高等数学6_7(2)对坐标曲面积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节（2）一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分的联系三、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为

2、上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cos

3、nvcosvS nvSnv目录 上页 下页 返回 结束 对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,

4、(xziiiiSQ)(,()dnA MeS yxiiiiSR)(,(下列极限都存在向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 2. 定义：定义：0lim1ni()()iniiA Me MS 其中( ,)iiiiM ()(cos,cos,cos)niiiie M分,记作或第二类曲面积分.则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积0lim1ni()()iniiA Me MS 目录 上页 下页 返回 结束 如果记 称为称为曲面面积微元向量曲面面积微元向量它可看做是曲面在M点处指向曲面给定侧的一个法向量，其长度在数量上等于面积微元dS的值 .于是这是第二类曲面积分的向量形式

5、。在直角坐标系下，dneSdSdS() dA MS 0lim1ni()()iniiA Me MS 0limni 1( ,)cosiiiiiPS ( ,)cosiiiiiQS ( ,)cosiiiiiRS 0lim1ni()()iniiA Me MS ( , , )cos( , , )cos( , , )cosP x y zdSQ x y zdSR x y zdS其中dS=| |dS目录 上页 下页 返回 结束 而而 d(cos,cos,cos)ndSeSdSdSdS记记d(dd ,dd ,dd )Syz zx xyddddddP yzQ zxR xy() dA MS d dd dd dP yz

6、Q zxR x y于是，第二类曲面积分也可写作以下坐标形式，于是，第二类曲面积分也可写作以下坐标形式，上式右端是三个积分的组合，也可以单独出现。上式右端是三个积分的组合，也可以单独出现。目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用

7、 表示 的反向曲面, 则SA dSASAddiSAd(3) 若有向闭曲面 所围成的空间区域V被另一位于V内部的曲面分成了V1，V2，其边界曲面记作 1， 2，则12dddASASAS 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲面积分的联系三、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画目录 上页 下页 返回 结束 四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分

8、的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:cosxydSdyxzyxRdd),( , , )cosR x y zdS注意到yxzyxRdd),( , , )xyxyDR x y z d直角坐标网划分有xyddxdyyxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd目录 上页 下页 返回 结束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则

9、有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyO目

10、录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分,ddyxzyx其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy目录 上页 下页 返回 结束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr目录 上页 下页 返回 结束 上S

11、zzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 设S 是球面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d20目录 上页 下页 返回 结束 yxz111例例4. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2r

12、rrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n目录 上页 下页 返回 结束 221cosyxx例例5. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)

13、cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz目录 上页 下页 返回 结束 课本例课本例7.7. 计算曲面积分d dSIzx y其中其中S为球面为球面 在第一卦限在第一卦限的部分与各坐标面所围成立体表面的外侧的部分与各坐标面所围成立体表面的外侧.2222xyzR答案：答案：316IR目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲

14、面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化目录 上页 下页 返回 结束 当yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .目录 上页 下页 返回 结束 ,ddddddzyxyxzxzyI备用