高等数学微积分第一和第三节极限与连续

1、第一章极限与连续LIMIT AND CONTINUITY 第一节第一节 微积分中的极限方法微积分中的极限方法典型问题典型问题1 1面积问题面积问题例：例：求圆盘的面积求圆盘的面积割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS 自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取

2、一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平平均均速速度度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 第二节第二节 数列的极限数列的极限定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.数列对应着数

3、轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言

4、刻划它. 1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它不论它多么小多么小),),总存在正整数总存在正整数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切 nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那那末就称常数末就称常数 a是数列是数列nx的极限的极限

5、, ,或者称数列或者称数列 nx收敛于收敛于 a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa),(),(,)(1 aUxaUaaxnnn 只只有有有有限限多多项项邻邻域域的的任任一一对对的的充充分分必必要要条条件件是是收收敛敛于于数数列列推推论论:定定义义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至至少少有有一一个个

6、或或存存在在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极

7、限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn , aaxNnNn 时恒有时恒有使得当使得当axax

8、axnnn 从从而而有有aaxn aa1. 1. 函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 第三节第三节 函数的极限函数的极限一、函数极限的定义一、函数极限的定义定定义义 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多 么么小小) ), ,总总存存在在正正数数 , ,使使得得

9、对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,对对应应的的函函数数值值)(xf都都 满满足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常数数 A就就叫叫函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0则则几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意

10、：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例1).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf )(CC ,成成立立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例2.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要

11、要取取,10时时当当 x函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例例4.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就就有有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无

12、限限趋趋近近0-;xx记记作作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近+0;xx记记作作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx

13、例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x 例例6 11012)(xxxxxf1:(1 )(1 )lim()?xfffx 试试求求、并并问问存存在在例例7000101)( xxxxxxf.0)(时时是是否否有有极极限限当当讨讨论论xxf.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放2. 2. 函数在无穷大处的极限函数在无穷大处的极限问题问题: :函数函数)(xfy 在在 x的的过程中过程中, 对应对应函数值函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0s

14、in)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在着正数总存在着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)( 那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极

15、限, ,记作记作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 :.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当Axfx )(lim另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且?arctanlim8是是否否存存在在例例xx xxysin 几何解释几何解释: X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin 例例9. 0si

16、nlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin 1x X1 , , 0 ,1 X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线则则或或者者如如果果定定义义xfycycxfcxfxx 二、极限的性质二、极限的性质2.有极限的函数的局部有界性有极限的函数的局部有界性1. 极限的唯一性极限的唯一性.,)lim),(lim()(lim0那那么么极极限限唯唯一一存存在在或或如如果果极极限限nnxxxxxfxf .)(,)(lim00有有界界函函数数去去心心邻邻域域内内的的某某个个那那么

17、么在在点点存存在在如如果果极极限限xfxxfxx定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数数列列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界.),(),()(,0,)(lim内内均均是是有有界界的的和和在在无无穷穷区区间间使使得得那那么么必必存存在在存存在在如如果果极极限限XXxfXxfx .2 收收敛敛数数列列的的有有界界性性 定理定理 收敛的数列必

18、定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则aaaxaaxxnnn 1)(即即有有,1 ,max1axxMN 记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.并非并非充分条件充分条件,如如.,)1(但但却却发发散散是是有有界界的的nnx ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若 定理定理( (保号性

19、保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若 推论推论3.有极限的函数的局部保号性有极限的函数的局部保号性注意：注意：0lim0)(:. 0)(lim0)(200200)(1)(1 xxxxxxxxeexfAxfxf但但如如未未必必类似地有类似地有:).0)(0)(),(),(, 0,)0(0,)(lim xfxfXXXAAAxfx或或内内和和使使得得在在无无穷穷区区间间存存在在则则或或且且如如果果.3 收收敛敛数数列列的的保保号号性性 ).0(0, 0,)0(0,lim nnnnxxNnNAAAx或或都都有有时

20、时当当存存在在那那么么或或且且如如果果4.函数极限的归并性函数极限的归并性 .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时时的的子子数数列列当当为为函函数数即即则则称称数数列列时时使使得得有有数数列列中中或或可可以以是是设设在在过过程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子数数列列当当是是数数列列若若定理定理 证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有lim().nnf xA 故故