0)=sinBcos0+cosBsin0=13.设函数f(x)=sin2x+cos(2x+争求函数f（x）的最大值及